Hướng dẫn giải các bài toán về phương trình lượng giác lớp 11 phần 1 | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

Câu 1: Khẳng định nào sau đây là sai về tính tuần hoàn và chu kì của các hàm số.. Lời giải Chọn B.[r]

II) HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC:

3π 2 π

2 -1

1

3π 2π

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng k2 ; 2 k 

và nghịch biến trên mỗi khoảng k2 ; k2

x

-3π

-π 2

3π 2

π 2

3π 2π

π -π

Hàm số tuần hoàn với chu kì  , có nghĩa tanx k  tan , (x k )

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ; , 

- 3π

-π 2

3π 2

π 2

Tính chất:

Hàm số tuần hoàn với chu kì  , có nghĩa cotx k cot , (x k )

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng k ; k,k 

π 2

x y

x x

x y

Bài tập kiểm tra

Câu 1: Tập xác định của hàm số

1 3cossin

x y

Đkxđ của hàm số đã cho là: sinx 0  x k

x y

Ta có

Hàm số xác định

sin 0cos 1

x x

Câu 5: Tập xác định của hàm số

2sin 1

1 cos

x y

Hàm số xác định  1 cosx0

cos 12

C ysinx x  sin x  x D 3 2 .

k

x  

Lời giải Chọn B

2

1 sin

x y

x



 xác định khi và chỉ khi2

1 sin x0  cos2x0  cosx0 ,

Điều kiện:

2sin 3 1

2 Hàm số ycos :x

* Đồng biến trên các khoảng   k2 ; 2 , k  k 

* Nghịch biến trên các khoảng k2 ;  k2 , k 

3 Hàm số ytanx đồng biến trên các khoảng

4 Hàm số ycotx nghịch biến trên các khoảng k   ; k ,k 

Phương pháp 2: sử dụng đường tròn lượng giác:

Vẽ vòng tròn lượng giác

Biểu diễn các cung lượng giác trên vòng tròn lượng giác

Ví dụ điển hình

Ví dụ 1 Xét tính tăng giảm của hàm số lượng giác y2sinx trên 0; 

π 2 sin

x

-3π2 -π

2

3π 2 π

2

3π 2π

π -π

Ví dụ 9 Xét tính tăng giảm của hàm số lượng giác

tan4

-π4

Quan sát trên đường tròn lượng giác,

ta thấy trên khoảng 3 6;

Ví dụ 11 Mệnh đề nào sau đây sai?

A Hàm số ysinx tăng trong khoảng

Quan sát trên đường tròn lượng giác,

  ta thấy: y cos x giảm dần.

Ví dụ 12 Hàm số ysinxđồng biến trên:

Hàm số ysinxđồng biến trên mỗi khoảng

Bài tập kiểm tra

Câu 1: Hàm số: y 3 2cos x tăng trên khoảng:

Vì hàm số ycosx đồng biến trên mỗi khoảng k2 ; 2 k 

Hàm số ysinxđồng biến trên mỗi khoảng 2 2 ;2 2

C Nghịch biến 0;

D Các khẳng định trên đều sai.

Lời giải Chọn C

Quan sát trên đường tròn lượng giác,

ta thấy: trên khoảng 0;

Do hàm số ycosx đồng biến trên mỗi khoảng  k2 ; 2 k 

Do hàm số ycosx nghịch biến trên 0;2

Do hàm số ytanx đồng biến trên

A Hàm số ysinx đồng biến trong khoảng

D Hàm số ycosx đồng biến trong khoảng

Do hàm số ycosx đồng biến trên k2 ; 2 k , cho k   0  ;0 suy ra đồng biến

Do hàm số ycosx nghịch biến trên 0;2

Do hàm số ytanx đồng biến trên

 Nếu D là tập đối xứng (tức là  x D  x D), ta thực hiện tiếp bước 2.

 Nếu D không phải là tập đối xứng (tức là  x D mà  x D), ta kết luận hàm số không chẵncũng không lẻ

là hàm số chẵn

b Hàm số có nghĩa

2sin 0

là hàm số chẵn.

Bài tập kiểm tra

Câu 1. Cho 2 hàm số f x  sin 4x và g x  tan 2x , khi đó:

Câu 5. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn

A ysin 2016x cos 2017x B ycot 2015x 2016sinx

C ytan 2016xcot 2017x D y2016cosx2017sinx

Câu 7. Cho hàm số f x( ) cos 2 x và g x( ) tan 3  x chọn mệnh đề đúng

  C ysin 2x D ytanx sin 2x.

