Bài tập có đáp án chi tiết về số phức môn toán lớp 12 | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm biểu diễn số phức z thuộc tập hợp nào sau đây.. A.?[r]

PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI BÀI TOÁN MIN - MAX.

Câu 1. [2D4-3](KHTN –Lần 1) Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện 1i z  1 7i  2

Tìm

max z

A max z 4 B max z 3 C max z 7 D max z 6

Câu 2. [2D4-3]Tìm giá trị lớn nhất của z biết rằng z thỏa mãn điều kiện

2 3

1 1

3 2

i z i

 

 



A max z 1 B max z 2 C max z  2 D max z 3

Câu 3. [2D4-3]Cho số phức z thỏa mãn z 4  z4 10. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của zlần lượt là

P 

22

A maxT 2 5. B maxT 2 10. C maxT 3 5. D maxT 3 2.

Câu 7 (Chuyên Lào Cai) Xét số phức z và z có điểm biểu diễn lần lượt là M và M  Số phức

CÁC BÀI TOÁN BỔ SUNG (PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI CÁC BÀI TOÁN KHÁC)

Câu 9. Biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z  1 z 2i3 là đường thẳng

w là số thuần ảo thì mệnh đề nào sau đây đúng?

A Tam giác OAB là tam giác nhọn B Tam giác OAB là tam giác cân.

C Tam giác OAB là tam giác vuông D Tam giác OAB là tam giác đều.

Câu 11. Cho số phức z thỏa mãn 1 z 2 là số thựC Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là

A Đường tròn B Parabol C Một đường thẳng D Hai đường thẳng Câu 12. Giả sử  H

là tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z i 1i z

Diện tích hình phẳng  H

là

Câu 13. Gọi M là điểm biểu diễn số phức z 3 4i và M  là điểm biểu diễn số phức

12

S 

252

S 

154

S 

152

S 

Câu 14. Gọi z và 1 z là các nghiệm của phương trình 2 z2 2z10 0 Gọi ,M , N P lần lượt là các

điểm biểu diễn của số phức z , 1 z và số phức w x yi2   trên mặt phẳng phứC Để tam giác

MNP đều thì số phức w x yi  là

A w  1 27 hoặc w  1 27. B w 1 i 27 hoặc w 1 i 27

Câu 15. Gọi z và 1 z là các nghiệm của phương trình 2 z2 4z  Gọi ,9 0 M N là các điểm biểu diễn

của số phức z và 1 z trên mặt phẳng phứC Khi đó độ dài của 2 MN là

A MN 4 B MN 5 C MN 2 5. D MN  5.

Câu 16. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp tất cả các điểm M biểu diễn số phức  thỏa điều

kiện   1 2i z 3, biết z là số phức thỏa mãn z  2 5

z i w

z z i

 



A Một Parabol B Một Elip C Một đường tròn D Một đường thẳng.

Câu 18. Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức zsao cho

22

A Một Elip B Một Parabol C Một đường tròn D Một đường thẳng.

Câu 19. Cho số phức z thỏa mãn z1 z 2i

là một số thuần ảo Tập hợp điểm biểu diễn số phức z

là một đường tròn có diện tích bằng

54



52



D 25 Câu 20 (Đề minh họa – 2017) Cho số phức z thỏa mãn z 4 Biết rằng tập hợp điểm biểu diễn các số

phức w3 4 i z i  là một đường tròn Tính bán kính r của đường tròn đó

A r 4 B r  5 C r 20 D r 22.

Câu 21. Cho số phức z thỏa mãn 2iz  z 3i Tập hợp điểm biểu diễn số phức w 1 i z  là3

một đường thẳng có phương trình

A x y  8 0 B x y  5 0 C x y  8 0 D x y  4 0.

Câu 22. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w 1 i z  với 1 z là số phức thỏa mãn z  1 1 là một

hình tròn có diện tích bằng bao nhiêu?

PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI BÀI TOÁN MIN – MAX

GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

ĐÁP ÁN

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Tìm

max z

A max z 4 B max z 3 C max z 7 D max z 6.

