Bài toán này về hình thức của nó có khá nhiều bài toán giống như vậy trên các sách tham khảo khác nhưng về hướng giải dùng phép nâng lũy thừa hầu như không được quan tâm đến mà chủ yếu [r]
Trang 1Ví dụ 4 Giải phương trình 12 x 15 x 15 x 20 x 20 x 12 x x.
- Phân tích hướng giải Với bài toán này để thoát căn các bạn sẽ nghĩ không thể dùng phép nâng lũy
thừa được vì sẽ tạo ra rắc rối cho phương trình Tuy nhiên các bạn hãy để ý bên vế trái của phương trình
có chứa các tích dạng ab bc ca gần giống với sự khai triển của hằng đẳng thức a b c 2
Do đó để thoát căn thức ta nghĩ đến phép nâng lũy thừa hoặc đặt ẩn phụ hóa, đồng thời sử dụng máy tính ta biết được phương trình có nghiệm duy nhất x 11, ta có thể nghĩ đến phương pháp liên hợp hoặc phương pháp hàm số để giải quyết Tuy vậy phương pháp liên hợp với bài toán này thật sự sẽ không cần thiết vì khi đó ta sẽ tạo ra những biểu thức rắc rối thêm cho bài toán
- Hướng 1: Dùng phép nâng lũy thừa: Điều kiện:
12 x 0
15 x 0
20 x 0
x 0
Phương trình đã cho được biến đổi tương đương với phương trình sau:
47 3x 2 12 x 15 x 2 15 x 20 x 2 20 x 12 x 47 3x 2x.
12 x 15 x 20 x2 47 x
15 x 20 x 2 47 x2 2 12 x 47 x 12 x2
35 2 15 x 20 x 2x 59 2 47 x 12 x 2x
15 x 20 x 12 47 x 12 x
15 x 20 x 144 24 47 x 12 x 47 x 12 x
47 x 12 x 17 x
Đối chiếu điều kiện và thử lại ta có nghiệm của phương trình là x 11.
- Hướng 2: Đặt ẩn phụ Điều kiện:
12 x 0
15 x 0
20 x 0
Đặt:
b 15 x 0 ,
Từ phép đặt ta có:
2
2
2
x 12 a
x 15 b
x 20 c
Kết hợp với phương trình đã cho ta có hệ phương trình:
2
2
2
ab bc ca 12 a
ab bc ca 15 b
ab bc ca 20 c
a b b c c a 60 3.4.5
a b 3
b c 5
c a 4
Trang 2a 1
b 2
c 3
12 x 1
15 x 2
20 x 3
Đối chiếu điều kiện và thử lại ta có nghiệm của phương trình là x 11.
- Hướng 3: Sử dụng hàm số Điều kiện:
12 x 0
15 x 0
20 x 0
Ta có: 15 x 12 x 3; 20 x 12 x 8
Do đó đặt: t 12 x, t 0 Ta có phương trình đã cho được biến đổi thành phương trình:
t t 3 t 3 t 8 t t 8 t 12
Xét hàm số f t t t2 3 t23 t2 8 t t2 8 t2
với t 0.
Ta có:
Do đo hàm số f t
liên tục và đồng biến với t 0 Mặt khác f 1 12
Suy ra phương trình f t 12có nghiệm duy nhất
t 1 12 x 1 x 11
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 11.
- Bình luận Đây là một bài toán hướng giải có thể đến rất tự nhiên là nâng lũy thừa hoặc ẩn phụ để đưa
về hệ phương trình ba ẩn cơ bản, phương pháp hàm số cũng không có gì là khó khăn chỉ cần xử lí đạo hàm tốt Bài toán này về hình thức của nó có khá nhiều bài toán giống như vậy trên các sách tham khảo khác nhưng về hướng giải dùng phép nâng lũy thừa hầu như không được quan tâm đến mà chủ yếu ẩn phụ hóa đưa về hệ phương trình ba ẩn cơ bản như hướng 2
Ví dụ 5 Giải phương trình x 1 x2 4x 1 3 x.
