Suy nghĩ ban đầu, khi chúng ta gặp phương trình chứa nhiều căn thức chúng ta sẽ đặt chúng bằng một ẩn phụ nào đó, sau đó chúng ta sẽ phân tích các đại lượng không có căn thức theo các ẩ[r]
Trang 1Ví dụ 6 Giải phương trình 2 x4 2
32
Lời giải
Điều kiện 1 x 1.
Đặt 1 x 1 x a, 2 a 2
2
2
b x 0 b 1 Ta có phương trình:
a 2 b
2 32
Xem b là ẩn số, a là tham số ta có: 2 2
b
Từ đó suy ra:
b 16 4a 8 4a 24
b 16 4a 8 8 4a
+ Với b 4a 24 (loại do b0;1 , a 2; 2
) + Với b 4 2 a , để ý là:
2
1 x
2
2 2
2
Do đó: b 4 2 a a4 4a2 4a 8 0 3 2
a 2 (do a 2;2 )
Từ đó thay trở lại cho ta x 0.
- Kết luận Phương trình có nghiệm x 0.
- BÀI TẬP RÈN LUYỆN.
Bài 1 Giải phương trình 2 2 2
Đáp số: x 14.
Bài 2 Giải phương trình 2 1 x x22x 1 x 2 2x 1.
Đáp số: x 1 6.
Bài 3 Giải phương trình 2 2 3
2
Đáp số: x1; x 5.
Bài 4 Giải phương trình x2 4xx 3 x2 x 1 1 0. Đáp số:
2
Bài 5 Giải phương trình 2 2 4 2
Đáp số: x 0.
Bài 6 Giải phương trình 4x 1 x3 1 2x32x 1.
Đáp số:
3 3
x 2; x
4
4 x 2 3x 13x 4 2x
3 3x 1
2
Bài 8 Giải phương trình 3 1 2x 1 2x 2 1 4x 2 x47x2 8
Đáp số: x 0.
Bài 9 Giải phương trình 9x 8 1 x 3x 1 3x22x 1 7. Đáp số:
x 1;
8
x =
Bài 10 Giải phương trình 5 2 x x 1 3 x23x 2 4x 9 0.
Đáp số: x 1.
d) Đưa về phương trình 2 ẩn có dạng tích.
Ví dụ 1 Giải phương trình
x 3 1 x 2 3 1 x
- Phân tích Suy nghĩ ban đầu, khi chúng ta gặp phương trình chứa nhiều căn thức chúng ta sẽ đặt chúng
bằng một ẩn phụ nào đó, sau đó chúng ta sẽ phân tích các đại lượng không có căn thức theo các ẩn phụ đó:
Trang 2Ví dụ này cũng vậy, ta sẽ đặt: a 1 x; b 2 3 1 x Bây giờ ta quan tâm đến đại lượng x 3 ,
ta có: a2 b2 x 3 3 1 x a2 b23 1 x mà ax 3 1 x vì vậy ta sẽ có:
x 3 a b 3a Thay vào phương trình ta sẽ có: 2 2
*
Chúng ta chưa vội vàng biến đổi phương trình (*) vì cách đặt của chúng ta có thể không tìm thấy mối liên
hệ giữa a, b nếu chỉ nhờ vào phương trình (*) Bây giờ nhiệm vụ là chúng ta cần tìm trước một nghiệm của phương trình (Các bạn có thể sử dụng máy tính CaSiO để trợ giúp – Xem bài: Sự hỗ trợ của máy tính CaSiO trong giải phương trình vô tỷ)
Ta tìm được nghiệm: x 0 và khi x 0 thì
a 1
b 1
a b
Như vậy phương trình (*) có thể phân tích về các
dạng sau:
a 1 f a, b 0
b 1 f a, b 0
a b f a, b 0
Bây giờ ta sẽ kiểm tra xem phương trình (*) có thể đưa về dạng toán nào trong 3 dạng toán trên không?