Lời giải Chọn D

là điểm biểu diễn số phức z x yi,

x y  ; 

.Khi đó (*)   C : x 32y 42  Ta có1

 

 

  iz 1 1    i z i  11

z  x y OM

Do O C  max z OMmax 2R 2

Câu 3. [2D4-4]Cho số phức z thỏa mãn z 4  z4 10 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z

lần lượt là

A 10 và 4 B 5 và 4 C 4 và 3 D 5 và 3

Lời giải Chọn D

, biết z1 z2  Tính giá trị biểu1thức Pz1z2

A

32

P 

22

P 

D P  3.

Lời giải Chọn D

Gọi M M lần lượt là điểm biểu diễn số phức 1, 2 z z 1, 2

Khi đó (*) M M1, 2 thuộc đường tròn  T

2

3

5

Câu 5. [2D4-4] (Toán Học & Tuổi Trẻ - lần 8) Xét số phức z thỏa mãn 2 z1 3 z i 2 2.

Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

z 

Lời giải

Chọn C

Gọi z  x yi,x y  ; 

được biểu diễn bởi điểm M x y ; 

.Suy ra 2 z 1 3 z i 2 x 12y2 3 x2y12 2MA3MB với A1;0 , B0;1

.Khi đó, điều kiện bài toán trở thành 2MA3MB2 2 2 AB(1)

Gọi z x yi  ( ,x y R được biểu diễn bởi điểm

và AB 2 là đường kính của đường tròn  C

Áp dụng bất đẳng thức Bunha ta có:

và w có điểm biểu diễn lần lượt là N và N Biết rằng ' M M N N, ', , ' là

bốn đỉnh của hình chữ nhật Tìm giá trị lớn nhất của z4i 5

2

4 13.13

Lời giải Chọn C

Gọi M N, là điểm biểu diễn của số phức z x yi  với

A z  33. B z 50. C z  10. D z 2 5.

Lời giải Chọn D

Gọi M x y ;  là điểm biểu diễn số phức z x yi x y R   ,  .

w là số thuần ảo thì mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Tam giác OAB là tam giác nhọn B Tam giác OAB là tam giác cân.

C Tam giác OAB là tam giác vuông D Tam giác OAB là tam giác đều.

Lời giải Chọn A

Gọi A x y 1; 1

là điểm biểu diễn số phức z x 1 y i1 và B x y 2; 2

là điểm biểu diễn số phức

Câu 11.[2D4-3]Cho Số phứczthỏa mãn1 z 2là số thựC Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là.

A Đường tròn B Parabol C Một đường thẳng D Hai đường thẳng.

Lời giải Chọn D

Lời giải Chọn C

S 

252

S 

154

S 

152

S 

Lời giải Chọn A

Câu 14.[2D4-3]Gọi z và 1 z là các nghiệm của phương trình 2 z2 2z10 0. Gọi M N P, , lần lượt là

các điểm biểu diễn của z z và số phức w x iy1, 2   trên mặt phẳng phứC Để tam giác MNP

đều thì số phức w là

A w  1 27 hoặc w  1 27 B w 1 27i hoặc w 1 27 i

Lời giải Chọn A.

Ta có

1 2

Câu 15.[2D4-3]Gọi z và 1 z là các nghiệm của phương trình 2 z2 4z 9 0 Gọi M N, lần lượt là các

điểm biểu diễn của z z trên mặt phẳng phứC Khi đó độ dài MN là1, 2

A MN  4. B MN  5. C MN 2 5 D MN  5

Lời giải Chọn C.

Ta có

1 2

A x12y 42 125 B x 52y 42 125.

C x12y 22 125

D x  2.

Lời giải Chọn A.

z i w

Suy ra M thuộc Parabol

Câu 18.[2D4-3]Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z sao cho

22

Đặt z= +x yi (x y, Î ¡ )

hay M thuộc Parabol.

Câu 19.[2D4-3]Cho số phức z thảo mãn (z+1)(z - 2i)

là một số thuần ảo Tập hợp biễu diễn số phức

Câu 20.[2D4-4] (Đề minh họa – 2017) Cho số phức z thỏa mãn z 4. Biết rằng tập hợp các điểm biểu

diễn số phức w3 4 i z i  là một đường tròn Tính bán kính r của đường tròn đó

A r  4. B r  5. C r 20. D r 22.

Lời giải Chọn C.

A x y  8 0. B x y  5 0. C x y  8 0. D x y  4 0.

Lời giải Chọn A.

