Tính chất.. Khi chúng ta thông thạo các phép tính đạo hàm, ta có thể sử dụng phương pháp này để giải một phương trình vô tỷ. Bởi đó là cách nhanh gọn nhất để tiếp cận với nghiệm của ph[r]
Trang 1111Equation Chapter 1 Section 1Ví dụ 4 Giải phương trình
(Phạm Kim Chung)
Lời giải
Điều kiện x 2. Ta có x 1 x 2, x 2, từ đó phương trình tương đương với
4
Đặt x 1 a; x 2 b a b 0 Ta có phương trình 2
4
a b b 1
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho ta 2
4
a b b 1
2 4
hay:
4
a b b 1
Dấu bằng xảy ra
a 2
b 1
Thay trở lại ta tìm được x 3. Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x 3.
- BÀI TẬP RÈN LUYỆN.
Bài 1 Giải phương trình
2
2
Đáp số: x 1.
Bài 2 Giải phương trình 41 x 2 41 x 41 x 3. Đáp số: x 0.
Bài 3 Giải phương trình
2 2
1
7
Bài 4 Giải phương trình
2
2
Đáp số: x 2.
Bài 5 Giải phương trình 4 x 10 3x 1 x 3 x 7 2x.
Đáp số: x 3.
Bài 6 Giải phương trình x32 2x 1 3 3x26x 2.
Đáp số: x 0.
Bài 7 Giải phương trình 1 x 1 3x 1 2x 2 1 4x.
Đáp số: x 0.
Bài 8 Giải phương trình 4 x 2 4 x 4 x 2 4 4 x x3 6x 3x 30.
Đáp số: x 3.
3 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
a) Đánh giá dựa vào miền giá trị của hàm số.
Tính chất Nếu hàm số y f x , x D đơn điệu trên khoảng a, bDvà f x 0 0, x0a, b thì
0
x x là nghiệm duy nhất của phương trình f x 0
- Chú ý ynu x
n 1 n
u ' x
Ví dụ 1 Giải phương trình 3x7 5 4x 3 x 3
Lời giải
Điều kiện
5
4
Trang 2Phương trình đã cho tương đương với: 3x7x3 5 4x 3 0
Xét hàm số: f x 3x7x3 5 4x 3 0 ,
5
4
ta có:
5 4x
5 x 4
đồng thời f x
liên tục trên
5
; 4
và f 1 0
Suy ra phương trình f x 0 có nghiệm duy nhất x 1.
- Bình luận Khi chúng ta thông thạo các phép tính đạo hàm, ta có thể sử dụng phương pháp này để giải
một phương trình vô tỷ Tuy nhiên câu hỏi thường được đặt ra là: Khi nào chúng ta nên sử dụng phương pháp này? Làm sao để biết phương pháp này là sử dụng được?
- Thông thường khi chúng ta gặp những phương trình vô tỷ chứa u xn
, hay n u x
mà n 4, ta thường nghĩ đến vấn đề sử dụng hàm số để giải toán Bởi đó là cách nhanh gọn nhất để tiếp cận với nghiệm của phương trình vô tỷ
- Để biết được bài toán nào hiệu quả với phương pháp hàm số, chúng ta cần đoán biết được nghiệm của phương trình, đồng thời kiểm tra một số khoảng trong miền nghiệm khi cần thiết để xem sự tăng hay giảm của miền giá trị Các bạn có thể đọc bài “Sự hỗ trợ của máy tính CaSiO trong giải phương trình vô tỷ” để tìm hiểu thêm về vấn đề này
Ví dụ 2 Giải phương trình
3
2x 1
Lời giải
Điều kiện
2x 1
1 3
2 2
Ta có:
2 3 3
4
1 3
2 2
Lại có f 1 0
Suy ra phương trình có nghiệm duy nhất x 1.
Ví dụ 3 Giải phương trình x2 5 x 5 x 12.
Lời giải
Điều kiện 5 x 5.
Xét hàm số f x x2 5 x 5 x 12, x 5;5 , ta có:
f' x 2x
x 2x
f ' x 0
x 0 Từ đó ta có bảng biến thiên:
12 2 5
Nhìn vào bảng biến thiên, suy ra phương trình f x chỉ có 2 nghiệm Mà 0 f4 f 4 Nên 2 0 nghiệm đó là: x4; x 4.
