Bài tập có đáp án chi tiết về phương pháp nguyên hàm từng phần | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

x e dx x bằng phương pháp nguyên hàm từng phần thì cách đặt nào sau đây là đúng nhất?. Nếu sai thì sai từ bước nảoA[r]

CHƯƠNG III Dạng 4 Phương pháp nguyên hàm từng phần

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ.

1 Định lí:

Nếu hai hàm số u u x  và v v x   có đạo hàm liên tục trên K thì

   '     '   

u x v x dx u x v x  u x v x dx

2 Cách đặt:

1 p x  ln ax b dx   ulnax b  2

 

sin cos d

ax b

ax b

e 















3 Chú ý: Nhất lốc, nhì đa.

B MỘT SỐ VÍ DỤ:

Ví dụ 1 Tính xlnxdx.

A

ln

2x x 4x C B

ln

2x x 2x C C

ln

2 x  4x C

D

2

ln

2x x 2x C

Lời giải

Đặt

2

ln

2

dx du

v













x x x x x x x x x x C

Vậy chọn đáp án A

Ví dụ 2 Tính  x1e dx x .

A x1e xe xC B xe x e xC C xe xC D x 2e xC

Lời giải

Đặt

1



Do đó  x1e dx x x1e x e dx x x1e x e xCx 2e xC

Vậy chọn đáp án D

Ví dụ 3 Tính xsin 2xdx.

A

cos 2 sin 2

2x x 4 x C

B xcos 2xsin 2x C .

C

cos 2 sin 2

2x x 4 x C

cos 2 sin 2

2x x 2 x C

Lời giải

Đặt

1 sin 2 cos 2

2

du dx

u x









Do đó

sin 2 cos 2 cos 2 d cos 2 sin 2

Vậy chọn đáp án C

Ví dụ 4 Tính cos xdx

A 2 xsin x 2cos x C B 2 xsin x2cos x C

C 2 xsin x2 cos x C D 2 xsin x 2cos x C

Lời giải

Đặt t x t2  x 2tdt dx Ta được cos xdx2 cost tdt.

Đặt



Do đó 2 cost tdt2 sint t 2 sin tdt 2 sint t2cost C 2 xsin x2 cos x C

Vậy chọn đáp án B.

Ví dụ 5 Tính I  1 sin xsin2xsin3x dx

A

1 tan

cos

x

1 tan

cos

x

C I  1 sinxtanx cosx C D I  1 sinxtanxcosx C

Lời giải

1 1 sin

1 sin cos

x





1 sin

cos 1

tan cos

x

 















Do đó

1 sin tan sin 1 sin tan cos

Vậy chọn đáp án D

C BÀI TẬP.

Câu 1 [2D3-1] Công thức tính nguyên hàm từng phần là:

A udv uv  vdu. B udv uv vdu.C udu uv  vdv. D udu uv vdv.

Câu 2 [2D3-1] Khi tính xlog2xdx bằng phương pháp nguyên hàm từng phần

thì cách đặt nào sau đây là hợp lý?

A

2

log

dv dx









u x









C log2

du dx









du dx









Câu 3 [2D3-1] Khi tính sin x e dx x bằng phương pháp nguyên hàm từng phần

thì cách đặt nào sau đây là đúng nhất?

A

sin

x

u e









 B usinx

C u e x D sin x

u x e

Câu 4 [2D3-1] Thí sinh Nguyễn Văn Mít thực hiện tính ln 2x 1 dx   như sau:

(I) Đặt

2

1 2













2 1

ln 2 1 ln 2 1

2

x

2 1

ln 2 1 ln 2 1

2

x

x dx  x  x C



Theo các bạn, bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nảo?

A Đúng B Sai ở (I) C Sai ở (II) D Sai ở (III)

Câu 5 [2D3-2] Tính ln xdx.

A xlnx1C B I xlnx x C C

2

ln 4

x x

I   x C

.D xlnx C

Câu 6 [2D3-2] Tính xcos dx x.

A xsinxcosx C B xsinx cosx C C xsinxsinx C D xsinx sinx C

Câu 7 [2D3-2] Tính  x1 e d x x Kết quả nào sau đây không đúng?

A xe xC B x 2e xC

C x1 e x1 e x x C

D x1e x e xC

Câu 8 [2D3-3] Tìm nguyên hàm của hàm số ( )

( )

ln ln

x

f x

x

=

A

( )

( )

ln ln

d ln ln ln

x

C

( )

( )

ln ln

x

ò

Lời giải.