- Thay a 1 vào (*), ta có: 2
1
4 b b (không thỏa mãn với mọi b)
- Thay b 1 vào (*), ta có: 2
1
- Thay a b vào (*), ta có:
a a (thỏa mãn với mọi a) Vậy chúng ta khẳng định rằng (*) đưa được về
dạng a b f a, b 0
Từ đó ta có lời giải
Lời giải
Điều kiện
3 x 1 2
5
9
Đặt a 1 x; b 2 3 1 x a, b 0 , ta có phương trình:
a b 3a a b a3 b33a2 3ab a b ab 2 2 0 a b a 2b23a0 a b
Với a b , thay trở lại ta có: 1 x 2 3 1 x 3 1 x x 3
x 0
x 3
- Kết luận Các nghiệm của phương trình đã cho là x 0; x 3.
Ví dụ 2 Giải phương trình x 2 x 1 x 1 x x2 x 0
- Phân tích Quan sát bài toán ta nhận thấy, phương trình trên xoay quanh các căn thức x và x 1. Vì vậy ta sẽ đặt: a x; b x 1, a, b 0 Theo một suy nghĩ rất tự nhiên phương trình đã cho trở thành a2 2a b a ab 0 * 2
, như đã phân tích ở ví dụ trên trước khi xử lý phương trình ta sẽ tìm xem
nghiệm của phương trình Ta thấy nghiệm của phương trình là x 2, và khi x 2, ta lại có:
a 2
b 1
a 2b
thử vào phương trình (*) ta thấy không có trường hợp nào để chúng ta có thể đưa (*) về dạng tích quen thuộc?
Trang 3Vậy nguyên nhân nào đã dẫn đến phương trình (*) không thể đưa về phương trình tích? Câu trả lời đơn giản ở chỗ, chúng ta đã cho x a 2 Bây giờ ta sẽ thay b 1 vào phương trình đã cho trước khi tìm hiểu xem biến đổi x theo a hay theo b?
Thay b 1 vào phương trình ta thấy: x 2 a a 0 x 2 0 ** Để ý rằng nếu biến đổi x a 2 thì (**) không đúng với mọi a, b (nghĩa là không thể đưa về tích) Nhưng nếu biến đổi x b 2 , ta lại có1
2
b và rõ ràng khi thay b 11 0 , phương trình (**) sẽ đúng với mọi a, b Hay nói cách khác sẽ đưa được phương trình về dạng b 1 f a, b 0
Lời giải
Điều kiện x 1.
Đặt a x;b x 1, a 1, b 0 Phương trình đã cho trở thành:
b21 2b b a ab 0 2 b 1 2 ab b 1 0 b 1 b 1 ab 0 b 1 1
b 1 ab 0
+ Với: b 1 ta có: x 1 1 x 2
+ Với: b 1 ab 0 b 1 a 1 0, do a 1 1 a 0 b 1 a 1 0 Nên không tồn tại x thỏa mãn phương trình này
- Kết luận Nghiệm của phương trình đã cho là x 2.
Ví dụ 3 Giải phương trình
- Phân tích Quan sát phương trình ta thấy rằng:
- Phương trình có nghiệm là: x 0.
- Đặt a 1 x; b 1 x, phương trình trở thành: 2x a b 1 a b 0 *
Nhận thấy khi x 0 a b và sẽ làm cho (*) luôn đúng Từ đó ta phân tích: 2x a 2 b2 và phương trình sẽ đưa được về dạng: a b f a, b 0
Lời giải
Điều kiện 1 x 1. Phương trình đã cho tương đương với:
2x 1 x 1 x 1 1 x 1 x 0
Đặt a 1 x; b 1 x, a, b 0 2x a 2 b 2
Phương trình dã cho trở thành:
a2 b2 a b 1 a b 0 a b a b a b 1 1 0
a b
a b a b 1 0
a b
1 5
a b
2
Thay trở lại ta có:
+ Với: a b 1 x 1 x x 0
+ Với:
a b
2
2
x
8
- Kết luận Phương trình có các nghiệm x 0;
x
8
Ví dụ 4 Giải phương trình 37x 1 3 x2 8x 1 2 3 x2 x 8.