- Phân tích hướng giải Đối với phương trình này điều đầu tiên ta quan tâm chính là điều kiện của bài
toán
Ta có điều kiện:
2
x 0
Sử dụng máy tính bấm nghiệm của phương trình trong vùng cho phép của điều kiện vừa tìm ta có hai giá
trị là
1
;
4 4 Điều này gợi ý cho ta cần tách phương trình sao cho có hai nhân tử
Muốn đạt được điều này, chúng ta cần sử dụng phương pháp chọn hệ số bất định để thêm bớt trong phương trình đã cho, sau đó dùng liên hiệp để đạt được hiệu quả muốn có
Ta biến đổi phương trình: x 1 3 x x2 4x 1 0 *
Ở phương trình (*) mục đích của chúng ta là tách cho có được đại lượng bậc hai
4
và trong phương trình (*) lại chứa ba đại lượng: x 1; x; x2 4x 1 nên để có đại lượng bậc hai và không làm xáo trộn các đại lượng trong phương trình thì ta nên để ý tới đại lượng x, bởi vì nó chính là sự khác biệt nhất đối với hai đại lượng còn lại nhưng lại liên quan chặt chẽ vì ta cần đại lượng nhân tử bậc hai do
đó ta cần ghép đại lượng x với một đại lượng bậc nhất hoặc với một đại lượng căn thức chứa phương
Trang 3trình bậc hai Mà hai yêu cầu thì trong bài toán đã có Do đó, việc còn lại là bây giờ ta chọn hệ số bất định nữa là xem như nút thắt bài toán được giải quyết
Bây giờ, ta đi chọn hệ số qua hai nhận xét sau:
- Ta có: 2 2 2 17
4
4
Đồng nhất hệ số hai vế của phương trình (1) ta có:
2 a
4
2
- Ta có: 2 2 2 2 17
4
4
Đồng nhất hệ số hai vế của phương trình (2) ta có:
4 b
4
2
- Lại có hệ số x trong bài toán là 3 nên ta sẽ chọn hai hệ số phù hợp lại
5
2
2
Do đó ta có hướng giải quyết bài toán như sau:
- Hướng 1: Điều kiện:
2
x 0
Nhận xét rằng với điều kiện đang xét ta luôn có:
5
2
2
Do đó phương trình (3) được biến đổi thành:
2
2
2
4
1 x 4
x 4
Đối chiếu điều kiện ta có hai nghiệm của phương trình là x 4;
1
4
Tuy nhiên, nếu ta để ý một chút về hệ số của phương trình đã cho, ta sẽ thấy có sự đối xứng nên ta có quyền hy vọng vào việc đặt ẩn phụ để giải bài toán Thật vậy, ta có hướng giải sau đây:
- Hướng 2: Điều kiện:
2
x 0
Nhận xét rằng x 0 không thỏa phương trình nên với điều kiện:
Chia hai vế phương trình cho x ta thu được phương trình:
x x
Trang 4Đặt
1
x
Ta có:
x
Lúc đó phương trình (3) trở thành: t2 6 3 t
3 t 0
t 6 9 6t t
2 t 3 5 t 2
5
2
Với
5
t
2
x
2 x
x
4
1 x 4
x 4
Đối chiếu điều kiện ta có hai nghiệm của phương trình là x 4;
1
4
Ví dụ 6 Giải phương trình 2 x 1 6 9 x 2 6 x 1 9 x 2 x32x210x 38 0.
- Phân tích hướng giải Phương trình đã cho có hình thức khá rối mắt, tuy nhiên vẫn khá thoáng trong
cách đánh giá lối đi cho bài toán Thật vậy, bài toán chỉ xoay quanh hai đại lượng đó là x 1; 9 x 2 Mặt khác khi lập tích của hai biểu thức trong căn của hai đại lượng này ta gặp được phương trình bậc 3 gần giống phương trình bậc ba trong đề bài Vậy là tổng quan xem chừng chúng ta tìm được mối liên hệ giữa các đại lượng
Bây giờ, ta chỉ cần chỉ rõ mối liên hệ là gì? Quan sát ta thấy hệ số trước x 1 là 2 và 9 x 2 là 6 điều này gợi cho ta liên tưởng đến hằng đẳng thức Muốn đạt hiệu quả ta thử tách thêm bớt:
- Ta có: 2 x 1 x 1 2 x 1 1 x 1 1 2
- Ta có: 6 9 x 2 9 x2 6 9 x 2 9 9 x 2 32
- Ta có: x 1 9 x 2x3 x29x 9
Để đạt được hai hằng đẳng thức như đã phân tích ta cần thêm bớt đi hai đại lượng x 2; 18 x 2
Điều đó có nghĩa là: x3 2x210x 38 x 2 18 x 2 x3 x29x 18
Từ nhận xét này kết hợp với đại lượng 6 x 1 9 x 2
ta thu được hằng đẳng thức
x 1 9 x 2 32
Tới đat xem như bài toán đã được giải quyết Cụ thể ta có hướng giải:
Điều kiện: 2
x 1 9 x 0 1 x 3
Phương trình đã cho được biến đổi thành:
2
2
x 1 1 0
Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất là x 0
Trang 5- Bình luận Bài toán này được hướng đi như thế chính là sự cảm nhận từ tích của hai đại lượng
x 1 9 x 2
và hệ số đứng trước các biểu thức căn thức Và lối đi này có thể được xem gọn đẹp nhất đối với bài toán này
Ví dụ 7 Giải phương trình x 1 x2 2x 5 4x x 2 1 2 x 1
- Phân tích hướng giải Không khó để thấy phương trình chúng ta đang xét có vùng điều kiện của x là
Sử dụng máy tính bấm nghiệm của phương trình ta sẽ thu được một nghiệm x1.Điều đó có nghĩa rằng ta cần có nhân tử x 1. Để thực hiện được điều này cùng với quan sát các căn thức trong phương trình thì khả năng loại căn bằng ẩn phụ khó có thể đạt được hiệu quả, vậy khả năng tách được nhân tử
x 1 chỉ còn dựa vào tách tích nhóm hạng tử Để tách tích ta có thể sử dụng trực tiếp bằng cách thêm bớt đại số nhóm hạng tử phù hợp hoặc chúng ta sử dụng khử liên hợp để đạt được nhân tử Trong trường hợp bài toán này thì sử dụng biến đổi trực tiếp từ phương trình tạo ra nhân tử là điều không khả thi nên ta sẽ dùng phương án khư liên hợp để tách nhân tử x 1. Bây giờ ta quan sát thất nếu với biểu thức
2
x 2x 5 để có thể liên hợp ra nhân tử x 1 ta cần chọn x 1.
Tức là cho x1 x2 2x 5 2. Vậy biểu thức cần liên hợp đó chính là x2 2x 5 2.
Tuy nhiên, nhìn vào vế phải phương trình đã thấy nhân tử x 1 đã có và hệ số của nó cũng là 2 nên ta có quyền nghĩ đến việc phân phối như sau:
Lúc này, ta để ý thấy rằng đại lượng mới vừa xuất hiện là 2x x2 2x 5 kết hợp với đại lượng có sẵn trong phương trình là 4x x2 Khi đó, ta nhóm hai đại lượng này lại có:1.
Tới đây ta để ý thấy rằng: 4 x 21 x2 2x 5 3x22x 1 x 1 3x 1
Điều này gợi cho chúng ta ý tưởng sẽ liên tưởng cho biểu thức
2 x 1 x 2x 5 để có nhân tử x 1
Tới đây, chúng ta đã rõ nét về hướng giải bài toán đang xét Cụ thể như sau:
Điều kiện x Phương trình đã cho được biến đổi thành:.
2 x 1 x 1 x 2x 5 4x x 1 0
x 1 3x 1
2 2
2 2
x 1 0
Phương trình (*) cho ta: 4 x2 1 2 x2 2x 5 x217x2 4x 5 0
Trang 6Phương trình vô nghiệm vì
Do đó phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x1.
- Bình luận Phương trình này chúng tôi đưa ra lối tư duy giải phương trình bằng cách tách tích cộng với
liên hợp dựa trên yếu tố nhận biết x1 là nghiệm duy nhất của phương trình Tuy nhiên, phương pháp giải toán thì không có gì là ưu việt nhất, vì đôi lúc với bài toán này nó là ưu việt nhưng với bài toán khác thì nó chưa chắc được vì có nhiều lí do khách quan Cụ thể, khi sử dụng phương pháp liên hợp thì thường
ta có ưu thế về nghiệm nhưng lại vướng phải một điều đó là đánh giá phương trình còn lại vô nghiệm thế nào cũng là một điều đáng quan tâm, chưa kể có đôi lúc phương trình ấy lại có nghiệm “ngầm” mà ta không biết Bài toán trên khi xử lí phương trình còn lại vô nghiệm là một hình thức xử lí đơn giản về sau chúng tôi sẽ có những bài toán đánh giá phức tạp hơn cũng như có nghiệm “ngầm” để độc giả có thể hiểu hết vấn đề
Ví dụ 8 Giải phương trình 16x4 72x381x2 28 16 x x 2 0
- Phân tích hướng giải Với mọi phương trình vô tỷ, thì hầu hết ta phải nhẩm nghiệm trước khi đưa ra
vấn đề suy xét là giải nó như thế nào? Sử dụng máy tính ta có ngay
9 x 4
là nghiệm của phương trình Như vậy, theo lẽ tự nhiên ta cần xuất hiện nhân tử 4x 9 bằng những phương pháp tách nhân tử Tuy nhiên, với bài toán này nếu ta đi tách tích bằng nhóm hạng tử đại số liên hợp như ví dụ 5 ta sẽ gặp trở ngại ngay tức khắc
Thật vậy, không khó để biến đổi phương trình về phương trình sau:
4x 9 x 4x 9 2 4 8 0
1 2 x 2
4x 9 0
8
1 2 x 2
Vấn đề bây giờ là phương trình (*) chúng ta giải quyết thế nào? Kinh nghiệm cho thấy nghiệm của
phương trình đang xét thu được là
9 x 4
ta thử xem với nghiệm này phương trình (*) có thỏa mãn hay không?
