Dạng toán lớp 12 về mặt nón mặt trụ mặt cầu mặt nón tròn xoay | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và góc giữa một mặt bên và đáy bằng 60°, diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và đáy là hình tròn nội tiếp tam giác ABC bằng.. Cho[r]

CHƯƠNG II: MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU

MẶT NÓN TRÒN XOAY

I : LÝ THUYẾT

a Hình trụ nội tiếp trong hình nón ( hình nón ngoại tiếp hình trụ): Hình trụ có một đáy nằm trong đáy hình nón, đáy còn lại là thiết diện của mặt phẳng vuông góc với trục của hình nón với hình nón

b Hình cầu nội tiếp hình nón ( hình nón ngoại tiếp hình cầu): Hình cầu tiếp xúc với đáy của hình nón và tất cả các đường sinh của hình nón

c Hình cầu ngoại tiếp hình nón ( Hình nón nội tiếp hình cầu): Đỉnh của hình nón nằm trên mặt cầu và đáy của hình nón là thiết diện của mặt cầu với một mặt phẳng

d Hình chóp nội tiếp hình nón (hình nón ngoại tiếp hình chóp): Đỉnh của hình chóp là đỉnh của hình nón và đáy của hình chóp là đa giác nội tiếp đáy của hình nón

e Hình chóp ngoại tiếp hình nón: Đỉnh của hình chóp trùng với điểm của hình nón và đáy của hình nón là hình tròn nội tiếp đáy của hình chóp

II Dạng toán 4: Nón nội – ngoại tiếp chóp, trụ, cầu

a) Phương pháp giải

Nắm vững các khái niệm về nón ngoại - nội tiếp chóp, trụ, cầu để xác định đúng các yếu tố đặc trưng của nón.

Ví dụ 1: Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón ngoại tiếp hình chóp tam giác đều cạnh bằng a

Hướng dẫn giải:

Hình nón ngoại tiếp hình chóp đều cạnh a có đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh a nên

có

3 3

a

R =

, đường cao của hình nón chính là đường cao của hình chóp nên

6 3

a

h =

2 3

3

xq

a

S =p r l = p

3 2

a

V = p r h= p

Ví dụ 2: Cho hình nón có bán kính đáy R và đường sinh tạo với mặt đáy một góc 600 và một hình trụ nội tiếp hình nón, biết bán kính của hình trụ bằng một nửa bán kính đáy của hình nón Tính thể tích khối trụ

Hướng dẫn giải:

Do bán kính của trụ bằng một nửa bán kính đáy của nón nên mặt đáy của hình trụ là thiết diện tạo bởi hình nón và mặt phẳng đi qua trung điểm đường sinh của hình nón và vuông góc với trục của hình nón Độ dài đường cao của nón

3 2

R h

nên đường cao trụ bằng

3 4

R h

.( )

V πrhππr h πrhππ πrhππ

Ví dụ 3: Cho hình chóp tam đều cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với đáy một góc bằng 45 Tính thể tích0 khối nón nội tiếp chóp tam giác đều đó

Hướng dẫn giải:

Mặt nón nội tiếp hình chóp tam giác đều cạnh đáy bằng a có

Bán kính

3 6

a R

và đường cao chính là đường cao của chóp nên

3 3

a h

Thể tích khối nón:

3 3 18



 a V

(đvtt)

Ví dụ 4:Cho hình lập phươngABCD A B C D ' ' ' 'có cạnh là a Hãy tính diện tích xung quanh và thể

tích của khối nón có đỉnh là tâmOcủa hình vuôngABCDvà đáy là hình tròn nội tiếp hình vuôngA B C D' ' ' '

Hướng dẫn giải:

Khối nón có chiều cao a và bán kính đáy 2

a

r =

nên diện tích xung quanh khối nón bằng:

xq

S =p rl =p a a +æöç ÷ç ÷ç ÷çè ø÷= p

.(đvdt) Thể tích của khối nón:

2

a

V = Bh= p r h= pæöç ÷ç ÷ç ÷çè ø÷a= p a

(đvtt)

Ví dụ 5: Cho mặt cầu bán kính R Tính chiều cao của khối nón nội tiếp mặt cầu đó và có bán kính đáy 2

R

Hướng dẫn giải:

Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đáy của khối nón bằng

2 ( )2 3

Chiều cao của khối nón là:

3 2

R

h=R +

b) Bài tập

NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU Câu 1. Biết hình chóp tứ giác có mặt nón ngoại tiếp Khẳng định nào đúng về hình dạng đáy của hình chóp

tứ giác đó?