- Phân tích Quan sát thấy:
- Phương trình có nghiệm x 1
Trang 4- Đặt a37x 1 ; b3 x2 8x 1 , khi đó : 3 x2 x 8 =3 b3a3 8, phương trình trở thành
Khi x 1, ta có:
a 2
a b 0
Thay vào (*) ta thấy trường hợp a 2; a b 0 thỏa mãn với mọi a, b Vậy nên phương trình (*) luôn đưa được về dạng: a 2 a b f a, b 0
Lời giải
Đặt a37x 1 ; b3 x2 8x 1 3 x2 x 8 3 b3a3 8, từ đó ta có phương trình:
a b 2 b a 8 a b 2 3 a3b3 8
a 2
b 2
+ Với: ab 3 7x 1 3 x2 8x 1 7x 1 x28x 1
x 0
x 1
+ Với: a 2 3 7x 1 2 x 1
+ Với: b 2 3 x2 8x 1 2 x2 8x 9 0
x 1
x 9
Vậy các nghiệm của phương trình đã cho là x1; x 0; x 1 ; x 9.
Ví dụ 5 Giải phương trình x 2 x2 2x 4 x 1 x24x 7.
Lời giải
Đặt a x2 2x 4; b x24x 7 a, b 3 Suy ra
b a 9
x 2
6
b a 9
x 1
6
Khi đó phương trình đã cho trở thành:
b2 a2 9 a b2 a2 9 b
Lúc đó: a 3 b x2 2x 4 x2 4x 7 3
2
x 4x 7 x 4x 4
2
x 1
4 1 VL
Vây phương trình đã cho vô nghiệm
- Nhận xét Phương pháp đưa phương trình vô tỷ về phương trình tích của các ẩn phụ đặc biệt hiệu quả
khi ta phán đoán được phương trình có thể đưa được về các dạng a b f a, b 0 hay
a x0 f a, b 0 bằng cách nhận đoán và thử các nghiệm hữu tỷ của phương trình đã cho
- BÀI TẬP RÈN LUYỆN.
Trang 5Bài 1 Giải phương trình 4 x 1 1 3x 2 1 x 1 x 2 Đáp số:
3
5
x 0
Bài 2 Giải phương trình x 2 7 x 2 x 1 x28x 7 1. Đáp số: x 4; x 5.
Bài 3 Giải phương trình
2
Đáp số: x 2.
Bài 4 Giải phương trình 2x4x21 1 x 2 4x3 1 x 2
Đáp số:
Bài 5 Giải phương trình 2x 3 4x 3 24x 1 x 3 3 2x 1.3 Đáp số:
2
Bài 6 Giải phương trình
x x x Đáp số: x 2
Bài 7 Giải phương trình 3 x 1 3x 2 1 3 x23x 2. Đáp số: x1; x 0.
Bài 8 Giải phương trình 3 x23x 2 3 x 1 3 x 2 1
Đáp số:
3
2
Bài 9 Giải phương trình 3x 1 3 x2 3 x3 x2x. Đáp số: x 1.
Bài 10 Giải phương trình x 5 x 2 1 x27x 10 3
Đáp số: x1.
Bài 11 Giải phương trình
1 2x 1 2x
1 2x 1 2x
Đáp số: x 0.
Bài 12 Giải phương trình x2 6x 11 x2 x 1 2 x 2 4x 7 x 2.
Đáp số: x 5 6.
3 Đưa phương trình vô tỷ về hệ phương trình hữu tỷ.
a) Đưa phương trình vô tỷ về hệ phương trình giải được bằng phép thế.
Ví dụ 1 Giải phương trình x2 x 2 2x22x 3 3.
Lời giải
Điều kiện 2x22x 3 0. Đặt x2 x 2 a; 2x22x 3 b a, b 0
Ta có hệ phương tình: 2 2
a b 3 2a b 7
a 3 b
2 3 b b 7
a 3 b
b 1
b 11
a 2
b 1
Với a 2, ta có: x2 x 2 2 x2 x 2 0
x 1
x 2
Vậy các nghiệm của phương trình đã cho là x2; x 1
Ví dụ 2 Giải phương trình 2 3x 2 3 6 5x 8 03 (Khối A – 2009)
Lời giải
Điều kiện
6
5
Đặt 33x 2 a; 6 5x b b 0 , ta có hệ:
2a 3b 8
5a 3b 8
8 2a b
3 15a 4a 32a 40 0
a 2
b 4
Thay trở lại ta tìm được x2.
