Bài tập Đại số lớp 12 THPT Thành Nhân - Bài 2 | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?. Diện tích phần hình phẳng tô đen trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây.[r]

BÀI TẬP ÔN TẬP ĐẠI SỐ 12 TUẦN 4 THÁNG 3 – 2020 NGUYÊN HÀM

Khi đó:  f x x d 3 cos 2x  x 5 C 3 f 3 dt t 3 3 cos 2.3  t t  5 C ……

Câu 11 Cho F x là một nguyên hàm của   f x x2 ln x thỏa mãn F 1  Giá trị của 1 F e bằng  

Hướng dẫn: F x( ) 2 x f x e  2 x f x( )  Sau đó dùng nguyên hàm từng phần

Câu 14 Cho hàm số f x( ) thỏa mãn f(1) 4 và f x( )xf x( ) 2 x33x2 với mọi x Giá trị của 0 f(2)

f x dx

3 1( ) 7

f x dx

5 3

2 3.

3d

Hướng dẫn: Nhân liên hợp

Câu 23 Cho biết

1 2 0

1

ln 21

dx a bx

tI

vx

92

x dxdu

Câu 36 Cho hàm số f x liên tục trên    và có 1   3  

1 1

DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

Cho các hàm số f x g x , ( ) liên tục trên 

 Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong y f x y , g x( ) và hai đường thẳng (đứng) x a x b a b ,     được tính theo công thức:   ( ) d

b a

Khi đường cong g x( ) là trục Ox y: 0, ta có:

 Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành và hai đường thẳng

,

b a

Ví dụ 1: Cho hàm số y f x  liên tục trên đoạn  a b Gọi ; D là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

 C :y f x , trục hoành, hai đường thẳng x a , x b (như hình vẽ dưới đây)

Giả sử SD là diện tích hình phẳng D Chọn công thức đúng trong các phương án A, B, C, D cho dưới đây?

S   f x xf x x Hướng dẫn :

 Đồ thị ( )C cắt trục hoành tại O 0;0

 Trên đoạn  a;0 , đồ thị ( )C ở dưới trục hoành f x( ) 0  nên f x   f x 

 Trên đoạn  0;b , đồ thị  C ở trên trục hoành f x( ) 0  nên f x   f x 

Ví dụ 2: Cho hàm số y f x( )liên tục trên  a b có đồ thị ;  C cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x c

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi  C , trục hoành và hai đường thẳng x a x b ,  là

b a

b a

 Đồ thị ( )C cắt trục hoành tại điểm x c

 Trên đoạn  a c; , đồ thị ( )C ở trên trục hoành f x( ) 0  nên f x   f x 

 Trên đoạn  0;b , đồ thị  C ở dưới trục hoành f x( ) 0  nên f x   f x 

Câu 41 Cho đồ thị hàm số y f x  như hình vẽ

Diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x  và trục Ox (phần gạch sọc) được tính bởi công thức

Bài toán tính diện tích giới hạn bởi 2 đường cong y f x y g x( ),  ( ):

+ Lập phương trình hoành độ giao điểm f x( )g x( ) tìm các nghiệm, giả sử 0

Ví dụ 3: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường yex, y0, x0, x2 Mệnh

đề nào dưới đây đúng?

A

2 2 0

e dx

2 0

e dx

2 2 0

e dx

2 0

e dx

S x Hướng dẫn:

Đề đã cho đủ 2 cận x0, x2 nên áp dụng công thức ( )

b a

2.3Hướng dẫn:

Đề bài chưa cho cận nên ta xét phương trình hoành độ giao điểm của y  x2 2x và Ox y: 0:

Câu 45 Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số  : 1

Câu 47 Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường yx1 ln x , trục hoành và đường thẳng

x e

A

2 54

e

S 

2 76

e

S 

2 32

e

S 

2 98

Ví dụ 5: Cho hàm sốy f x  và y g x  có đồ thị giao nhau tại hai điểm phân biệt có hoành

độ a và b Gọi  H là hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số này (phần tô đậm ở hình vẽ)

Diện tích của  H được tính theo công thức

b a

b a

S g x  f x  x

b a

b a

S  f x g x  x Hướng dẫn:

+ Quan sát hình vẽ ta thấy g x  f x  trên  a b nên , g x( ) f x( ) 0

Ví dụ 6: Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ được tính theo công thức nào

+ Hai đồ thị cắt nhau tại x  (cận dưới) và 1 x (cận trên) 2

+ Trên đoạn 1; 2 phần đồ thị y  x2 3 nằm trên đồ thị y x 22x1 nên   x2 3 x22x  1 0

Câu 49 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y x 23x1 và đường thẳng y x 1 được tính theo

công thức nào dưới đây?

Câu 53 Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số và

Mệnh đề nào sau đây sai?

Câu 54 Cho đồ thị hai hàm số y x 33x2 x 3 và y  x2 2x1 như hình sau

Diện tích phần hình phẳng được gạch sọc tính theo công thức nào dưới đây?