Câu 9. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn

A ytan 3 cosx x B ysin2xcosx C ysin2xsinx D ysin2xtanx

Dạng 4: Tính tuần hoàn, tìm chu kỳ của HSLG

Dạng 4.1 Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì (nếu có) của một hàm số lượng giác

A Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa hàm số tuần hoàn và tìm chu kì của nó

tuần hoàn với chu kì T thì hàm số yf x  (c là hằng số) cũng là c

hàm số tuần hoàn với chu kì T

 Chú ý: (Một số dấu hiệu nhận biết hàm số yf x  không phải là hàm tuần hoàn)

Hàm số yf x  không phải là hàm tuần hoàn khi một trong các điều kiện sau bị vi phạm:+ Tập xác định của hàm số là tập hữu hạn

+ Tồn tại số a sao cho hàm số không xác định với x a hoặc x a

+ Phương trình f x   có nghiệm nhưng số nghiệm hữu hạn.k

+ Phương trình f x   có vô số nghiệm sắp thứ tự:k

1 x n x n 

mà x n x n1  0 hay 

B Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì (nếu có) của hàm số sau: ycos2 x 1

Giả sử hàm số đã cho tuần hoàn  có số thực dương  thỏa :

là số hữu tỉ Vậy hàm số đã cho không tuần hoàn

Ví dụ 4: Chứng minh rằng hàm số sau là hàm số tuần hoàn và tìm chu kì của nó:

1sin

Ví dụ 5: Cho a b c d, , , là các số thực khác 0 Chứng minh rằng hàm số f x( )asincx b cosdx là hàm

số tuần hoàn khi và chỉ khi

Từ đó ta có điều phải chứng minh

Dạng 4.2: Chứng minh 0 là chu kì của một hàm số lượng giác.

A Phương pháp giải:

Chứng minh  là chu kì của một hàm số lượng giác 0 yf x 

tức là chứng minh  là số 0nhỏ nhất trong các số T thỏa mãn: “ x D ta có: x T D x,  TD và f x T f x  ”

Ta cần chứng minh:

Bước 1:  x D f x,     f x 

Bước 2: Giả sử có số a: 0 a   sao cho: f x a   f x , x D

Chọn giá trị x x 0 thích hợp sao cho f x 0a f a 

và từ f a  f x 0

tìm ra mâu thuẫn nào đó để chứng tỏ rằng không có số a như trên

B Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Chứng minh rằng hàm số ysin 2x tuần hoàn với chu kì 

Lời giải

Hàm số yf x sin 2x.

* Tập xác định: D;x  D x, D, x D.

* Ta có: f x sin 2 x sin 2 x2 sin 2xf x 

 hàm số ysin 2x là hàm số tuần hoàn

* Giả sử có a: 0 a  sao cho: f x a   f x , x D tức là:

Thử lại: sin 2 sin 2 sin 2  sin 2

Vậy chu kì của hàm số ysin 2x là 

Vậy chu kì của hàm số

Bài 5: Chứng minh rằng các hàm số sau là những hàm số tuần hoàn với chu kì cơ sở T 0

a ysin 3x, 0

23

T  

b ycos 2x , T0 2





BÀI TẬP KIỂM TRA (Mỗi dạng đưa ra 2,3 bài, thời gian 30-45 phút)

PHẦN 3 – CÁC DẠNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Dạng 1: Tập xác định của hàm số lượng giác

Câu 1: Tìm tập xác định D của hàm số ytan 2x là

Đkxđ của hàm số đã cho là : cos 2x 0 2

Điều kiện xác định của hàm số đã cho là : sinx 1

322

x y

Lời giải Chọn D

Đkxđ của hàm số đã cho là :

sin 0

x x

Ta có sin 6x 2 2 sin 6 x  , x0    Vậy hàm số đã cho xác đinh với mọi x  

Câu 5: Hàm số y cosx1 1 cos  2 x chỉ xác định khi:

Vì 1 cos  x nên 1 cos1  x và 0

1 cos

1 cos

x x

Do 1 cos3 x   0 x nên hàm số có nghĩa  1 sin 4x0

Điều kiện: sinx m 0  x R  sin xm x R   1 m  m1

2 sin 2cos 1







x y

m x có tập xác định  khi

Lời giải Chọn D

Hàm số có tập xác định  khi mcosx 1 0,x  * .