Trang 3- Bình luận Chúng ta hoàn toàn có thể sử dụng phương pháp hàm số trong trường hợp giải được phương
trình f ' x hoặc nhận định được dấu của 0 f '' x
Ví dụ 4 Giải phương trình 2x211x 21 3 4x 4 0 3 (VMO – 1995 Bảng B)
Lời giải
Xét hàm số f x 2x211x 21 3 4x 4, 3
ta có:
3
4
4x 4
f ' x 0 3 2
4 4x 11
4x 4
11
4
Lại có:
3
32
3 4x 4
,
11 x 4
và f ' 3 suy ra phương trình 0 f ' x có nghiệm duy 0 nhất x 3.
Ta có bảng biến thiên:
x
11
0
Từ bảng biến thiên ta thấy:
11; 4
M in f x f 3 0
Do đó phương trình f x có nghiệm duy nhất0
x 3.
- Nhận xét: Việc sử dụng bảng biến thiên thực sự hữu hiệu với những bài toán được chia ra nhiều khoảng
xác định Ta xét các ví dụ sau:
Ví dụ 5 Giải phương trình
5
2x 11
Lời giải
Điều kiện
8 x
3 11 x
2
Ta có
5
2x 11
5
2x 11
Xét hàm số f x 3x 8 x 1 5
2x 11
có:
f ' x
2x 11
2 3x 8 x 1
0 2x 11
Từ đó ta có bảng biến thiên:
11
0
0
Trang 4Từ bảng biến thiên, kết luận: phương trình f x có 2 nghiệm 0 x 3; x 8
Ví dụ 6 Giải phương trình 4x 1 x 3 33x 5 4x 8.
Lời giải
Điều kiện x3. Nhận thấy
1 x 4
không là nghiệm của phương trình Với
1 x 4
, phương trình đã cho
tương đương với:
4x 1
4x 1
x 3; \ 1
4
Ta có:
3
4
Bảng biến thiên:
1
Từ bảng biến thiên, suy ra:
Phương trình f x chỉ có 2 nghiệm là 0 x2; x 1.
Ví dụ 7 Giải phương trình
2
2
x 1
Lời giải
Điều kiện
2
2
2
2
x 1
x2 1 x x41 x 1 *
2
x
Kết hợp điều kiện cho ta: 0
x 1
x x
2
Từ phương trình (*), xét hàm số: f x x2 1 x x41 x 1
4 4
4 4
4
x 1.
Suy ra phương trình (*) vô nghiệm, hay phương trình đã cho vô nghiệm
- Bình luận Phương pháp đánh giá nói chung và phương pháp hàm số nói riêng là phương pháp thường
dùng nhất trong việc chứng minh một phương trình vô nghiệm
Ví dụ 8 Giải phương trình 2 1 2x 1020x 1 3.
Trang 5Lời giải
Đặt a 1 2x 2x 1 a 2 a 0
; b1020x 1 20x b 101b 0
, ta có hệ phương trình:
2a b 3
2
2
2b10 5b2 30b 23 0 *
Do a, b 0 nên từ: 2a b 3 0 b 3
+ Nếu: b 0 phương trình (*) vô nghiệm, suy ra PT đã cho vô nghiệm
+ Nếu: 0 b 3 , từ (*) ta có: 8 9 10
Xét hàm số: f b 2 58 309 2310 ,
0 b 3
ta có:
40 270 2309 10 11 1011
f ' b
Lập bảng biến thiên ta thấy: f b f 1 0
Hay phương trình (*) có nghiệm duy nhất b 1.
Thử lại cho ta phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 0.
- Bình luận Lựa chọn phương pháp đặt ẩn phụ để đưa về phương trình bậc cao, sau đó kết hợp với
phương pháp hàm số để xử lý bài toán cũng là một lựa chọn tinh tế cho những bài toán khó
Ví dụ 9 Giải phương trình
3
3x 2
4 3x 2
Lời giải
Điều kiện
2
3
Phương trình đã cho tương đương với: 33x 2 3x 2 8x 12 *
Với
2
x
3
thì: 33x 2 3x 2 0 8x 12 0
3
2
Đặt 3x 2 a
5
2
Phương trình đã cho trở thành:
3
Hàm số: 3
nghịch biến trên:
5
; 2
Suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 2.
Ví dụ 10 Giải phương trình x x21 32 x 1 2 2x 2
Lời giải
Điều kiện x 1.
Phương trình đã cho tương đương với: x x21 2 4x 4 5
Đặt: 4x 4 a a 0 Phương trình đã cho trở thành:
2
8a5 a28a a 4 *
+ Rõ ràng a 0 không là nghiệm của phương trình (*)
Trang 6+ Với a 0, phương trình (*) tương đương với: 5 4 8 9
8
Hàm số: f a 45 14 18 89 8
, nghịch biến trên 0;
và f 1 0 Suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 1.
