Dạng toán lớp 12 phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

111Equation Chapter 1 Section 1CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG II – DẠNG TOÁN4. Dạng 4: Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn..[r]

111Equation Chapter 1 Section 1CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

II – DẠNG TOÁN

4 Dạng 4: Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

a) Phương pháp giải

 Phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A a ;0;0

, B0; ;0b 

, C0;0;c

với abc  0

có phương trình: 1

a b c 

 Phương trình mặt phẳng có dạng: 1

a b c  cắt ba trục Ox , Oy , Oz lần lượt tại các

điểmA a ;0;0

, B0; ;0b 

, C0;0;c

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi  

là mặt phẳng qua G1; 2;3

và cắt các trục , ,

Ox Oy Oz lần lượt tại các điểm A B C, , (khác gốc O ) sao cho G là trọng tâm của tam giác

ABC Khi đó mặt phẳng   có phương trình:

A 3x6y2z18 0 B 6x3y2z18 0 C 6x3y2z 9 0 D 2x y 3z 9 0

Lời giải

Chọn đáp án B

Gọi ba điểmA a ;0;0

, B0; ; 0b 

, C0; 0; c

với abc  , khi đó phương trình có dạng: 0

( ) :P x y z 1

a b c 

Để G1; 2; 3 là trọng tâm ABC , điều kiện là:

1

3

9 3

3

a

a b

b c c













  







3 6 3

P

6x 3y 2 -18 0z

Cách giải nhanh: phương trình mặt phẳng có dạng: ( ) : 1

P

abc 

x0; y ; z0 0 a 3x0 3;b 3y0 6;c 3z0 9

PT: ( ) :3 6 3 1

6x 3y 2 -18 0z

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng  

đi qua điểm H2;1;1

và cắt các trục

Ox, Oy, Oz lần lượt tại A , B , C (khác gốc toạ độ O ) sao cho M là trực tâm tam giác ABC

Mặt phẳng  

có phương trình là:

A 2x y z  - 6 0 B 2x y z   6 0 C 2x y z   6 0 D 2x y z   6 0

Lời giải

Chọn đáp án A

Gọi ba điểmA a ;0;0, B0; ; 0b , C0; 0; c với abc  , khi đó phương trình có dạng: 0

( ) :P x y z 1

a b c 

Để H2; 1; 1

là trực tâm ABC , điều kiện là:

( )

HA BC

HB AC











 



2 1 1

1

HA BC

HB AC

a b c











   



 

2 1 1

1

b c

a c

a b c



  



   



   



3 6

a

b c





 

 

Thay a b c, , vào (1), ta được: ( ) :3 6 6 1

2x y z- 6 0

Cách giải nhanh: phương trình mặt phẳng có dạng: ( ) : 1

P

abc 

x ; y ; z0 0 0

H

suy ra mặt phẳng (P) đi Hvà nhận OH ( ; ; )x y z0 0 0

làm vectơ pháp tuyến PT: ( ) : 2(P x 2) 1( y1) 1( z1) 0  2x y z  6. 2x y z  - 6 0

Giải theo tự luận

Giải theo pp trắc nghiệm(Giải theo Casio nếu có)

Phân tích các sai lầm dễ mắc phải của học sinh

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng  

đi qua điểm M1; 1; 1

và cắt chiều

dương các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A , B , C (khác gốc toạ độ O ) sao cho tứ diện OABC

có thể tích nhỏ nhất Mặt phẳng  

có phương trình là:

A x y z   3 0 B x y z   3 0 C x y z   3 0 D x y z   3 0

Lời giải

Chọn đáp án C

Gọi ba điểmA a ;0;0

, B0; ; 0b 

, C0; 0; c

với a b c , , 0, khi đó phương trình có dạng: ( ) :P x y z 1

a b c 

Điểm

M thuộc ( )P nên ta có:

1 1 1

1

a b c  

Thể tích khối tứ diện OABC :

OABC

V  OA OB OC  a b c

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương

1 1 1 , ,

a b c:

3

1 1 1 1 1 1

3

a b c    a b c 

Do

1 1 1

1

a b c   nên suy ra

27

abc  abc

OABC

V đạt giá trị nhỏ nhất bằng 92 khi 1a   1b 1c 13 a b c  3

Khi đó

3 3 3

P     x y z   

b) Bài tập vận dụng có chia mức độ

NHẬN BIẾT

Câu 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm

( 3;0;0), (0; 4;0), (0;0; 2)

