Bài tập có đáp án chi tiết về dãy số môn toán lớp 11 của thầy Nguyễn Thanh Tùng | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

Tập hợp các số tuân theo 1 quy luật nhất định tạo thành dãy số.. Định nghĩa: Một hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương *.[r]

Trang 1

DÃY SỐ - TƯ LIỆU BÀI GIẢNG - GV : NGUYỄN THANH TÙNG

I Định nghĩa

Tập hợp các số tuân theo 1 quy luật nhất định tạo thành dãy số

Định nghĩa: Một hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương  được gọi là 1 dãy số *

vô hạn

Mỗi số hạng của u được gọi là 1 số hạng của dãy số u 1 u u1,  2 u2

.

Ký hiệu dãy số: u n u n, và u gọi là số hạng tổng quát của dãy số n

Chú ý: nếu là n hữu hạn thì gọi là dãy số hữu hạn

II Cách cho 1 dãy số

Cách 1 Cho dãy số theo kiểu tường minh, khai triển.

Cách 2 Cho theo công thức tổng quát

Cách 3 Cho theo kiểu hệ thức truy hồi.

Cách 4 Cho theo cách diễn đạt bằng lời cách xác định số hạng của dãy số.

VD1 Cho các dãy số sau, cho theo số hạng tổng quát và truy hồi

a/ n  1

n u

n b/ u n   1 n 12

1

2,









1 Tìm 4 số hạng đầu tiên của dãy số

2 Tìm số hạng thứ 10 của dãy số

Lời giải

1 Tìm 4 số hạng đầu tiên của dãy số.

1





n

n u n

1 2

2 3

3 4

4

5  : ; ; ; ; 1 2 3 4

2 3 4 5

n

u

 1  12

  n

n

u

1 4

1 9

16  : 1; ;1 1 1; ;

4 9 16

n

u

Với

1

2,









u u u ta có u3 u2u1   1 1 2

4  3 2   2 1 3

Vậy  u n :1; 1; 2; 3;

2 Tìm số hạng thứ 10 của dãy số

Với n  1

n u

n ta có 10

10 1 11



u

Trang 2

Với u n   1 n 12

10

1

10 100

u

Với

1

2,









u u u ta có  u n :1; 1; 2; 3; 5, 8; 13; 21; 34; 55 Vậy u10 55

.

VD2 Cho dãy số sau dưới dạng truy hồi

1

2 2







 









u

n

Tìm số hạng tổng quát của dãy số

Lời giải

Ta có: u1 2 21

2

2 2 12.2 4 2 

3

3 2 2 2.4 8 2 

4

4 2 32.8 16 2 

5

5 2 4 2.16 32 2 

…

2

 n

n

u

III Dãy số tăng và dãy số giảm

 u n được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ta có u n u n1

 u n được gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ta có u n u n1

Phương pháp làm bài tập

Xét hiệu số A u n 1 u n

Nếu A0 thì dãy số tăng.

Nếu A0 thì dãy số giảm.

Nếu dãy số dương thì xét thương số

1



 n

n

u B u

Nếu B1 thì dãy số tăng.

Nếu B1 thì dãy số giảm.

VD3 Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau: a/

1

n

n u n





b/

1 2

 

Lời giải

a/

1

n

n u

n





Trang 3

Xét hiệu số

2

1

0



Vì A u n1 u n  0 u n1u nên dãy số giảm n

b/

1 2

 

Vì

* 1

0, 2

nên xét thương số

1



 n

n

u B u

Ta thấy 2n1  1, n * n2n12n1 1 n2n1   1 1, n *

suy ra

1 1



 n 

n

u B

u nên dãy số tăng.

IV Dãy số bị chặn

+) Cho dãy số  u n được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại 1 số M sao cho mọi

*:

 n 

.

+) Cho dãy số  u n

được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại 1 số m sao cho mọi

*:

 n 

+) Cho dãy số  u n

được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên và vừa bị chặn dưới,

nghĩa là tồn tại số M và m sao cho mọi n*:m u nM

.

PHẦN 1 BÀI TẬP TỰ LUẬN

Câu 1: Cho các dãy số sau

1 2

n u

n n





2/

2 1

n



n u

n



n

1 Viết 4 số hạng đầu tiên của dãy số trên ?

2 Xác định số hạng thứ 10 trong dãy số trên ?

Câu 2: Cho các dãy số sau:

1/

1

1 3

u







1

3 4

u









 Viết 4 số hạng đầu tiên của dãy số, từ đó tìm số hạng tổng quát của dãy số

Câu 3: Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau

Trang 4

1 1

n

n u

n





n

u 

3/u n  n 1 n

Câu 4: Xét tính bị chặn của các dãy số sau

a/u n 2n21 b/  

1 2

n u

n n





c/u n sinncosn

HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Cho các dãy số sau

1 2

n u

n n



2 1

n



n u

n



n

1 Viết 4 số hạng đầu tiên của dãy số trên ?

Lời giải:

1.Viết 4 số hạng đầu tiên của dãy số trên ?