A Hình bình hành B Hình thoi C Tứ giác nội tiếp D Hình thang Câu 2. Hình nón ngoại tiếp hình chóp tam giác đều cạnh a có bán kính đáy bằng:

A

3

2

a

B

2 2

a

C

3 3

a

D

2 3

a

Câu 3. Hình nón nội tiếp hình chóp tam giác đều cạnh a có bán kính đáy bằng:

A

3

6

a

B

3 4

a

C

3 3

a

D

3 2

a

Câu 4. Trong các hình chóp sau đây, hình chóp nào luôn có mặt nón nội tiếp:

A hình chóp tam giác B hình chóp tứ giác C hình chóp ngũ giác D Hình chóp lục

giác

Câu 5. Trong tất cả các hình nón nội tiếp mặt cầu đường kính R=10, hình chóp có bán kính đáy lớn nhất có đường cao bằng:

Câu 6. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh đáy bằng 2a, góc ở đỉnh 900 có bán kính bằng.

a

C

3 2

a

D a Câu 7 Một hình nón có độ dài đường sinh là 5, bán kính đáy là 4 Hình chóp tứ giác đều nội tiếp hình nón

có thể tích là:

Câu 8 Cho hình nón có bán kính đáy bằng R, góc ở đỉnh là 600 Một hình trụ có bán kính đáy bằng 2

R

nội tiếp trong hình nón Thể tích của khối trụ là:

A

3 3

6

R

B

3 3 8

R

C

3 3 4

R

D

3

8

R

Câu 9. Cho hình nón ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều có chiều cao bằng 4cm, đáy là hình vuông cạnh

3 2cm Diện tích xung quanh của hình nón là:

A 12 cm2

B 15 cm2

C 20 cm2

D 30 cm2

Câu 10. Cho hình nón ngoại tiếp hình chóp lục giác đều có cạnh bên bằng 9cm, cạnh đáy bằng 8cm Thể

tích của khối nón là:

A 72 cm3

B 64 17 cm3

C 64 17  3

3



cm

D 72  3

3



cm

Câu 11. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng a, thể tích của hình nón đỉnh S và đáy là hình tròn nội tiếp ABCD bằng

A

3

4

a

B

3

2

a

C

3

6

a

D

3

9

a

Câu 12. Một khối nón có đường sinh bằng đường kính đáy và bằng 2 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối nón bằng:

3

2 3 3

Câu 13. Một hình tứ diện đều cạnh a có một đỉnh là đỉnh của hình nón, ba đỉnh còn lại nằm trên đường

tròn đáy của hình nón Diện tích xung quanh của hình nón bằng:

A

2 3

3

a



2 2 3

a



D

2 3 2

a



Câu 14. Hình chóp tứ giác đều cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và đáy bằng 60° Diện tích toàn phần

của hình nón ngoại tiếp hình chóp là:

A

2

3

2

a



B

2 3 4

a



C

2 3 6

a



D

2 3 8

a



Câu 15. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và góc giữa một mặt bên và đáy bằng 60°, diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và đáy là hình tròn nội tiếp tam giác ABC bằng

A

2

6

a



B

2

4

a



C

2

3

a



D

2 5 6

a



VẬN DỤNG

Câu 16. Cho hình chóp đều S.ABCD, đáy có cạnh bằng 2a, cạnh bên bằng 3a Hình nón  N ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Thể tích của khối nón  N là:

A 7 a cm 3 3

B 7 3 3

3

a cm



C 6 3 3

3

a cm



D 2 7 3 3

3

a cm



Câu 17 Cho hình nón  N có đỉnh S và đáy là đường tròn  C Thể tích của khối nón  N bằng 10cm3. Hình trụ  T có một đáy là  C , đáy còn lại có tâm là S Thể tích của  T là:

A 10 cm 3

B 20 cm 3

C 30 cm 3

D 40 cm 3

Câu 18 Cho khối nón có chiều cao h và nội tiếp trong khối cầu có bán kính R với h2R Khi đó, thể

tích của khối nón theo h và R được tính bởi công thức.

A 1 2 

2

2

3h R h . C h22R h  D 1 2 

3h R h .

Câu 19 Cho lăng trụ tam giác đều ABC A B C ' ' ' có cạnh đáy bằng a Gọi O và O' lần lượt là tâm của đáy ABC A B C, ' ' ' Biết góc giữa đường thẳng O B' với mặt phẳng  ABCbằng 300 Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón đỉnh O', đáy là đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC

A

2 3

2 3

;

a a

B

2 3

2 3

;

a a

C

2 3

4 3

;

a a

D

2 3

4 3

;

a a

Câu 20 Cho khối nón có chiều cao h và nội tiếp trong khối cầu có bán kính R với h2R Để thể tích của khối nón trên là lớn nhất thì chiều cao h tính theo R bằng

4

3

5

3R.

Câu 21 Một hình nón có góc ở đỉnh bằng 600và ngoại tiếp được hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 2

a Người ta bỏ đáy của hình nón đi, rồi lật ngược hình nón (như hình vẽ) và đổ đầy nước vào hình nón

đó, sau đó bỏ một viên bi hình cầu vào trong nước Biết mặt viên bi tiếp xúc với mặt thoáng của nước Thể tích nước bị trào ra là?

A

3

4 3

27

a

3

4 3 9

a

C

3 3 9

a

D

3 3 27

a

Câu 22 Một hình nón có góc ở đỉnh bằng 600và ngoại tiếp được hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 2

a Người ta bỏ đáy của hình nón đi, rồi lật ngược hình nón (như hình vẽ) và đổ đầy nước vào hình nón

đó, sau đó bỏ một viên bi hình cầu vào trong nước Biết mặt nước chính là mặt phẳng kính của viên bi Thể tích nước bị trào ra là?

A

3

3

4

a

3 3 2

a

C

3 3 9

a

D

3 3 3

a