Khi m0 thì (*) luôn đúng nên nhận giá trị m0.

Khi m0 thì mcosx  1  m1;m1 nên  * đúng khi m  1 0 0m1.

Khi m0 thì mcosx 1 m 1; m1

nên  *

đúng khi m    1 0 1 m0.

Vậy giá trị m thoả 1 m1.

Dạng 2: Sự đồng biến, nghịch biến của HSLG

Câu 1. Xét hàm số ysinx trên đoạn  ; 0

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên các khoảng 2

C Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 2

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.

Do ở đề bài, các phương án A, B, C, D chỉ xuất hiện hai khoảng là 2

thì ta nhập sin X START? Nhập   END? Nhập 0. STEP? Nhập 10

Lúc này từ bảng giá trị của hàm số ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng 2

Cách 1 : Ta thấy trên khoảng

  hàm f x( ) sin x đồng biến và hàm g x( ) cosx đồng

biến , suy ra trên

  hàm số ysinx cosx đồng biến

Cách 2 : Sử dụng máy tính Dùng TABLE ta xác định được hàm số ysinx cosxtăng trên0;

Câu 3. Xét hàm số ycosx trên đoạn   ; 

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng  0

và 0; 

B. Hàm số đồng biến trên khoảng  0

và nghịch biến trên khoảng 0; 

C Hàm số nghịch biến trên khoảng  0

và đồng biến trên khoảng 0; 

Theo lý thuyết ta có hàm số ycosx

đồng biến trên mỗi khoảng   k2;k2,k¢

và nghịch biến trên khoảng k2  ; k2,k¢

Từ đây ta có với k  hàm số 0 ycosx

đồng biến trên khoảng  0

và nghịch biến trên khoảng 0; 

Câu 4. Xét sự biến thiên của hàm số ysinx cos x Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

Tương tự như ở ví dụ 1, ta sẽ sử dụng máy tính cầm tay chức năng MODE 7: TABLE để giảibài toán

Ấn

Máy hiện f X  

thì ta nhập sinX cosX Chọn STAR; TEND; STEP phù hợp ta sẽ có kết quả như hình dưới:

thì giá trị của hàm số giảm dần, tức là

hàm số nghịch biến trên khoảng 4 4

A. Hàm số ytanx luôn luôn tăng

B. Hàm số ytanx luôn luôn tăng trên từng khoảng xác định

C Hàm số ytanx tăng trong các khoảng     k ;2 k2,k¢

D Hàm số ytanx tăng trong các khoảng k  ; k2,k¢

Lời giải Chọn B

Với A ta thấy hàm số ytanx không xác định tại mọi điểm x  ¡ nên tồn tại các điểm làm

cho hàm số bị gián đoạn nên hàm số không thể luôn tăng

Với B ta thấy B đúng vì hàm số ytanx đồng biến trên mỗi khoảng 2 2



giảm

Mệnh đề đúng trong hai mệnh đề trên là:

A Chỉ (I) đúng B Chỉ (II) đúng C Cả 2 sai D. Cả 2 đúng

Lời giải Chọn B



B Hàm số đã cho đồng biến trên 0;.

C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng

30;

biến thiên của hám số ysin 2x 3 , ta sử dụng TABLE để xét các mệnh đề

Ta thấy với A Trên

Câu 8. Bảng biến thiên của hàm số yf x( ) cos 2 xtrên đoạn

Ta có thể loại phương án B ;C ;D luôn do tại f  0 cos 0 1

và f   cos 2 1

Các

bảng biến thiên B ;C ;D đều không thỏa mãn.

Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên:

A. Chỉ (I) đúng B. Chỉ (II) đúng C. Cả hai đúng D. Cả hai sai

Lời giải Chọn C

Bài toán có hai hàm số mà cùng xét trên một khoảng nên ta sẽ sử dụng chức năng TABLE cho hai hàm Ấn MODE7 : Nhập f x 

là hàm tan 2 x nhập g x

là hàm sin x2 thì ta có kết quả

Ta thấy cả hai hàm số đều không là hàm tăng trên cả khoảng

Dạng 3: Tính chẵn - lẻ của HSLG

Câu 1. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

Câu 2. Trong các hàm số sau hàm số nào là hàm số chẵn?

A ysin 2x B ycos3x C ycot 4x D ytan 5x

Lời giải Chọn B

Mode 7=> nhập hàm số f x  cos3x cos 3 x

Star : -10; End: 10; Step :1

KQ:

cos3

y  xlà hàm số chẵn

Thực hiện tương tự cho A, C, D ta nhận được các hàm số lẻ

Câu 3. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn

A ysin 3x B yx.cosx C ycos tan 2x x D

tansin

x y

x



Lời giải Chọn D

Cách 1:

Tập xác định của hàm số

tansin

x y

sin sin

x x

KQ:

sin

x y

x



là hàm số chẵn

Thực hiện tương tự cho A, B, C ta nhận được các hàm số lẻ

Câu 4. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

A y=- sin x B y=cosx- sin x

C y=cosx+sin 2x D y=cos sin x x

Lời giải.

Chọn C

Tất các các hàm số đều có TXĐ: D = ¡ Do đó " Îx D Þ - xÎ D.

Bây giờ ta kiểm tra (f - x)=f x( ) hoặc (f - x)=- f x( ).

 Với y=f x( )=- sinx Ta có (f - x)=- sin(- x)= sinx=- -( sinx)

- Suy ra hàm số y=cosx- sinx không chẵn không lẻ

 Với y=f x( )= cosx+ sin 2x Ta có (f - x)= cos(- x)+ sin 2(- x)

¾¾ ® - = Suy ra hàm số y=cosx+sin2x là hàm số chẵn Chọn C.

 Với y=f x( )= cos sin x x Ta có (f - x)= cos(- x).sin(- x)=- cos sinx x

¾¾ ® - =- Suy ra hàm số y=cos sinx x là hàm số lẻ

Câu 5. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

tan sin

x y x

y=f x = x æçççèx- pö÷÷÷ø = x x= x Kiểm tra được đây là hàm

số chẵn nên có đồ thị đối xứng qua trục tung Chọn B.

Câu 7. Cho hàm số ( )f x =sin2x và ( )g x =tan 2x Chọn mệnh đề đúng

TXĐ: D = ¡ Do đó " Îx D Þ - xÎ D.

p p

Kiểm tra được đáp án A là hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ Chọn A.

Ta kiểm tra được đáp án B và C là các hàm số không chẵn, không lẻ

Vậy y= sin2x không chẵn, không lẻ

Câu 10. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

Vậyy= sinx+ cosxkhông chẵn, không lẻ.

Dạng 4: Tính tuần hoàn, tìm chu kỳ của HSLG

Dạng 4.1: Tìm chu kì của hàm số tuần hoàn

Câu 1: Hàm số ycos2x 1 tuần hoàn với chu kì:



D

3 2



Lời giải Chọn A

Cách 1 Giải theo pp tự luận

đều như nhau thì đáp án đó chính là chu kì

- nếu không phải ta ấn AC rồi nhập đáp án tiếp theo

Câu 2: Hàm số y2sin cos3x x tuần hoàn với chu kì:

Cách 1 Giải theo pp tự luận

+ y2sin cos3x xsin 4x sin 2 x

+ Hàm số ysin 4x tuần hoàn với chu kì

2



+ Hàm số ysin 2x tuần hoàn với chu kì

22





.+ Do đó hàm số y2sin cos3x xlà hàm tuần hoàn với chu kì 

Cách 2 Giải theo pp trắc nghiệm

- Mode 7; nhập hàm f x 2sin cos3x x

- Start: Nhập giá trị 60(ứng với đáp án nhỏ nhất)

+ Hàm số ysin 2x tuần hoàn với chu kì

22







+ Do đó hàm số y2sin cos3x xlà hàm tuần hoàn với chu kì 2



D Không có chu kì.

