Khi kiểm tra theo số thứ tự một lô hàng có 10 sản phẩm ( các sản phẩm đề thuộc một trong hai loại tốt hoặc xấu). f) Có ít nhất một sản phẩm xấu. Ta lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một viên [r]
Trang 1BÀI TOÁN VỀ XÁC SUẤT – P3
A LÝ THUYẾT
Tóm tắt lí thuyết của bài – Tài liệu bài giảng
B BÀI TẬP TỰ LUYỆN: ………
Bài 1. Khi kiểm tra theo số thứ tự một lô hàng có 10 sản phẩm ( các sản phẩm đề thuộc một trong hai
loại tốt hoặc xấu) Gọi A là biến cố “ sản phẩm thứ k là loại xấu” viết bằng kí hiệu các biến cố sau
a) Cả 10 sản phẩm đều xấu
b) Có ít nhất một sản phẩm xấu
c) Sáu sản phẩm đầu tốt còn lại là xấu
d) Các sản phẩm kiểm tra theo thứ tự chẵn là tốt, thứ tự lể là xấu
Bài 2. Có hai hộp đựng bi: hộp 1 đựng 3 bi trắng, 7 bi đỏ, 15 bi xanh; hộp 2 đựng 10 bi trắng, 6 bi
đỏ, 9 bi xanh Ta lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một viên bi Tìm xác suất để hai viên bi lấy ra cùng màu
Bài 3. Bắn liên tiếp vào một mục tiêu đến khi viên đạn đầu tiên trúng mục tiêu thì dừng Tính xác suất
sao cho phải bắn đến viên đạn thứ sáu Biết rằng xác suất trúng mục tiêu của mỗi viên đạn là
0, 2và các lần bắn độc lập nhau.
Bài 4. Hai xạ thủ cùng bắn vào một bia Mỗi người cùng bắn một viên đạn, xác suất bắn trúng bia của
người thứ nhất là 0,7, xác suất bắn trúng bia của người thứ hai là 0,8 Tính xác suất để có một viên đạn bắn trúng bia
Bài 5. Một máy bay có 5 động cơ, trong đó 3 động cơ ở cánh phải và hai động cơ ở cánh trái Mỗi
động cơ ở cánh phải xác suất hỏng là 0,1, mỗi động cơ ở cánh trái có xác suất hỏng là 0,05, các động cơ hoạt động hoàn toàn độc lập Tìm xác suất để máy bay hoạt động an toàn trong các trường hợp sau đây:
a) Máy bay chỉ hoạt động được khi có ít nhất 3 động cơ làm việc
b) Máy bay chỉ hoạt động được khi trên mỗi cánh của máy bay có ít nhất một động cơ làm việc
Bài 6. Một vận động viên bắn súng bắn 3 viên đạn Xác suất bắn trúng cả 3 viên trong vòng 10 là
0,008, xác suất trúng 1 viên trong vòng 8 là 0,15, xác suất để 1 viên trúng vòng dưới 8 là
0, 4 Biết rằng các lần bắn độc lập nhau Tìm xác suất để vận động viên đạt được ít nhất 28
điểm
Bài 7. Trong lớp học có 6 bóng đèn, mỗi bóng có xác suất bị cháy là
1
4 Lớp học đủ sáng nếu có ít nhất bốn bóng đèn sáng Tìm xác suất để lớp học đủ ánh sáng
Bài 8. Một bài trắc nghiệm gồm 12 câu hỏi, mỗi câu có 5 phương án trả lời, nhưng chỉ có 1 phương
án đúng Mỗi câu trả lời đúng được 4 điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ 1 điểm Một học sinh kém làm bài bằng cách chọn hú họa một câu trả lời Tìm xác suất để
a) Học sinh đó được 13 điểm
b) Học sinh đó bị điểm âm
Bài 9. Gieo ngẫu nhiên một con xúc sắc cân đối đồng chất hai lần Tính xác suất của các biến cố sau
Trang 2a) Lần thứ nhất xuất hiện mặt sáu chấm.