Gọi M x y ;  với x y  , là điểm biểu diễn cho số phức w x yi 

CÁCH TIẾP CẬN CÁC BÀI TOÁN HAY VÀ KHÓ (VẬN DỤNG CAO)

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

z w

z z

z z



 là số thuần ảo Tìm z ?

A z 1 B

12

z 

2 2

11

thỏa mãn điều kiện

Khi đó mệnh đề nào sau đây đúng?

12

z 

Câu 7. Cho số phức z thỏa mãn

3 4i z 4 8

z

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, khoảng cách từ gốc

tọa độ đến điểm biểu diễn số phức z thuộc tập hợp nào sau đây?

z w

z i A

z 

và điểm A trong hình vẽ bên là điểm

biểu diễn của z Biết rằng trong hình vẽ bên, điểm biểu diễn của số phức

1

w iz



là một trong bốn điểm M , N , P, Q Khi đó điểm biểu diễn của số phức w là

Câu 14. (Chuyên Vinh – lần 4)Cho số phức z có điểm biểu diễn là M Biết rằng số phức

1

w z

 được biểu diễn bởi một trong bốn điểm P, Q, R , S như hình vẽ bên Hỏi điểm biểu diễn của w là điểm nào?

T 

2 853

Câu 21 (Chuyên KHTN – Hà Nội – Lần 1)Cho z z z là các số phức thõa mãn 1, ,2 3 z1 z2 z3  1

Khẳng định nào sau đây đúng?

z z z 

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A

2 23

z z z 

Giá trị lớn nhất của biểu thức Pz1z2 2 z2 z3 2 z3 z1 bằng bao nhiêu?

A max

7 23

3 62

4 55

10 23

z z

Câu 28 (Chuyên KHTN - Lần 4) Vơi hai số phức z z thỏa mãn 1, 2 z1z2  8 6i và z1 z2  Tìm 2

giá trị lớn nhất của biểu thức Pz1  z2

A P  5 3 5. B P 2 26 C P 4 6. D P 34 3 2

, biết z1 z2  Tìm giá trị của biểu thức1

Pz z

A

32

P 

22

z w

z



 là số thực

z z



 là số thuần ảo Tìm z

A z 1 B

12

z 

Lời giải Chọn A.

Nhận xét: Nếu w là số thuần ảo thì w w 0

Do

11

z z

11

Câu 4. [2D4-4] (Đặng Thừa Húc – Nghệ An) Cho số phức z a bi a b R  ,  

thỏa mãn điều kiện

Cách 1: (Thực hiện các phép biến đổi tương đương).

Điều kiện bài toán tương đương:

2

11

2

i z

z 

Lời giải

Chọn C.

Cách 1: (Thực hiện các phép biến đổi tương đương)

Điều kiện bài toán tương đương:

Đáp án C.

Chú ý: Ở bài toán này ta đã sử dụng phép biến đổi z z1 2 z z1 2

.

Cách 2: (Dùng kỹ thuật giải ngược)

+) Thử với z 1, điều kiện bài toán:

z

B wmin  2 C wmin  1 D min

12

Lời giải

Chọn A.

Do z2 2z 5 0 có hai nghiệm z 1 2i và z 1 2i  z2  2z 5 z 1 2i z   1 2i

.Khi đó, điều kiện bài toán tương đương: z 1 2i z   1 2i z 1 2i z  3 1i 

Do A1;1   C , suy ra Mmax TAmax 2R2 2

Chú ý: Nếu A C  Mmax TAmax OA R

Câu 11 [2D4-4] (Toán học và Tuổi trẻ – Lần 8) Cho số phức z thỏa mãn 2 z1 3 z i 2 2

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cách 1 (Dùng bất đẳng thức)

Sử dụng bất đẳng thức số phức: z1 z2 z1  z2 hay z1  z2 z1 z2 ta được:

2 z1 3 z i 2 z1z i  z i 2 z1  z i  z i    2 1 i z i 2 2 z iHay 2 z1 3 z i 2 2 z i  1

Mặt khác, theo giả thuyết 2 z1 3 z i 2 2 2 

.Từ    1 , 2

z i A

z 

và điểm A trong hình vẽ là điểm biểu

diễn số phức z Biết rằng trong hình vẽ bên, điểm biểu diễn số phức

1

w iz



là một trong bốnđiểm M N P Q Khi đó điểm biểu diễn số phức w là, , ,

A điểm Q B điểm M C điểm N D điểm P

Lời giải Chọn D.

