Dạng tính diện tích và thể tích khối cầu môn toán lớp 12 | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Nếu tăng diện tích hình tròn lớn của một hình cầu lên 4 lần thì thể tích khối cầu đó tăng lên bao nhiêu lần.. Nếu tăng thể tích khối cầu lên 27 lần thì diện tích mặt cầu đó tăng lên bao [r]

2 Dạng 2: TÍNH DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH KHỐI CẦU

a) Phương pháp giải: Sử dụng công thức:

Diện tích mặt cầu: S 4R2

Thể tích khối cầu:

3 4 3

V  R

Ví dụ 1. Mặt cầu có bán kính R 3 có diện tích là:

A 4 3 R 2 B 4 R 2 C 6 R 2 D 12 R 2

Lời giải:

Chọn D

Áp dụng công thức: S 4R2

Diện tích mặt cầu có bán kính R 3 là: S4R 32 12R2

Ví dụ 2. Mặt cầu có bán kính R 6 có thể tích là:

A

3

4 6

3 R . B 8 6 R 3 C 4 6 R 3 D 8 R 3

Lời giải:

Chọn B

Áp dụng công thức:

3 4 3

V  R

Thể tích khối cầu có bán kính R 6 là: 4  3 3

3

V   R  R

Ví dụ 3. Cho hình tròn đường kính 4a quay quanh đường kính của nó Khi đó thể tích khối tròn xoay sinh

ra bằng:

A

3 32

3 4

3 8

3 64

3 a .

Lời giải:

Chọn A

Cho hình tròn đường kính 4a quay quanh đường kính của nó ta được khối cầu có đường kính 4a hay bán kính R2a

Thể tích khối cầu là: 4 3 4 2 3 32 3

V  R   a  a

Ví dụ 4. Khối cầu có thể tích bằng 36cm3

có bán kính là:

A 3 3 cm . B 2 cm 

C 3 cm 

D 27 cm 

Lời giải:

Chọn C

Ta có:

V  R    R  R   R

Ví dụ 5. Khối cầu có diện tích bằng 32 a 2 có bán kính là:

Lời giải:

Chọn D

Ta có: S 4R2  32a2 4R2  R2 8a2  R2 2a

b) Bài tập vận dụng có chia mức độ

Câu 1. Cho hình cầu có bán kính R khi đó diện tích mặt cầu là:

A 4 R 2. B 2 R 2. C R2. D

2 4

3R

Câu 2. Cho hình cầu có bán kính R khi đó thể tích khối cầu là:

A

3 4

3 2

3 1

3R

Câu 3 Khẳng định nào sau đây sai?

A Thể tích của khối cầu có bán kính R là

3 4 3

V  R

B Diện tích mặt cầu có bán kính R là S4R2

C Thể tích của khối nón có bán kính đáy R và chiều cao h là

2 1 3

V  R h

D Thể tích của khối trụ có bán kính đáy R và chiều cao h là V R h2

Câu 4. Gọi R bán kính đáy, S là diện tích và thể tích của khối cầu Công thức nào sau sai?

A S R2. B S 4R2. C

3 4 3

V  R

D 3V S R.

Câu 5. Khối cầu có thể tích bằng 36cm3

, khi đó bán kính mặt cầu bằng:

A 6 cm 

C 9 cm 

Câu 6. Diện tích của một mặt cầu bằng  2

100 cm

, khi đó bán kính mặt cầu bằng:

A

5 cm

5



5



Câu 7. Mặt cầu có bán kính bằng10 cm 

, khi đó diện tích mặt cầu bằng:

A  2

400 cm

100 cm

C 400  2

cm

cm

Câu 8. Cho mặt cầu  S1

có bán kính R , mặt cầu 1 S2

có bán kính R và 2 R2 2R1 Tỉ số diện tích của mặt cầu S2và mặt cầu  S1 bằng:

A

1

1

Câu 9. Cho mặt cầu có diện tích bằng

2 8 3

a

 , khi đó bán kính mặt cầu là:

A

6 3

a

3 3

a

6 2

a

2 3

a

Câu 10. Cho hình cầu có thể tích bằng

3

27

a



, khi đó bán kính mặt cầu là:

A

6 3

a

3 3

a

6 2

a

2 3

a

.

Câu 11. Cho mặt cầu có bán kính bằng 5 cm 

Diện tích của mặt cầu này là:

A  2

100 cm

400 cm

500 cm

100 cm

.