b) Lần thứ hai xuất hiện mặt sáu chấm
c) Ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm
d) Không lần nào xuất hiện mặt sáu chấm
Bài 10. Gieo đồng thời bốn đồng xu cân đối đồng chất (các đồng xu khác nhau) Tính xác suất của biến
cố
a) Cả bốn đồng xu đều ngửa
b) Có đúng ba đồng xu lật ngửa
c) Có ít nhất hai đồng xu lật ngửa
C LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Khi kiểm tra theo số thứ tự một lô hàng có 10 sản phẩm ( các sản phẩm đề thuộc một trong hai
loại tốt hoặc xấu) Gọi A là biến cố “ sản phẩm thứ k là loại xấu” viết bằng kí hiệu các biến cố sau
e) Cả 10 sản phẩm đều xấu
f) Có ít nhất một sản phẩm xấu
g) Sáu sản phẩm đầu tốt còn lại là xấu
h) Các sản phẩm kiểm tra theo thứ tự chẵn là tốt, thứ tự lể là xấu
Lời giải Gọi A k là biến cố: “ Sản phẩm thứ k là loại xấu”
A k là biến cố: “ Sản phẩm thứ k là loại tốt”
a) Biến cố cả 10 sản phẩm đều xấu : A A A A A A A A A A1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
b) Biến cố có ít nhất một sản phẩm xấu: \ A A A A A A A A A A1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
c) Biến cố sáu sản phẩm đầu tốt còn lại là xấu: A A A A A A A A A A1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
d) Biến cố các sản phẩm kiểm tra theo thứ tự chẵn là tốt, thứ tự lể là xấu:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A A A A A A A A A A
Bài 2. Có hai hộp đựng bi: hộp 1 đựng 3 bi trắng, 7 bi đỏ, 15 bi xanh; hộp 2 đựng 10 bi trắng, 6 bi
đỏ, 9 bi xanh Ta lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một viên bi Tìm xác suất để hai viên bi lấy ra cùng màu
Lời giải
Số cách lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một viên bi là 25.25 625
Số cách lấy ra hai viên bi có cùng màu (mỗi hộp lấy một viên) là 3.10 7.6 15.9 207
Vậy xác suất cần tìm là 207
625
Bài 3. Bắn liên tiếp vào một mục tiêu đến khi viên đạn đầu tiên trúng mục tiêu thì dừng Tính xác suất
sao cho phải bắn đến viên đạn thứ sáu Biết rằng xác suất trúng mục tiêu của mỗi viên đạn là
0, 2và các lần bắn độc lập nhau.
Lời giải Gọi A i là biến cố: “ Viên đạn thứ i trúng mục tiêu” ; P A i 0, 2
i
A là biến cố: “ Viên đạn thứ i không trúng mục tiêu” ; P A i 0,2
Biến cố phải bắn đến viên đạn thứ sáu là A A A A A A1 2 3 4 5 6
Xác suất cần tìm là:
Trang 3 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
P A A A A A A P A P A P A P A P A P A 0,8 0,2 0,0655365
Bài 4. Hai xạ thủ cùng bắn vào một bia Mỗi người cùng bắn một viên đạn, xác suất bắn trúng bia của
người thứ nhất là 0,7, xác suất bắn trúng bia của người thứ hai là 0,8 Tính xác suất để có một viên đạn bắn trúng bia
Lời giải Gọi A i là biến cố: “ Người thứ i bắn trúng” ; P A 1 0,7;P A 2 0,8
i
A là biến cố: “ Người thứ i không bắn trúng” ; P A 1 0,3;P A 2 0, 2
Biến cố có đúng một viên đạn bắn trúng bia là biến cố A A1 2A A1 2 có xác suất là
1 2 1 2 1 2 1 2 0, 7.0, 2 0,3.0,8 0,38
Bài 5. Một máy bay có 5 động cơ, trong đó 3 động cơ ở cánh phải và hai động cơ ở cánh trái Mỗi
động cơ ở cánh phải xác suất hỏng là 0,1, mỗi động cơ ở cánh trái có xác suất hỏng là 0,05, các động cơ hoạt động hoàn toàn độc lập Tìm xác suất để máy bay hoạt động an toàn trong các trường hợp sau đây:
c) Máy bay chỉ hoạt động được khi có ít nhất 3 động cơ làm việc
d) Máy bay chỉ hoạt động được khi trên mỗi cánh của máy bay có ít nhất một động cơ làm việc
Lời giải
Gọi A i là biến cố: “ Động cơ thứ i ở cánh phải làm việc” ; i 1; 2;3
i
A là biến cố: “ Động cơ thứ i ở cánh phải không làm việc” ; i 1;2;3
Theo đề bài P A( ) 0,1;i P A i 0,9
Gọi B i là biến cố: “ Động cơ thứ i ở cánh trái làm việc” ; i 1; 2
i
B là biến cố: “ Động cơ thứ i ở cánh trái không làm việc” ; i 1; 2
Theo đề bài P B( ) 0,05;i P B i 0,95
a) Gọi A: “ Máy bay an toàn” A: “ Số động cơ làm việc ít hơn ba”
Trường hợp 1: Không có động cơ nào làm việc, xác suất là
1 2 3 1 2 0,1 0, 05 3 2 0,0000025
Trường hợp 2: Chỉ có duy nhất một động cơ nào làm việc, xác suất là
3.(0,9.0,1.0,1.0,05.0,05) 2.(0,1.0,1.0,1.0, 05.0,95) 0,001625
Trường hợp 3: Có đúng hai động cơ làm việc, xác suất là
3.(0,9.0,9.0,1.0, 05.0, 05) 0,1.0,1.0,1.0,95.0,95 6.(0,9.0,1.0,1.0,05.0,95) 0,004075
Vậy P A 0, 0000025 0, 0001625 0, 004075 0, 00424
b) Gọi A: “ Máy bay an toàn”
A: “ Tồn tại ít nhất một cánh máy bay không có động cơ nào làm việc”
Trường hợp 1: Cả hai cánh máy bay không có động cơ nào làm việc, xác suất là
1 2 3 1 2 0,1 0, 05 3 2 0,0000025
Trang 4Trường hợp 2: Cánh phải không có động cơ nào làm việc, cánh trái vẫn có động cơ làm việc, xác suất là 2.(0,1.0,1.0,1.0,05.0,05) 0,1.0,1.0,1.0,95.0,95 0, 0009975
Trường hợp 3: Cánh trái không có động cơ nào làm việc, cánh phải vẫn có động cơ làm việc, xác suất là
3.(0,1.0,1.0,9.0,05.0,05) 3.(0,1.0,9.0,9.0,05.0,05) 0,9.0,9.0,9.0,05.0,05 0,0024975
0, 0000025 0, 0009975 0, 0024975 0,0034975
1 ( ) 0,9965025
Bài 6. Một vận động viên bắn súng bắn 3 viên đạn Xác suất bắn trúng cả 3 viên trong vòng 10 là
0,008, xác suất trúng 1 viên trong vòng 8 là 0,15, xác suất để 1 viên trúng vòng dưới 8 là
0, 4 Biết rằng các lần bắn độc lập nhau Tìm xác suất để vận động viên đạt được ít nhất 28
điểm
Lời giải
Gọi A:“ Bắn trúng 1 viên trong vòng 10” Xác suất bắn trúng cả 3 viên trong vòng 10 là
3
( ) ( ) ( ) 0,008 ( ) 0,008 0, 2
