Người ta thiết kế lại thành cái cổng hình tam giác vuông cân, nhưng vẫn để lại cánh cổng parabol cũ bằng cách đắp thêm vật liệu bên ngoài (như hình minh họa).. Hãy tính chiều cao của cán[r]
Trang 1MA TRẬN ĐỀ THI HỌC KÌ 2 MÔN TOÁN 11.
Cấp độ câu hỏi
Tổng điểm
Nhận biết Thông hiểu Vận
dụng
Vận dụng cao
1
GIỚI HẠN
8
QUAN HỆ
VUÔNG GÓC
Trang 2SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO ĐẮK LẮK
TRƯỜNG THCS – THPT ĐÔNG DU
BÀI KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2017 - 2018 MÔN TOÁN : KHỐI 11 THỜI GIAN: 90 phút
Câu 1. (1.5 điểm) Tính giới hạn:
a)
2 3
2 lim
n n
+
15 lim
2
x
x x
+
®
-c) Biết rằng lim( 5 2 2 5) 5
Tính S=5a b+ .
Câu 2. (1 điểm)
a) Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số
( )
khi 1 1
x
ìï - +
-+
í
=
ï ïï
b) Chứng minh phương trình sin 3a x b .cos 2x c .cosxsinx luôn có nghiệm với mọi 0 tham số , ,a b c R
Câu 3. (1,5 điểm)
a) Tính đạo hàm của hàm số ( )f x =- x4+4x3- 3x2+2x+1 tại điểm x =- 1
b) Tính đạo hàm của hàm số y=x2tanx+ x
Câu 4. (1.5 điểm)
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x= 3- 2x+3 tại điểm M( )1;2
b) Cho hàm số ( ) 3
1
x
f x x
=
- Giải phương trình ( )f x¢ =0
c) Biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2 3
ax y bx
+
= + tại điểm M(- 2; 4 - )
song song với đường thẳng
d x y- + = Xác định các giá trị a, b
Câu 5. (2 điểm) Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA vuông góc với
đáy Gọi M là trung điểm AC
a) Chứng minh BM SC
b) Chứng minh (SAB) (^ SBC).
Câu 6. (2 điểm) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2,
' 2
AA = a
a) Tính góc giữa đường thẳng A C và mặt phẳng ABCD
b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng BDD B
c) Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng BD và CD'
Câu 7. (0.5 điểm) Cổng trường Đại học Bách Khoa Hà Nội có hình dạng parabol với chiều rộng bằng
8m, và chiều cao 12,5 m Người ta thiết kế lại thành cái cổng hình tam giác vuông cân, nhưng vẫn để lại cánh cổng parabol cũ bằng cách đắp thêm vật liệu bên ngoài (như hình minh họa) Hãy tính chiều cao của cánh cổng mới
Trang 3ĐÁP ÁN
M
Câu 1
Tính giới hạn: a)
2 3
2 lim
n n
+ + -
0.5
Ta có
3
1 2
n n
n n
+
-0.5
b) 2
15 lim
2
x
x x
+
®
-0.5
Vì
( ) ( )
2
2 2
2 lim 2 0 & 2 0, 2
x
x x
x
+
+ +
®
®
®
ìï - =- <
íï - = - > " > -ïïî
0.5
c) Biết rằng lim( 5 2 2 5) 5
2
2
x
1
5
x
a
S b
x
®- ¥
ìïï =-ï
=-ï
0.25
0.25
Câu 2
a) Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số
( )
1
ìï - +
-+
í
=
ï ïï
tục tại x =1.
