[r]
Trang 1Phong Thanh Dương
HS lớp 11, trường THPT Yên Phong số 2, Bắc Ninh
………
Bài T9-419 (THTT số tháng 5 – 2012)
ðề bài
Cho a, b, c > 0 và thoả mãn
ab bc ca
trị lớn nhất của biểu thức
Lời giải
Áp dụng bất ñẳng thức Côsi ta có 2 2 9 12 6
3
5a 2ab 2b 3 a b
dấu “=” xảy ra khi a = b Tương tự ta có
5b 2bc 2c 3 b c 5c 2ca 2a 3 c a
Dẫn tới
3 2 3 2 3 2
dấu “=” xảy ra khi a = b = c Ta có
2 2
2 3 2 3 2 3 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2
P
3
(áp dụng bất
ñẳng thức
).
≤
2 2 3 4 2 2 2 3 4 2 2 2 3 4 2
Như vậy 2
dấu “=” xảy ra khi a = b = c
Từ giả thiết và áp dụng bất ñẳng thức x2+ y2+ z2≥ xy + yz + zx, ta có
Trang 22 2 2 2 2 2
(*) 2
ab bc ca
Dấu “=” ở (**) xảy ra khi 15
2012
15
≤
Tổng quát bài toán
ðề bài
Cho các hằng số dương x, y, z, t, , , α β γ mà 0 < ≤ α > β > t 1, 0, và hằng số n ∈ ℕ *. Cho n biến số thực dương a , ,a1 n thoả mãn
2
i i i
i 1 i 1
.
a b a
α ∑ = β ∑ + γ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
n
i i i i
i 1
1
(xa ya c zc )
=
=
∑ Ở ñó (b , , b )1 n và (c , ,c )1 n là hai hoán vị cho trước của (a , , a )1 n (Quy tắc xác ñịnh hai hoán vị này là không thay ñổi)
Lời giải
a) ðầu tiên ta xét hàm số f (X) = X , Xλ > λ ≥ 0, 1, có f '(X) = λ Xλ−1,
2
f ''(X) = λ λ − ( 1)Xλ− ≥ 0, X > λ ≥ 0, 1. Do ñó hàm f(X) có ñồ thị quay bề lõm lên trên, và nhờ bất ñẳng thức Jensen ta có
λ
λ
≤
1 n
X , , X > 0, dấu “=” ở (1) xảy ra khi λ = 1 hoặc X1= = X n
b) Áp dụng bất ñẳng thức Bunhiacốpxki ta có
.
i i
(2).
a b
γ
α − β
Dấu “=” ở (2) xảy ra khi hai bộ (a ), (b )i i tỉ lệ và
2
i i i
i 1 i 1
.
a b a
Trang 3c) Tiếp theo, do x, y, z > 0 nên x x z
+ + + + + + Vì ℚtrù mật trong ℝ nên tồn tại hai
dãy số (p ), (q )k k ⊂ ℚ sao cho k k
và 0 < pk < pk + qk < 1, 0 < qk < pk + qk < 1, với k ñủ lớn Ta biểu diễn
k k
p ,q ở dạng phân số, sau ñó gọi mk là bội chung nhỏ nhất của hai mẫu của
hai số ñó, bây giờ viết k k k k
= = với m , u , v , mk k k k − uk − vk là những số nguyên dương và mk ≥ 2 (với k ñủ lớn) Bây giờ với k ñủ lớn, với
i 1, n, = áp dụng bất ñẳng thức Côsi và bất ñẳng thức (1), ta có
k k k k k k k i
k k k k
k k k k
k
m m u v m u v
1 p q 1 p q
1 p q 1 p q
1
+
1
q 1 p q t 1 p q 1 p q 1
1
n
≤
Cũng với k ñủ lớn và áp dụng bất ñẳng thức Côsi, i 1, n, = ta có tiếp
2 2 (2m ) 2(m u v ) 2(m u v )
2 2 (1 p q ) (1 p q )
1
(1 p q ) (1 p q )
2
−
Từ (2), (3) và (4), với k ñủ lớn, suy ra
1
t n
i
i 1
−
=
→ + +
Trang 4k k k
+ + + + và Fk → + + (x y z) Ft nên (5) sẽ trở thành
t t
Ở (6) có thể xảy ra dấu “=”, chẳng hạn khi 1 n n( )
a = = a = α − β
γ
t t
Nhận xét
Bài toán T9/419 chính là một trường hợp riêng của bài toán tổng quát nói trên, với
1
t , n 3, 15, 10, 2012, x 5, y z 2,
2
= = α = β = γ = = = = còn a ,a ,a1 2 3 chính là a, b, c
………