Và thật may mắn ta có ngay
9 x 4
thỏa mãn phương trình (*) cùng với máy tính ta biết được ngay
phương trình này chỉ có mỗi nghiệm
9 x 4
Vậy chứng tỏ phương trình (*) không vô nghiệm như chúng
ta mong muốn Do đó, ta cần giải quyết phương trình (*)
Quan sát thấy phương trình (*) chỉ chứa một căn thức nên ta hoàn toàn loại căn thức bằng ẩn phụ hóa Nhận thấy rằng x 2 không thỏa phương trình do đó ta chỉ cần xét x 2.
Đặt t x 2, t 0. Ta có t2 2 x. Thế vào phương trình (*) ta thu được phương trình:
t22 2 4t21 1 2t 4 1 2t 8 0 *'
Phương trình *'
cho ta thấy sự xuất hiện rất nhiều lần của 2t 1 nên thay vì khai triển trực tiếp ra phương trình bậc 7 hơi ái ngại, ta có thể ẩn phụ hóa thêm 1 lần nữa Và tới đây bài toán hoàn toàn được giải quyết
Cụ thể lời giải như sau:
Điều kiện: x 2. Nhận xét x 2 không thỏa phương trình đã cho Xét x 2 phương trình đã cho được biến đổi thành:
Trang 7 2 8
1 2 x 2
4x 9 0
8
1 2 x 2
Với phương trình (*)
- Cách 1: Đặt t x 2, t 0. Ta có: x t 22.
Lúc đó phương trình (*) trở thành:
t22 2 4t21 1 2t 4 1 2t 8 0 1
Đặt u 2t 1, u 1. Ta có:
u 1
2
Lúc đó phương trình (1) trở thành:
u 2
u u 1 8 16 0,
Từ u 2
1 t
2
x 2
2
4
Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất
9
4
Tuy nhiên, ở phương trình thứ hai nếu ta tinh ý một chút cùng với sự xuất hiện nghiệm duy nhất
9 x 4
thì
ta có thể liên hợp tiếp một lần nữa như sau:
- Cách 2: Phương trình (*) tương đương với phương trình sau:
2
2
8 1 2 x 2
1 2 x 2
x 4x 9 1 2 x 22 24 4x 9 0
4x 9 x 1 2 x 2 2 2 4 0
9
4
Và qua đây, ta thấy bài toán này nếu dùng phương án liên hợp tách nhân tử ưu thế về nghiệm thật sự không ưu việt và khá dài Tuy nhiên, nếu quan sát kỉ bài toán dưới cách nhìn khác ta sẽ có một lời giải rất đẹp cho bài toán
Ta bắt đầu bằng việc để ý đại lượng x x 2 là một đại lượng được xem như “thiếu hụt” hằng đẳng thức
Mà nghiệm của phương trình lúc này là
9 x 4
, mà phương tình vô tỷ thì cần thoát căn do đó khi cho 9
x
4
ta có ngay được
1
x 2
2
và lúc này ta đã biết hướng đi tới hằng đẳng thức chính là:
2
1
2
Và tới đây nhiệm vụ của chúng ta là có biến đổi sau:
2
Tiếp theo đã để ý phương trình bậc 4 đề bài cho giúp cho ta hoàn toàn tách được một bậc hai cộng (trừ) lẻ
1 hằng số Thật vậy, ta có:
2
Trang 8Từ (2) và (3) gợi cho ta một suy nghĩ đó là ta dùng biện pháp so sánh: f x a g x
Thật vậy, ta đi vào lời giải cụ thể như sau:
- Cách 3: Điều kiện: x 2.
Phương trình đã cho được biến đổi thành phương trình sau:
16 x x 2 16x 72x 81x 28
Ta có: VP 16 x x 2
2
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
1
x 2
2
4
Lại có: VT16x472x3 81x228
2
4
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
9
4
9
4
Vậy ta có: VT 28 VP. Đối chiếu điều kiện của bài toán và để có được phương trình đã cho thì nghiệm
duy nhất thỏa bài toán đó là
9
4