Câu 12 [THPT Nguyễn Huệ - Huế - Lần 1 - 2017]

Câu 13. Khối cầu  S có diện tích mặt cầu bằng 16 (đvdt) Tính thể tích khối cầu.

A

32 3

9  (đvdt). B

32 3

3 (đvdt). C

32

9 (đvdt). D

32

3 (đvdt).

Câu 14 [THPT Lương Thế Vinh - Hà Nội - Lần 2 -2017] Cho khối cầu có thể tích là 36cm3

Bán

kính R của khối cầu là:

A R 6 cm 

B R 3 cm 

C R 3 2 c m 

D R  6 cm 

Câu 15 [Cụm 8 - HCM - 2017] Cho mặt cầu có diện tích bằng

2 8 3

a

 Khi đó bán kính mặt cầu bằng

A

6 2

a

6 3

a

3 3

a

2 3

a

Câu 16. Cho mặt cầu S ;2 

Diện tích đường tròn lớn của mặt cầu là:

A 4π B 16 C 8 D 2

Câu 17. Cho mặt cầu S ;2 

Diện tích của mặt cầu là:

A 16 B 12 C 8 D 4

Câu 18. Cho mặt cầu S ;2 

Thể tích của khối cầu là:

A

32

8

3

2 .

Câu 19. Cho mặt cầu SO r; 

có diện tích đường tròn lớn là 2 Khi đó, mặt cầu SO r; 

có bán kính là:

A r= 2 B r= 2 C r= 4 D r=1

Câu 20. Cho mặt cầu SO r; 

có diện tích là 2 Khi đó, mặt cầu SO r; 

có bán kính là:

A

2

= 2

B

1

= 2

C r= 2 D

3

= 2

Câu 21. Cho mặt cầu SO r; 

Thể tích khối cầu là 2 Khi đó, mặt cầu SO r; 

có bán kính là:

A

3 3

= 2

B

6

= 2

C

2

= 2

D r= 63

Câu 22. Cho mặt cầu SO r; 

có diện tích là 4 Khi đó, diện tích đường tròn lớn của mặt cầu SO r; 

là:

Câu 23. Cho mặt cầu SO r; 

và mặt cầu SO r;3 

Tỉ số diện tích của mặt cầu  S

và  S

bằng:

Câu 24. Nếu tăng diện tích hình tròn lớn của một hình cầu lên 4 lần thì thể tích khối cầu đó tăng lên bao

nhiêu lần?

Câu 25. Nếu tăng thể tích khối cầu lên 27 lần thì diện tích mặt cầu đó tăng lên bao nhiêu lần?

Câu 26. Bán kính của đường tròn giao tuyến của mặt cầu SO r; 

và mặt phẳng   , biết rằng khoảng cách

từ tâm O đến mặt phẳng   bằng 2

r

, là:

A

3 2

r

3 4

r

5 2

r

2 2

r

Câu 27 [Cụm 7 - HCM - 2017] Một cái bồn chứa nước gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ (như hình

vẽ).

Đường sinh của hình trụ bằng hai lần đường kính của hình cầu Biết thể tích của bồn chứa nước là 128

3



Tính diện tích xung quanh của cái bồn chứa nước theo đơn vị m 2

A 50m2

B 64m2

C 40m2

D 48m2

Câu 28. Cho mặt cầu SO r; 

, hai mặt phẳng   và   có khoảng cách đến tâm O của mặt cầu đã cho lần lượt là a và b 0 a b r   

Gọi r và 1 r lần lượt là bán kính đường tròn giao tuyến của mặt2 cầu SO r; 

với mặt phẳng   và   Khi đó:

A r r1> 2 B r r1< 2. C r r12 D r r12

Bảng đáp án

Hướng dẫn giải Câu 1. Cho hình cầu có bán kính R khi đó diện tích mặt cầu là:

A

4 R 2 B 2 R 2 C R2 D

2 4

3R

Lời giải:

Chọn A

Công thức diện tích mặt cầu S 4R2.

Câu 2. Cho hình cầu có bán kính R khi đó thể tích khối cầu là:

A

3 4

3 2

3 1

3R

Lời giải:

Chọn A

Công thức thể tích khối cầu là

3 4 3

V  R

Câu 3 Khẳng định nào sau đây sai?

A Thể tích của khối cầu có bán kính R là

3 4 3

V  R

B Diện tích mặt cầu có bán kính R là S4R2

C Thể tích của khối nón có bán kính đáy R và chiều cao h là

2 1 3

V  R h

D Thể tích của khối trụ có bán kính đáy R và chiều cao h là V R h2

Câu 4. