Với ý tưởng khá tự nhiên và đơn giản, chúng ta cùng tìm hiểu phương pháp này thông qua các ví dụ cụ thể dưới đây:. Ví dụ 1.(NESBITT) Cho các số thực dương a, b, c thay đổi bất kì.[r]
Trang 1Đình
Mẫn
NỬA PHẦN CÒN LẠI
http://k2pi.net
Trong cuộc sống, "Tình yêu" là một điều dường như không thể thiếu đối với mỗi chúng ta Tạo hóa đã tạo
ra hai giới khác nhau mang trong mình hai nửa của một vật thể hoàn hảo Mỗi chúng ta ai cũng có một nửa của mình trong thế giới này Điều quan trọng là chúng ta sẽ gặp một nửa ấy vào lúc nào, gặp trong hoàn cảnh nào, ở đâu và có thể ta mãi mãi không tìm thấy Chính vì thế, đừng tìm kiếm "Tình yêu", hãy để
"Tình yêu" tìm ra bạn Điều đó giải thích tại sao ta gọi " ngã vào tình yêu " bởi vì bạn cũng không thể
tự buộc mình ngã được Chỉ đơn giản là bạn bị ngã thôi Bạn cũng không thể nói rằng đã đọc xong quyển sách nếu bạn chưa kết thúc từng chương một Còn muốn đọc tiếp tục ư? Thì bạn đành phải để lại những gì
đã qua khi muốn lật sang trang mới mà thôi Có thể một nửa ấy vẫn luôn ở bên mình, mà bản thân mình lại không nhận ra để rồi tiếp tục hướng tới một nơi xa Thật đáng tiếc cho những người như vậy!
Vậy, "Toán học" có mối liên hệ gì với "Tình yêu"? Tại sao tôi lại nói đến một nửa trong "Tình yêu" trong bài viết này?
Có câu nói: "Toán học là thứ ngôn ngữ ngắn gọn nhất của cuộc sống" Toán học nói chung và bất đẳng thức toán học cũng vậy, nó luôn gắn chặt với thực tiễn cuộc sống Bài viết này trình bày phương pháp giải một lớp các bất đẳng thức mà chủ yếu là bất đẳng thức hoán vị Phương pháp này tôi tạm gọi với cái tên "NỬA PHẦN CÒN LẠI" Cái tên đã nói lên tất cả! Với ý tưởng khá tự nhiên và đơn giản, chúng ta cùng tìm hiểu phương pháp này thông qua các ví dụ cụ thể dưới đây:
Ví dụ 1.(NESBITT) Cho các số thực dương a, b, c thay đổi bất kì Chứng minh rằng:
a
b + c+
b
c + a+
c
a + b ≥
3 2
Chứng minh Đặt P = a
b + c +
b
c + a+
c
a + b, Q =
b
b + c +
c
c + a+
a
a + b, R =
c
b + c +
a
c + a+
b
a + b. Theo bất đẳng thức AM − GM ta có
P + Q = a + b
b + c +
b + c
c + a +
c + a
a + b ≥ 3, P + R =
a + c
b + c +
b + a
c + a+
c + b
a + b ≥ 3 Suy ra 2P + Q + R ≥ 6, mà Q + R = 3 nên P ≥ 3
2.
Ví dụ 2 Cho các số thực a, b, c thay đổi và thõa mãn a + b + c = 2, a2+ b2+ c2 = 4 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = ab2+ bc2+ ca2
Chứng minh Đặt a = x +2
3, b = y +
2
3, c = z +
2
3 Khi đó giả thiết trở thành x + y + z = 0, x
2+ y2+ z2 = 8
3 và
P = xy2+ yz2+ zx2+ 8
9 Chúng ta sẽ tìm giá trị lớn nhất của M = xy2+yz2+zx2với x+y +z = 0, x2+y2+z2= 8
3, xy +yz +zx = −
4 3 Xét N = x2y + y2z + z2x ta có M + N = −3xyz, M N = (3xyz)2−64
27
Từ đây ta suy ra M =
3t +
q
256
27 − 27t2
2 hoặc M =
3t −
q
256
27 − 27t2
2 , t = xyz
Trang 2Đình
Mẫn
Do đó, ta chỉ cần tìm giá trị lớn nhất của M =
3t + 25627 − 27t2
2 Theo bất đẳng thức Cauchy − Schwarz ta lại có
3t +
r 256
27 − 27t
2 ≤
s
1
3+ 1
27t2+256
27 − 27t
2
= 32 9
Do đó max M = 16
9 khi t =
8
27 hay max P =
8
3.
Và M =
3t −
q
256
27 − 27t2
2 đạt giá tị nhỏ nhất Mà 3t −
q
256
27 − 27t2= 3
16
8
3 −
q
256
27 − 27t2
2
+ 1
144(27t + 8)2−32
9 ≥ −
32
9
Từ đó suy ra min M = −16
9 khi t = −
8
27 Vậy min P = −
8
3. Chú ý Bài toán tổng quát: Cho các số thực a, b, c thay đổi và thõa mãn a + b + c = m, a2+ b2+ c2=
n2, (3n2 ≥ m2) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = ab2+ bc2+ ca2
Ví dụ 3 Cho các số thực dương a, b, c thõa mãn abc = 1 Chứng minh rằng
a
a + b+
b
b + c +
c
c + a ≥
a + b + c
a + b + c − 1
Chứng minh Đặt x = a + b + c, y = ab + bc + ca, suy ra x ≥ 3, y ≥ 3
Xét
A = a
a + b+
b
b + c+
c
c + a−
a + b + c
a + b + c − 1, B =
b
a + b +
c
b + c+
a
c + a −
a + b + c
a + b + c − 1
Ta có A + B = 3 − 2x
x − 1 =
x − 3
x − 1 ≥ 0,
AB = 2xy − 6
xy − 1 +
x3+ y3− xy + 3 (xy − 1)2 − 3x
x − 1+
x2 (x − 1)2 Nếu ta chứng minh được AB ≥ 0 thì bài toán sẽ được giải quyết Thật vậy, ta có
AB ≥ 0 ⇐⇒ (x3+ y3− 9xy + 9 + 2x2y2)(x − 1)2− (2x2− 3)(xy − 1)2 ≥ 0 (1)
Tiếp tục đặt x = u + 3, y = v + 3 ⇒ u, v ≥ 0 Khi đó
(1) ⇐⇒ u5+u2v3−u3v2+13u4+2u2v2+4uv3−11u3v+43u3+21uv2+4v3−48u2v+43u2−54uv+27v2 ≥ 0 (2)
Sử dụng bất đẳng thức AM − GM ta có
u5+ 2u2v3
3 ≥ u
3v2, 4(uv3+ u4+ u4) ≥ 12u3v ≥ 11u3v (43u3+ 21uv2) + (5u4+ 10y2) ≥ 42u2v + 10u2v ≥ 48u2v, 43u2+ 17v2≥ 54uv Cộng các kết quả này lại suy ra (2) đúng
Đẳng thức xảy ra trong bài toán ban đầu a = b = c = 1
Nhận xét Chắc hẳn qua 3 ví dụ cụ thể mà tôi đã trình bày thì các bạn đã rõ hơn về cái tiêu đề rồi đúng không? Ý tưởng thực sự đơn giản và yêu cầu của phương pháp này đó là sự chịu khó, cần mẫn và cẩn thận Chúc các bạn sẽ có những ý tưởng mới! Nào, hãy cùng thực nghiệm với các bài tập dưới đây:
Bài 1 Cho a, b, c là các số thực không âm thay đổi và thỏa mãn a2+ b2+ c2 = 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P = ab2+ bc2+ ca2− abc
Trang 3Đình
Mẫn
Bài 2 Cho a, b, c là các số thực không âm thay đổi và thỏa mãn a + b + c = 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P = a2b + b2c + c2a + abc Bài 3 Cho a, b, c là các số thực thay đổi và thỏa mãn 2(a2+ b2+ c2) = 3(ab + bc + ca) = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = a3b + b3c + c3a Bài 4 Cho a, b, c là các số thực không âm Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = a
b + c+
b
c + a +
c
a + b+
3abc 2(ab2+ bc2+ ca2)
Tác giả: Lê Đình Mẫn
QB, ngày 12 tháng 03 năm 2014