0.5
Hàm số xác định với mọi x Î ¡ Theo giả thiết ta phải có
2
3 2
2
2 2
-0.5
b) Chứng minh phương trình sin 3a x b .cos 2x c .cosxsinx luôn có 0
nghiệm với mọi tham số , ,a b c R
0.5
Đặt f x VT
, hàm số liên tục trên R
, f 0 , b c f 2 a b 1
, f b c
f f f f
suy ra bốn giá trị trên không thể cùng dấu
Vậy phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm trên
; 2
0.25
0.25
Trang 4Câu 3 a) Tính đạo hàm của hàm số f( )x =- x4 + 4x3 - 3x2 + 2x+ 1 tại điểm x =- 1 1
Ta có: f¢( )x =- 4x3 + 12x2 - 6x+ 2
Suy ra f ¢-( 1)=- 4 1( )- 3+12 1( )- 2- 6( )- 1+2 24=
0.5 0.5
2
1
x
¢
0.25 0.25
Câu 4 a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x3 - 2x+ 3 tại điểm M(1;2 ) 0.5
Đạo hàm y/ =3x2- 2¾¾® hệ số góc k=y/( )1 = 1.
Ta có
0 0
1 2 1
x y k
ì = ïï
ïï = ¾¾® íï
ïï =
ïî phương trình tiếp tuyến y= -(x 1 2)+ Û y x= + 1
0.25 0.25
b) Cho hàm số ( ) 3
1
x
f x x
=
- Giải phương trình f x¢( )=0
0.5
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
f x
Phương trình
( )
( )
2
0
1
2
x
x x
é = ê
ê =
0.25
0.25
c) Biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2 3
ax y bx
+
= + tại điểm M(- 2; 4 - ) song song với đường thẳng d x y:7 - + =5 0 Xác định các giá trị a, b
0.5
Vì M(- 2; 4 - ) ( )Î C nên
a
a b b
Vì tiếp tuyến song song với d nên ta có ( )2
a b k
b
- + ( )2 Giải hệ ( )1 và ( )2 , ta được a=3; b=1
0.25
0.25
Câu 5 Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA vuông góc
với đáy Gọi M là trung điểm AC
a) Chứng minh BM SC
1
Trang 5a)
BC BA
BC SAB SBC SAB
BC SA SA ABC
Câu 6 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2,
' 2
AA = a
a) Tính góc giữa đường thẳng A C và mặt phẳng ABCD
1
AC là hình chiếu của A C trên ABCD Ta có AC2a; AA 2a Suy ra tam
giác AA C vuông cân tại A
Góc A C ABCD ; A C AC ; A CA 450
b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng BDD B
;
A BDD B
a
c) Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng BD và CD' 0.5 Gọi I là điểm đối xứng của A qua D, suy ra BCID là hình bình hành nên BD CIP .
Do đó d BD CD[ , ']=d BD CD Iéë ,( ' )ùû=d D CD Iéë ,( ' )ùû.
Kẻ DE^CI tại E, kẻ DK^D E' Khi đó d D CD Iéë ,( ' )ù=û DK.
Xét tam giác IAC, ta có DE ACP (do cùng vuông góc với CI ) và có D là trung điểm của AI nên suy ra DE là đường trung bình của tam giác Suy ra 1
2
DE= AC=a
Tam giác vuông D DE' , có 2 2
5 '
DK
+
.Câu 7 Cổng trường Đại học Bách Khoa Hà Nội có hình dạng parabol với chiều rộng
bằng 8m, và chiều cao 12,5 m Người ta thiết kế lại thành cái cổng hình tam giác vuông cân, nhưng vẫn để lại cánh cổng parabol cũ bằng cách đắp thêm vật liệu bên ngoài (như hình minh họa) Hãy tính chiều cao của cánh cổng mới
0.5
Trang 6Ta xây dựng hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Khi đó gọi phương trình đường parabol minh họa cho cánh cổng là y ax 2b
P P có đỉnh I 0;252
, qua A4;0 Suy ra a 2532;b252 .
Ta được 25 2 25
:
Hai đường mới xây là tiếp tuyến của P
, có hệ số góc lần lượt là k 1;k 1
k x x
Tọa độ tiếp điểm của đường mới xây và cổng cũ:
16 609
;
25 50
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M :
641 50
Suy ra tọa độ đỉnh cánh cổng mới:
641 0;
50
A
Chiều cao cánh cổng mới: 12,82 m