Đặt

d

ln d x

t x t

x

Suy ra

( )

ln ln

x

x t t

Đặt

d

t

t

v t v t

ìïï

Khi đó òln dt t t t= ln - òdt=t t t Cln - + =ln ln lnx ( x)- lnx C+ . Chọn C.

Câu 9 [2D3-3] Tìm I  3x2 x1e dx x

A I 3x2 7x8e xC

B I 3x2 7x e xC

C I 3x2 7x8e xC

D I 3x2 7x3e xC

Lời giải

Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta có:

Đặt u3x2 x1 và dv e dx x ta có du6x1dx và v e x Do đó:

3 2 1 x 3 2 1 x 6 1 x

I  x  x e dx x  x e   x e dx

Đặt u1 6x1 và 1

x

dv e dx ta có du1 6dx và 1

x

v e Do đó:

6x1e dx x 6x1e x 6 e dx x 6x1e x 6e xC

Từ đó suy ra:

3 2 1 x 3 2 1 x 6 7 x 3 2 7 8 x

Vậy chọn đáp án A.

Câu 10 [2D3-4] Tìm I x 2 sinx dx2

cos x

tan

cos

x

2 tan ln

cos

C    

2 tan ln

cos

tan

cos

x cos x

Lời giải

Ta có  2sin  2 2 2sin 2 .

+ Xét 1 cos2 .

dx

x

cos

dx

u x dv

x

ta có du dx v ; tan x

1

sin tan tan tan x

cosx

      Đặt t cosx  dtsinxdx.

Ta có

sin

Vậy I1 xtanxln cosx C 1

1

cos x

 Đặt z cosx  dzsinxdx.

     

2

cos

dx

Vậy chọn đáp án C.

Câu 11. Nguyên hàm I xlnx1dx bằng

ln 1



   

ln 1

ln 1



   

ln 1

Câu 12. Gọi F x  là một nguyên hàm của hàm số f x  x lnx1 Biết

 0 1

F  , vậy F x  bằng:

1 ln 1 1 2



ln 1 1 2



2

1 ln 1 1 2



2

2

2

1 ln 1 1 2



Câu 13. Nguyên hàm của hàm số

 

2

ln x 2

y

x





bằng:

A

2

C x

2

C

C

C x

ln ln 2 2

C x



Câu 14. Giả sử F x  là một nguyên hàm của hàm số  

1 ln

x

 

  

  Biết

 1 0

F  Vậy F x  bằng:

A

 

C

 

 

Câu 15. Hàm số f x  xe x có các nguyên hàm là:

A F x xe xe xC B F x  x e 2 x C

C  

1

1 1

x

x

 D F x  e x x 1C

Câu 16. Hàm số f x   x1 sin x có các nguyên hàm là:

A F x   x1 cos xsinx C B F x  x1 cos xsinx C

C F x  x1 cos x sinx C D F x   x1 cos x sinx C

Câu 17. Hàm số f x lnx có các nguyên hàm là:

A F x  xlnx1C B  

1

x

 

C  

2

ln 2

x

D F x  xlnx1C

Câu 18. Gọi hàm số F x  là một nguyên hàm của f x xcos3x, biết F 0 1

Vậy F x  là:

A  

sin 3 cos3

sin 3 cos 3 1

C  

2

1 sin 3 6

sin 3 cos3

Câu 19. Nguyên hàm F x  của f x  xex thỏa mãn F 0 1 là:

A F x  x1ex1 B F x   x1ex2

   1 x 2

  

Câu 20 Kết quả nào sai trong các kết quả sau?

A

.cos sin

2

C xcosxdx x sinxcosx C . D

.cos 2 1

Câu 21 Kết quả nào sai trong các kết quả sau?

A

3

3 8

x

xe dx x e  e C

C

2

2



  

Câu 22. Tìm nguyên hàm của hàm số f x  x21e x

A    

2

1 x

  

C f x dx  x2 2x2e xC. D f x dx  x2 2x 2e xC.