Đặt z x yi  ( 0 y x  do A thuộc góc phần tư thứ nhất) Khi đó

Suy ra điểm biểu diễn số phức w là P hoặc Q

Lại có: điểm có tọa độ 2 ; 2y  x

thuộc góc phần tư thứ ba (vì ,x y   0 2 ; 2y  x )0

Vậy điểm biểu diễn số phức w là P

Câu 14 [2D4-3] (Chuyên Vinh lần 4) Cho số phức z có điểm biểu diễn là M. Biết rằng số phức

Từ hình vẽ ta có M có hoành độ x 1 và tung độ dương, suy ra M1;b

với b 0 biểu diễn

b b

b b

hơn 1  điểm Q thỏa mãn

Câu 15 [2D4-4] (Chuyên Lê Quý Đôn – Quảng Trị) Cho số phức w và hai số thực , a b Biết

z  w i z  w là hai nghiệm phức của phương trình z2az b  Tính 0. T z1  z2

A T 2 13. B

2 973

T 

2 853

T 

Lời giải Chọn B.

3

T y

Phương trình z2  z2 có hai nghiệm z z , nên theo Vi-ét ta có 1, 2  

1 2

1

*2

Áp dụng bất đẳng thức z1z2 z1  z2  z2 z1z2  z1  3 2 2  z2 min  1.

Câu 18 [2D4-3] (Chuyên Sư phạm – Lần 3) Cho số phức z thỏa mãn z   Mệnh đề nào đúng?z 0.

C Phần thực của z là số âm D z là số thuần ảo

Lời giải Chọn A.

a

b b

Cách 3: (Sử dụng Vi-et hàm bậc 3)

Xét phương trình z  3 1 0 *  có 3 nghiệm z , 1 z , 2 z thỏa mãn 3 z1 z2 z3  1

Áp dụng Vi-et bậc 3 với (*) ta có:

Câu 21 [2D4-4] (Chuyên KHTN – Hà Nội) Cho z , 1 z , 2 z là các số phức thỏa mãn 3 z1 z2 z3  1

Khẳng định nào sau đây đúng?

Cách 1 Áp dụng công thức

z z z 

Giá trị lớn nhấtcủa biểu thức Pz1z2 2 z2z3 2 z3z1

bằng bao nhiêu?

A

7 23

max

P 

3 62

max

4 55

max

10 23

max

Lời giải Chọn B.

Áp dụng công thức biến đổi:

(Xem lại câu 22)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có:

max

Câu 24 [2D4-4] (Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa) Cho a , b , c là các số thực và

Ta có

2 2

Ta tính tổng T z2016z2015  z 1 1 

Cách 1 (cho ai không nhớ công thức)

Do z  không là nghiệm của phương trình 0 z2016z2015   z 1 0 * nên:

Câu 26 [2D4-4] (Toán học và tuổi trẻ - Lần 8) cho số phức z thỏa mãn

13

z z

Tổng các giá trịlớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z là:

Lời giải Chọn C.

Sử dụng công thức biến đổi

z  z  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Pz1  z2

A P  5 5. B P 2 26. C P 4 6. D P  34 3 2.

Lời giải Chọn B.

Cách 1: Gọi z1  a b i z1 1; 2 a2b i2 với a b a b   1, , ,1 2 2

Câu 29 [2D4-4] Cho z z là hai số phức thỏa mãn 21, 2 z i  2 iz

, biết z1 z2  Tính giá trị của1biểu thức Pz1z2

A

32

P 

22

P 

Lời giải Chọn D.

Gọi z x yi x y   ,   , khi đó:

2z i  2 iz  2x 2y1 i  2 y xi  4x  2y1  2 y x  x y 1(*)

Cách 2: Gọi M M lần lượt là hai điểm biểu diễn số phức 1, 2 z z 1, 2

Khi đó từ (*) M M thuộc đường tròn 1, 2  T có tâm O0;0

z z  z  z  z  z

(*) ( xem lại cách chứng minh ở câu 28).

Áp dụng bất đẳng thức cơ bản: 2 a 2b2a b 2