Xác suất vận động viên được 9 điểm là 1 (0, 2 0,15 0, 4) 0, 25
Gọi B:“ Vận động viên đạt được ít nhất 28 điểm”
Trường hợp 1: Vận động viên đạt được 30 điểm, xác suất là 0,008
Trường hợp 2: Vận động viên đạt được 29 điểm, 29 10 10 9 10 9 10 9 10 10
xác suất là 3 0, 2 0, 25 0,03 2
Trường hợp 3: Vận động viên đạt được 28 điểm,
29 10 10 8 10 8 10 8 10 10 10 9 9 9 10 9 9 9 10
xác suất là 3 0, 2 0,15 3.0, 2 0, 25 2 2 0, 0555
Xác suất cần tìm là P B ( ) 0,008 0,03 0,0555 0, 0935
Bài 7. Trong lớp học có 6 bóng đèn, mỗi bóng có xác suất bị cháy là
1
4 Lớp học đủ sáng nếu có ít nhất bốn bóng đèn sáng Tìm xác suất để lớp học đủ ánh sáng
Lời giải
Xác suất có 4 bóng sáng, 2 bóng cháy là
4 6
C
Xác suất có 5 bóng sáng, 1 bóng cháy là
5 5 6
C
Xác suất có 6 bóng sáng
6 6 6
3
4
C
C C C
Bài 8. Một bài trắc nghiệm gồm 12 câu hỏi, mỗi câu có 5 phương án trả lời, nhưng chỉ có 1 phương
án đúng Mỗi câu trả lời đúng được 4 điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ 1 điểm Một học sinh kém làm bài bằng cách chọn hú họa một câu trả lời Tìm xác suất để
c) Học sinh đó được 13 điểm
d) Học sinh đó bị điểm âm
Trang 5Lời giải
Xác suất học sinh trả lời đúng một câu là 1
5 Xác suất học sinh trả lời sai một câu là
4 5 Gọi m là số câu trả lời đúng ; 12 m là số câu trả lời sai; số điểm của học sinh đó là
4m 12 m 5m12 với m N
a) Ta có 5m12 13 m5; học sinh trả lời đúng 5 câu, sai 7 câu Khi đó xác suất là
5 12
C
5
m m (m N )
0 1 2
m m m
Xác suất cần tìm là
Bài 9. Gieo ngẫu nhiên một con xúc sắc cân đối đồng chất hai lần Tính xác suất của các biến cố sau
e) Lần thứ nhất xuất hiện mặt sáu chấm
f) Lần thứ hai xuất hiện mặt sáu chấm
g) Ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm
h) Không lần nào xuất hiện mặt sáu chấm
Lời giải
Số phần tử không gian mẫu: n ( ) 6.6 36
Gọi các biến cố A; B; C; D lần lượt ứng với các biến cố đề bài cho ở các ý a), b), c), d)
a) Xác suất cần tìm là
n A
P A
n
n B
P B
n
c) Biểu diễn C 6;1 ; 6;2 ; 6;3 ; 6;4 ; 6;5 ; 6;6 ; 5;6 ; 4;6 ; 3;6 ; 2;6 ; 1;6
11
36
n C P C
P D P C P C
Bài 10. Gieo đồng thời bốn đồng xu cân đối đồng chất (các đồng xu khác nhau) Tính xác suất của biến
cố
d) Cả bốn đồng xu đều ngửa
e) Có đúng ba đồng xu lật ngửa
f) Có ít nhất hai đồng xu lật ngửa
Lời giải
Số phần tử không gian mẫu: n ( ) 24 16
Gọi các biến cố A; B; C lần lượt ứng với các biến cố đề bài cho ở các ý a), b), c)
a) A NNNN n A ; ( ) 1 Xác suất cả bốn đồng xu đều ngửa là ( ) 1
16
P A
b) Tương tự, ( ) 4; xác suất có đúng 3 đồng xu lật ngửa là ( ) 4 1
P B
Trang 6c) C là biến cố: “ Số đồng xu lật ngửa ít hơn hai”; ( ) 5 ( ) 5 ( ) 11.
n C P C P C