A

x

1

x

1

x

1



Câu 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Mặt phẳng (P) đi qua các điểm A ( 1;0;0), B(0; 2;0),

(0;0; 2)

C  có phương trình là:

A 2x y z   2 0 B 2x y z   2 0 C 2x y z   2 0 D 2x y z   2 0

THÔNG HIỂU

Câu 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi  

là mặt phẳng qua các hình chiếu của A5;4;3 lên các trục tọa độ Phương trình của mặt phẳng   là:

A 5 4 3 0

B 12x15y20z60 0

Hướng dẫn giải

Gọi M N P, , lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên trục Ox Oy Oz, ,

Ta có: M5;0;0

, N0;4;0

, P0;0;3

Phương trình mặt phẳng  

qua M5;0;0

, N0;4;0

, P0;0;3

là:

5 4 3

Vậy 12x15y20z 60 0

VẬN DỤNG

Câu 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng  

đi qua điểm M1; 2;3

và cắt các

trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A , B , C (khác gốc toạ độ O ) sao cho M là trực tâm tam giác

ABC Mặt phẳng   có phương trình là:

A x2y3z14 0 B 1 2 3 1 0

C 3x2y z 10 0 D x2y3z14 0

Câu 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm G(1; 4;3) Viết phương trình mặt phẳng

cắt các trục Ox Oy Oz, , lần lượt tại A B C, , sao cho G là trọng tâm tứ diện OABC

A 3 12 9 1

B 4 16 12 1

C 4 16 12 0

D 3 12 9 0

Câu 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; 2;3). Mặt phẳng( )P qua Mcắt các

tia Ox Oy Oz, , lần lượt tại A B C, , sao cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ nhất có phương

trình là:

A 6x3y2z0 B x y z   6 0

C 6x3y2z18 0 D x2y3z14 0

Hướng dẫn giải

Phương trình mặt phẳng ( )P 1

a b c 

Mặt phẳng( )P qua M nên

1 2 3

1

a b c   Thể tích khối tứ diện OABC nhỏ nhất khi

3

a  b c suy ra a3,b6,c9 Phương trình mặt phẳng( )P 3 6 9 1

hay 6x3y2z18 0

VẬN DỤNG CAO (NẾU CÓ)

Câu 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A1;0;0

, B0; ;0b 

, C0;0;c

, b0,c0 và mặt phẳng  P y z:    Xác định b và c biết mặt phẳng 1 0 ABC

vuông góc với mặt phẳng

 P

và khoảng cách từ O đến ABC

bằng

1

3

A

,

b c

B

,

b c

C

1 1, 2

b c

D

1

2

b c

Hướng dẫn giải

Phương trình mặt phẳng ABC

bcx cy bz bc

b c

Theo giả thiết:

 

2

0

1

3

d O ABC

 











 

3b b 2b

2

2

c

Câu 8: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, mặt phẳng   đi qua điểm M5;4;3và cắt các tia

,

Ox Oy,Oz các đoạn bằng nhau có phương trình là:

A 5x4y3z 50 0 B x y z  0

C x y z  0 D x y z  12 0

Hướng dẫn giải

Gọi A a ;0;0 , B0; ;0 ,a  C0;0;a a 0

là giao điểm của mặt phẳng  và các tia Ox,Oy,

Oz

Phương trình mặt phẳng  

qua A, B, C là: 1

a a a  

Mặt phẳng   qua điểm M5;4;3  a12

Ta có

12 12 12

x y z

Câu 9: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm N1;1;1

Viết phương trình mặt phẳng  P

cắt các trục Ox Oy Oz, , lần lượt tại A B C, , (không trùng với gốc tọa độ O ) sao cho N là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

A  P x y z:    1 0 B  P x y z:    1 0

C  P x y z:    3 0 D  P x: 2y z  4 0

Hướng dẫn giải:

Gọi A a ;0;0 , B0; ;0 ,b  C0;0;c lần lượt là giao điểm của  P

với các trục Ox Oy Oz, ,

  P :x y z 1 , ,a b c 0

Ta có:

 

1 1 1

1



  











             