1 2

3( )d

43

60

S

Ví dụ 6: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số: y x 33x, y x Tính S

Hướng dẫn:

+ Đề bài chưa cho cận nên xét phương trình hoành độ giao điểm: x33xx  x34x0

202

xxx

Câu 59 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y  x2 4 và y  x 2?

Ví dụ 7: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y(x2) ,2 đường cong y x 3 và trục hoành bằng (phần

tô đậm trong hình vẽ bên)

A 11

73

7

5.2

Hướng dẫn: Đề cho 3 đường y(x2) ,2 y x 3 và y0(Ox) Ta phải chia nhỏ ra để tính

 Ta có 1 3

1

0

1d4

2 1

Câu 64 Gọi  H là phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ dưới đây được giới hạn bởi đồ thị của các hàm

số y3x2, y  và trục hoành Diện tích của 4 x  H là bằng bao nhiêu?

, 10

y x y  x và trục Ox là

Câu 66 Cho  H là hình phẳng giới hạn bởi parabol y 2x , cung tròn có phương trình y 8x2 (với

0   x 2 2) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ) Tính diện tích H tính bởi công thức nào

A

2

2 0

( 2x 8x )dx

2

2 0

( 2x 8x )dx

CÁC BÀI TOÁN TÍCH PHÂN LIÊN QUAN DIỆN TÍCH

Ví dụ 1: Cho hàm số y f x( ) liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ sau Giá trị của4  

Câu 68 Cho hàm số y f x Hàm số    y f x trên đoạn     0 9 có đồ thị như hình vẽ bên (là đường nét ;

đậm gồm hai nữa đường tròn và một đoạn thẳng)

bán kính r11;r2 2 và tam giác vuông cạnh góc vuông là 1;3

Ví dụ 2: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f x   và trục hoành gồm hai phần, phần

nằm phía trên trục hoành có diện tích 1 8

f x x





Câu 69 Cho hàm số y f x  liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Biết diện tích hai phần A và B lần lượt là 16

3 và

63

3 2 1

Câu 72 Cho hàm số y f x  Hàm số y f x  có đồ thị như hình vẽ bên

Biết rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đồ thị hàm sốy  f x trên đoạn2 ;1và

 1; 4 lần lượt bằng 9 và 12 Cho f 1  Giá trị của biểu thức 3 f  2 f 4 bằng

THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY

 Thể tích vật thể (mặt cắt)

Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm

a và b, S x( ) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục

Ox tại điểm x, (a x b  ). Giả sử S x( ) là hàm số liên tục trên đoạn [ ; ].a b

Câu 73 Cho vật thể  H giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình x a , x b a b    Gọi S x  là thiết

diện của  H cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x với a x b  Giả sử hàm số y S x   liên tục trên đoạn  a b Khi đó thể tích ; V của vật thể  H được cho bởi công thức

Câu 75 Cho vật thể  T giới hạn bởi hai mặt phẳng x0; x2 Cắt vật thể  T bởi mặt phẳng vuông góc

với trục Ox tại x0 x 2 ta thu được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng x1 e x Thể tích vật thể  T bằng

Câu 76 Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x 1 và x1, biết rằng thiết diện của vật thể bị

cắt bởi mặt phẳng vuơng gĩc với trục Ox tại điểm cĩ hồnh độ x     1 x 1  là một tam giác vuơng cân cĩ cạnh huyền bằng 1 x  4

Câu 77 Tính thể tích vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x0, x Biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi 

mặt phẳng vuơng gĩc với Ox tại điểm cĩ hồnh độ x  0 x     là một tam giác vuơng cân cĩ cạnh huyền bằng sinx2

mặt phẳng vuơng gĩc với trục Ox tại điểm cĩ hồnh độ x (0 x 1) là một hình vuơng cĩ độ dài cạnh x e x1

đều  cạnh

 Thể tích khối trịn xoay

a) Thể tích khối trịn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f x( ), trục hồnh

và hai đường thẳng x a x b ,  quanh trục Ox :

( ) : ( )( ) :

V   f x dx

a

 ( )

y f x y

Ví dụ 1: Cho hình phẳng  H được giới hạn bởi đồ thị hàm số y x và các đường thẳng 0

x ; x1; trục hoành Tính thể tích Vcủa khối tròn xoay sinh bởi hình  H quay xung quanh trục Ox

Hướng dẫn: Xác định hai cận x0; x1 và đường cong y x Áp dụng 2( )

b a

V  f x dx , ta có:

Thể tích V của khối tròn xoay cần tìm là

1 0

d

V x x

1 2 0

tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục được định bởi công thức

Câu 81 Cho hình phẳng  H giới hạn bởi các đường yx23, y0, x0, x2 Gọi V là thể tích khối

tròn xoay được tạo thành khi quay  H xung quanh trục Ox Mệnh đề nào sau đây đúng?

y  e x, trục hoành và hai đường thẳng

Khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành có thể tích bằng bao nhiêu?