Câu 23. Tìm nguyên hàm của hàm số f x  x23.lnx1

A  

ln

3

x

   



ln 3

f x dx x  x C



C f x dx x   3.lnx C . D   3

1 ln

x

Câu 24. Họ nguyên hàm của hàm số  

ln x

f x

x

 qua phép đặt t x là

A F t  2 lnt 2t 4t C B F t  2 lnt 2t4t C

C 2 lnt t24t C D 2 lnt t2 4t C

Câu 25. Họ nguyên hàm của hàm số  

 

2

ln 1 x

f x

x





là:

A F x  2x1 ln 1  x2x C B F x  2x1 ln 1  x x C

1 ln 1 ln

x

x



1 ln 1 ln

x

x



Câu 26. Tìm nguyên hàm H của hàm số f x  3x21 ln x

A  2 1 ln 3

3

x

3

3ln

3

x

C  2 1 ln 3

3

x

3

3ln

3

x

Câu 27. Họ nguyên hàm của hàm số f x cos x sau phép đặt t x x 0

là:

A F t 2 cost t2sint C B F t  2 sint t2cost C

C F t  2 cost t2sint C D F t  2 sint t 2cost C

Câu 28. Nguyên hàm của hàm số 3

sin cos

y

x



bằng

A 2

tan

2 cos 2

C x



tan 2cos 2

C

C 2cos2 tan

x

x C x



D 2 cos2 tan

x

x C x



Câu 29. Tìm nguyên hàm H của hàm số f x   xlnx

A

3ln 2

9

2ln 3 9

C

6ln 4

9

4ln 6

9

Đáp án

11-A 12-A 13-C 14-B 15-D 16-B 17-A 18-D 19-A 20-A

21-A 22-A 23-C 24-D 25-C 26-A 27-B 28-B 29-C

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 11 Đáp án A.

Ta có   1    2 1 2   1 2    

2

x

Câu 12 Đáp án A.

F x x x dx x  x dx x x x  xd x

x

x





2

1 ln 1 2





Câu 13 Đáp án C.

Ta có

 

2

 

ln 2

2





 

ln ln 2





2

C

Câu 14 Đáp án B.

2

x

 

 

 

 

2x x 2 x d x 2 x 2x x 2 x 2 xdx

ln ln

Mà    

1 0

Câu 15 Đáp án D.

Ta có xe dx x xd e x xe x e dx xe x  x e xC.

Câu 16 Đáp án B.

Ta có  x1 sin xdxxsinxdxsinxdxxdcosx cosx

cos cos cos

    xcosxsinx cosx C  x1 cos xsinx C

Câu 17 Đáp án A.

Ta có lnxdx x lnx xdlnx xlnx dx x lnx x C  xlnx1C

Câu 18 Đáp án D.

cos 3 sin 3 sin 3 sin 3

   13xsin 3x19cos3x C

Câu 19 Đáp án A.

Ta có: xe dxx xd e x xex e dxx

Mà F 0  1 C 1 F x  x1ex1

Câu 20 Đáp án A.

Ta có xsinxdxxdcosx xcosxcosxdxxcosxsinx C .

Câu 21 Đáp án A.

xe dx xd e  xe  e dx xe  e C

Câu 22 Đáp án A.

Đặt

x x

u x

v e dx

dv e dx



   





 Suy ra f x dx  x21e x 2 x e dx x

Đặt





Suy ra f x dx  x2 1e x 2 x e dx x x21e x 2 x e x 2.e dx x 

x2 1e x 2 x e x 2.e x C x 12e x C

Cách khác: Đối với nguyên hàm từng phần dạng

  x   x   x   x x

f x e dxf x e  f x e f x e  k e C

x21e dx x x21e x 2xe x2.e xCx2 2x1  e xC

Câu 23 Đáp án C.

Đặt

3 3ln 1

3

v









2 3.ln 1 3ln 1 2 3ln 1

Câu 24 Đáp án D.

Đặt t x 2tdt dx

2

ln 2 4 ln 4 ln 4 ln 4 ln 4

t

t

4 lnt t 4t C

Quan sát các đáp án ta thấy D đúng, vì 2 lnt t2 4t C 4 lnt t 4t C

Câu 25 Đáp án C.

Đặt

 

2

1

ln 1

1

1

x x











Câu 26 Đáp án A.

1 ln

3 1

1

x







Suy ra    2 1 ln  2 1  2 1 ln 3

3

x

Câu 27 Đáp án B.

Đặt t x 2tdt dx Suy ra F t  2 cost tdt

2 sin 2cos

Câu 28 Đáp án B.

Đặt

2

sin

2.cos

x









2cos 2 cos 2cos 2

Câu 29 Đáp án C.

Đặt

1 ln

2 3











       6lnx94x x C