1/ 10

1 120

u 

10 101

u 

1023 1025

u 

1 2

u 

Câu 2: Cho các dãy số sau

1/

1

1 3

u







1

3 4

u









 Viết 4 số hạng đầu tiên của dãy số, từ đó tìm số hạng tổng quát của dãy số

Lời giải:

1/ Ta thấy

1

2

3

4

1 3.1 4

2 3.2 4

5 3.3 4

8 3.4 4

n

u







2/ Ta thấy

0 1

1

2 3

3 4

3 3.4

12 3.4

3.4

48 3.4

192 3.4

n n

u

u u

u





 







Trang 5

Câu 3: Xét tính tăng, giảm của dãy số sau

1/

1 1

n

n u

n





n

u 

3/u n  n 1 n

Lời giải:

1/ Ta xét

1

0





2/ Ta xét

1

n n



dãy số giảm

3/ Ta xét

dãy số tăng

Câu 4: Xét tính bị chặn của các dãy số sau

a/u n 2n21 b/  

1 2

n u

n n



Lời giải:

a/ Nhận thấy, vì  n * 2n2 2.12   2 2n21 1 do đóu   dãy số bị chặn dưới n 1

bởi 1

b/ Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới

+ Dễ thấy u n 0,  n *

2 3,

3

n

n n   n   u 

1

0

3

n

u

c/Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới vì

n n n   u 

*

2 u n 2, n

PHẦN 2 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1 [1D3-2.2-2] Cho dãy số  u n

với u n  1n 1cos2

n





 

Khi đó u bằng12

A

1

3

1 2



3 2



Lời giải Chọn D.

Trang 6

Ta có 12  12 1

Câu 2 [1D3-2.5-2] Dãy số

1 1

n u n



 là dãy số có tính chất?

C Không tăng không giảm D Tất cả đều sai

Lời giải Chọn B.

0





Suy ra dãy số  u n

giảm

Câu 3 [1D3-2.3-2] Cho dãy số 2

2 1

n

n u

n



 Số

9

41 là số hạng thứ bao nhiêu.

Ta có

2 2

9

n

n n









Vì n* n9

Câu 4 [1D3-2.4-2] Cho dãy số

1

1 1

u







 Số hạng tổng quát của dãy số trên là?

A u n   1 n B u n  1 n C u    n 1  12n. D u n  n

Lời giải Chọn

Ta có u  , 1 1 u2 2,u3  ,… nên 3 u n  n

Câu 5 [1D3-2.4-2] Trong các dãy số sau, dãy số nào thỏa mãn u  , 0 1 u  , 1 2 u n 3u n1 2u n2, n 

n

u  n 

Ta có u  , 0 1 u  , 1 2 u3 4, u4  , 8 u 5 32 nên loại đáp án A, B, C

Câu 6 [1D3-2.4-2] Cho dãy số

1

5

u







 Số hạng tổng quát của dãy số trên là?

A

2

n

5 2

n

C

5 2

n

n n

5

2

n

Trang 7

Ta có u15,u2   5 2 7

Loại đáp án A vì u  2 1

Loại đáp án C vì u  2 8

Loại đáp án D vì u  2 11

Câu 7 [1D3-2.4-2] Tính tổng S n  1 2 3 4    2n1 2n2n1

là

A S n   n 1 B S n n

C S n  2n

D S n   n

Lời giải Chọn A.

Ta có tổng S        3 1 2 3 4 5 6 7 4

Loại đáp án B vì S 3  3

Loại đáp án C vì S 3  6

Loại đáp án D vì S 3  3

Câu 8 [1D3-2.4-1] Cho tổng S n    1 2 3  Khi đó n S là bao nhiêu?3

Ta có S     3 1 2 3 6

Câu 9 [1D3-2.5-2] Dãy số

n

n u n





 là dãy số bị chặn trên bởi?

A

1

Lời giải Chọn

Ta có

1

n n





 nên dãy số bị chẵn trên bởi 1.

Câu 10 [1D3-2.3-2] Cho dãy số xác định bởi công thức truy hồi

1

1 2

u







 Hỏi số 33 là số hạng thứ mấy?

Ta có u11,u2   3 1 1.2,u3   5 1 3 1 2  , u   4 7 1 4 1 2 

Dự đoán u n  1 n1 2 2  n1

Dùng phương pháp quy nạp chứng minh đẳng thức đúng

Trang 8

Do đó u n 33 2n1 33  n17.

Định dạng
Số trang	8
Dung lượng	303,65 KB