3

A

4

)2( 

x quay xung quanh trục  Ox

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng

2

 

Câu 90 Cho hình phẳng  H giới hạn bởi đồ thị hàm số y2x2  và trục hoành Thể tích của vật thể x 1

tròn xoay khi quay  H quanh trục hoành bằng

xung quanh Ox Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành bằng

Tính thể tích V của khối tròn xoay do ta quay Dquanh trục O x tạo nên, (  D nằm ngoài parabol

y và x quanh trục Ox Đường thẳng 4 x a 0 a 4 cắt đồ thị hàm số y x tại M

(hình vẽ) Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác OMH quanh trục Ox Biết 1rằng V 2V1 Khi đó

Ví dụ 1: Cho hình phẳng trong hình (phần tô đậm) quay quah trục hoành Thể tích khối tròn

xoay tạo thành được tính theo công thức nào ?

b a

V f x g x  x B 2  2  d

b a

V  f x g x  x

db

a

V f x g x  x D     2

db

a

V f x g x  x + Trên  a b , ta có ; f x( )g x( ) 0  f x2( )g x2( ) f x2( )g x2( ) 0

V  f x g x xf x g x  x Chọn B

Ví dụ 2: Thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parapol (P): y x 2 và đường

thẳng d: y2x quay xung quanh trục Ox bằng:

Câu 94 Cho hai hàm số y f x1  và y f x2  liên tục trên đoạn  a b; và có đồ thị như hình vẽ bên dưới

Gọi S là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị trên và các đường thẳng x a , x b Thể tích V của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay S quanh trục Ox được tính bởi công thức nào sau đây?

b a

b a

V  f x  f x  x

b a

b a

V  f x  f x  x

Câu 95 Gọi  H là hình phẳng giới hạn bởi parabol y x 2 và đường thẳng y2x Tính thể tích khối tròn

xoay tạo thành khi quay hình H xung quanh trục hoành

xx Tính thể tích vật thể tròn xoay khi nó xoay quanh Ox

Tính thể tích V của vật thể tròn xoay do hình phẳng  H quay xung quanh trục hoành

CÁC BÀI ỨNG DỤNG KHÁC

 Elip có phương trình x22 y22 1

a  b  có diện tích S ab  

 Parabol có kích thước: bán kính r, chiều cao h có diện tích S  4 3 rh

Ví dụ 1: Một cái trống trường có bán kính các đáy là 30cm, thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy có diện tích là 1600 cm2 , chiều dài của trống là1m Biết rằng mặt phẳng chứa trục cắt mặt xung quanh của trống là các đường Parabol Hỏi thể tích của cái trống là bao nhiêu?

Thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy là hình tròn có bán kính r có diện tích là 1600 cm2 , nên r2 1600  r 40cm

Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/1m2 Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn)

+ Giả sử elip có phương trình

y

x

+ Vậy phương trình của elip là

56481

(tính phần ở phía trên Ox, do tính đối xứng nên nhân 2 lần là đủ)

Thật sự ta chỉ cần dùng máy tính bấm rồi kiểm tra đáp án

Câu 98 Cổng trường Đại học Bách Khoa Hà Nội có hình dạng Parabol, chiều rộng 8m , chiều cao 12,5m

Câu 99 Ông A muốn làm một cánh cửa bằng sắt có hình dạng và kích thước như hình vẽ bên Biết đường

cong phía trên là parabol, tứ giác ABCD là hình chữ nhật và giá thành là 900 000 đồng trên 1 m2

thành phẩm Hỏi ông A phải trả bao nhiêu tiền để làm cánh cửa đó?

Diện tích mỗi cánh hoa (phần tô đậm) bằng

người thiết kế hai phần để trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm nửa hình tròn và hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường tròn (phần tô màu), cách nhau một khoảng bằng 4 (m), phần còn lại của khuôn viên (phần không tô màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản

Biết các kích thước cho như hình vẽ và kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản là 100.000 đồng/m2 Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cỏ Nhật Bản trên phần đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn)

A 2.388.000 (đồng) B 3.895.000 (đồng).C 1.194.000 (đồng) D 1.948.000 (đồng) Hướng dẫn:

2 m

p a r a b o l

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ Khi đó phương trình nửa đường tròn là

Câu 102 Ông An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng và kích thước như hình vẽ bên, biết đường cong phía

trên là một Parabol Giá 1 m của rào sắt là  2 700.000 đồng Hỏi ông An phải trả bao nhiêu tiền để làm cái cửa sắt như vậy (làm tròn đến hàng phần nghìn)

A 6.417.000 đồng B 6.320.000 đồng C 6.520.000 đồng D 6.620.000 đồng

Hướng dẫn: Gắn hệ trục Oxy như hình vẽ

Trong đó A2,5;1,5, B2,5;1,5, C 0; 2

Giả sử đường cong phá trên là một Parabol có dạng y ax 2bx c , với ; ;a b c

Do Parabol đi qua các điểm A2,5;1,5, B2,5;1,5, C 0;2 nên ta có hệ phương trình

   

2 2

2

22

a

cc