- BÀI TẬP RÈN LUYỆN.
Bài 1 Giải phương trình x5 x 1 x 2 5. Đáp số: x 2.
Bài 2 Giải phương trình
2x 2
Đáp số: x 1.
Bài 3 Giải phương trình 13 x 1 9 x 1 16x. Đáp số:
5
4
Bài 4 Giải phương trình
Bài 5 Giải phương trình
2
2
Đáp số: x 2.
Bài 6 Giải phương trình 13 x2 x4 9 x2x4 16. Đáp số:
2
5
Bài 7 Giải phương trình 2x 3 x 5 x 3 2 x 6 Đáp số: x 3.
Bài 8 Giải phương trình 3x 2 x 3 2x 7 5
Đáp số: x 1; x 6
b) Sử dụng hàm số đại diện.
Tính chất Xét hàm số: y f t , t D.
1) Nếu hàm số f t đơn điệu trong khoảng a, b D,
ta có:
f u f v
u, v a, b
u v
2) Nếu hàm số f t
đồng biến trong khoảng a, bD,ta có:
u v
f u f v
u, v a, b
3) Nếu hàm số f t
nghịch biến trong khoảng a, b D,
ta có:
u v
f u f v
u, v a, b
Ví dụ 1 Giải phương trình 2 1 2 1
Lời giải
Điều kiện
7
5
Phương trình đã cho tương đương với:
x 1 5x 6 1
Xét hàm số 2 1
u 1
u 1. Ta có:
1
2 u 1
u 1. Suy ra hàm số f u
đồng biến trong khoảng 1;
nên:
Trang 7Với
7
5
ta có:
x 1; 5x 6 1
3
2
Thử lại ta thấy nghiệm của phương trình đã cho là
3
2
Ví dụ 2 Giải phương trình
2
Lời giải
Điều kiện x9. Phương trình đã cho tương đương với:
Xét hàm số: f u u 21
trên R, ta có:
2u
u Suy ra hàm số f u
đồng biến trên
Nên f x 2 f x 9 x 2 x 9
29 3 x
2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là
29 3
2
Ví dụ 3 Giải phương trình
2
Lời giải
Điều kiện x 2. Đặt 3x a; x 2 b a, b 0 Phương trình đã cho trở thành:
ab
Xét hàm số: f u u6 3u4 1,
u
u 0 , ta có: f ' u 6u5 12u3 12 0,
u
u 0
Suy ra hàm số f u
đồng biến trên khoảng 0;
, do đó:
f a f b
*
a, b 0;
Với a b , thay trở lại ta có: 3x x 2 (VN)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
Ví dụ 4 Giải phương trình 43 x 5 4 x 13 411 x 43 3 x
Lời giải
Điều kiện 5 x 3. Phương trình đã cho tương đương với:
43 x 5 43 3 x 11 x x 13
Xét hàm số: f u 411 u 4 u 13, u 13;11
, ta có: Hàm số f u
liên tục trên đoạn 13;11
, đồng thời:
Trang 8 4 1 4 1
f ' u
4 u 13 4 11 u
f ' u u0 1
Suy ra: f u
đồng biến trên 13; 1
và nghịch biến trên 1;11.
Do đó ta có:
+ Nếu x 5; 1
3x 2 x
nên: f 3x 2 f x
hay phương trình (*) không có nghiệm
x 5; 1
+ Nếu x 1;3
1 3x 2 11 3x 2 x
nên f 3x 2 f x hay phương trình (*) không có nghiệm
x 1;3
Với x1 f x f 3x 2 Hay phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x1.
Ví dụ 5 Giải phương trình
2
x 1
Lời giải
Điều kiện
1 17
0 x
2
Phương trình đã cho tương đương với:
2
Xét hàm số:
2
, u 0;2
Đồng thời f u
liên tục trên đoạn 0; 2
, suy ra f u
đồng biến trên đoạn 0; 2
Ta lại có:
+ x1 không là nghiệm của phương trình
+ Với
2
ta có: x2 x 2, x2 x 0;2 và:
- Nếu 0 x 1 x2 x 2 x2x f x2 x 2 f x2x ,
suy ra:
, đồng thời VP * x2 hay phương trình (*) không có 1 0 nghiệm x0;1
- Nếu
1 x
2
Suy ra: VT * f x2 x 2 f x2x 0,
đồng thời VP * x2 hay phương trình (*) 1 0 không có nghiệm
2
- Với x 1 ta có: f x2 x 2 f x2x
Suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 1.