Lời giải Chọn D

Cách 1 Giải theo pp tự luận

+ ycos2xsin2 x  nên y là một hàm hằng.1, x

+ Với mọi số T ta có:cos2x   sin2x   cos2xsin ,2x x đó là một hàm số tuần hoàn nhưng không có chu kì (trong các số T dương không có số T nhỏ nhất)

Cách 2 Giải theo pp trắc nghiệm

Thao tác bấm máy như các ví dụ trên









.+ Do đó học sinh thường cho rằng hàm số ycos2 xsin2 x tuần hoàn với chu kì 

Câu 4: Hàm số y2cos2x3cos3x8cos4x tuần hoàn với chu kì :

Lời giải Chọn B

Cách 1 Giải theo pp tự luận

tuần hoàn với chu kì 2

+ Hàm số y5cos 2x tuần hoàn với chu kì

22







+ Hàm số

3cos34

tuần hoàn với chu kì

23



+ Hàm số ycos 4x tuần hoàn với chu kì

2

.+ Do đó hàm số y2cos2x3cos3x8cos4x là hàm tuần hoàn với chu kì 2 

Cách 2 Giải theo pp trắc nghiệm

- Mode 7; nhập hàm f x 2cos2x3cos3x8cos4x

- Start: Nhập giá trị 180(ứng với đáp án nhỏ nhất)

đều như nhau nên chọn đáp án B

Câu 5: Hàm số y2sin2x4cos2x6sin cosx x tuần hoàn với chu kì :

A 2.



3.2



Lời giải Chọn B

Cách 1 Giải theo pp tự luận

+ y2sin2x4cos2 x6sin cosx x3sin 2xcos 2x3

+ Hàm số y3sin 2x tuần hoàn với chu kì

22







+ Hàm số ycos 2x tuần hoàn với chu kì

22





.+ Do đó hàm số y2sin2x4cos2x6sin cosx x là hàm tuần hoàn với chu kì .

Cách 2 Giải theo pp trắc nghiệm

- Mode 7; nhập hàm f x 2cos2x3cos3x8cos4x

- Start: Nhập giá trị 180(ứng với đáp án nhỏ nhất)

Cách 1 Giải theo pp tự luận

+

cos 2sin 3cos 2 1

 là hàm tuần hoàn với chu kì .

Cách 2 Giải theo pp trắc nghiệm

Thao tác bấm máy như các ví dụ trên

- Ta thấy các giá trị f x  không bằng nhau nên loại đáp án A, B, C.

Dạng 4.2 Xét tính tuần hoàn của một hàm số lượng giác

Câu 1: Khẳng định nào sau đây là sai về tính tuần hoàn và chu kì của các hàm số?

A Hàm số ysinx là hàm số tuần hoàn chu kì 2 

B Hàm số ycosx là hàm số tuần hoàn chu kì .

C Hàm số ytanx là hàm số tuần hoàn chu kì .

D Hàm số ycotx là hàm số tuần hoàn chu kì .

Lời giải Chọn B

Câu 2: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?

A y x cos x B y x  tan x C y 2 tanx1. D y x21.

Lời giải Chọn C

+ Với các đáp án A, B, D ta thấy: f x    f x , 0,x D nên các hàm số không

tuần hoàn.

+ Hàm số y 2 tanx1 tuần hoàn với chu kì 

Câu 3: Trong các hàm số sau, hàm số nào nào không tuần hoàn:

A ysinxsin(x 2). B ysin 5x3cos 7 x

C ytan 22 x1. D y3sin 2x 2.

Lời giải Chọn A

+ Hàm số ysinx tuần hoàn với chu kì 2 

+ Hàm số ysin(x 2) tuần hoàn với chu kì

2.2



+ Nhưng vì 1 và 2 không khả ước, nghĩa là không tồn tại bội số chung nhỏ nhất , nên hàm

y x x không tuần hoàn

Câu 4: Trong các hàm số sau, hàm số nào nào không tuần hoàn?

A y x cos 2 x B ycos 2x C y x 2 cos 2x D y x 2.

Lời giải Chọn B

+

2 1 cos 2cos





.+ Các hàm số còn lại đều có f x    f x ,  nên không là hàm số tuần hoàn.0

Câu 5: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?

Lời giải Chọn B

+ Với các đáp án A, C, D ta thấy: f x    f x , 0,x D nên các hàm số không tuần hoàn

+ Hàm số y2cos 3x1. tuần hoàn với chu kì 3



Câu 6: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?

C ycos3 1 cosx  x D ycos x

Lời giải Chọn C

+ Với các đáp án A, B ta thấy: f x    f x , 0,x D nên các hàm số không tuần hoàn