Ví dụ 3 Giải phương trình 3 x 1 33x 1 3 x 1.
Lời giải
Trang 6+ Nhận thấy x 1 không là nghiệm của phương trình đã cho.
+ Với x 1, phương trình tương đương với: 3 3
x 1 3x 1
1
x 1 x 1
Đặt
a;
x 1
b
x 1
x 1
Từ đó ta có hệ: 3 3
a b 1 2a b 1
a 1 b 3a 6b 6b 3 0
a 0
b 1
Thay trở lại ta có:
0
x 1
x1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x1.
- Chú ý Ta luôn có mối liên hệ giữa 3 nhị thức bậc nhất nhờ đồng nhất hệ số:
m x 1 n 3x 1 x 1
m 3n 1
m n 1
n 1
- BÀI TẬP RÈN LUYỆN.
Bài 1 Giải phương trình x3x2 2 x3x21 3. Đáp số: x 1.
Bài 2 Giải phương trình 3 x x 2 2 x x 2 1. Đáp số:
2
Bài 3 Giải phương trình 32 x 1 x 1. Đáp số: x 1; x2; x 10.
Bài 4 Giải phương trình 3 2x 35 3x 3. Đáp số:
13
8
Bài 5 Giải phương trình 33 x 311 x 2. Đáp số: x 4 5 2.
Bài 6 Gải phương trình 418 5x 464 5x 4. Đáp số:
Bài 7 Giải phương trình 45 x 412 x 3. Đáp số: x11; x 4.
Bài 8 Giải phương trình x x21 x x21 2. Đáp số: x 1.
Bài 9 Giải phương trình 2x212x 5 2x2 3x 5 8 x. Đáp số:
2
Bài 10 Gải phương trình 32x 5 33x 7 35x 2. Đáp số:
Bài 11 Giải phương trình 3x 1 2 x 2 3 x 3 0. Đáp số: x 2.
b) Đưa phương trình vô tỷ về hệ phương trình đối xứng.
- Kiểu 1 Đưa phương trình vô tỷ về hệ đối xứng kiểu I.
Ví dụ 1 Giải phương trình 2
2
x 2 x (TH&TT)
Lời giải
Điều kiện
2 x 2
x 0
x a
Ta có hệ phương trình:
a b 2
1 1
2
a b
a b2 2ab 2
a b 2ab
Trang 7 2
2 ab ab 1 0
a b 2ab
ab 1 1 ab 2
a b 2ab
ab 1
a b 2 1 ab 2
a b 1
+ Với ab 1 1
a b 2
a, b là nghiệm của phương trình: X2 2X 1 0 X 1.
Từ đó cho ta a 1 hay x 1.
+ Với
1 ab
2 2
a b 1
a, blà nghiệm của phương trình
2
X
2
Từ đó cho ta:
a
2
hay
x
2
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là
2
Ví dụ 2 Giải phương trình 32 x 2 37 x 2 3 37 x 2 x
Lời giải
Đặt
3
3
2 x a
7 x b
a3b3 9
Từ đó ta có hệ:
3 2
a b 3ab a b 9
a b 3 3ab
2
a b a b a b 3 9
3ab a b 3
a b 3
ab 2
Suy ra a, b là nghiệm của phương trình: X2 3X 2 0
X 1
X 2
+ Khi X 1 a 1 3 2 x 1 x 1.
+ Khi X 2 a 2 3 2 x 2 x6
Vậy các nghiệm của phương trình đã cho là x6, x 1.
Ví dụ 3 Giải phương trình 1 x 3 1 x 3 2 1 x 2
Lời giải
Điều kiện 1 x 1. Đặt
1 x a
1 x b
Từ đó ta có hệ:
2 3
a b 2ab 2
a b 3ab a b 2 ab
2
3
2 a b
2
a b ab 3 a b 1 2 2
Thế phương trình (1) vào phương trình (2) ta có:
Trang 8
2
2
a b 1
a b 6
+ Với a b 1
1 ab 2
suy ra a và b
là nghiệm của phương trình:
2
X 2
Do a 0
2
hay:
1 x
2
2
+ Với a b 6 a b 2 6 ab (loại do a, b 02 )
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là
3
2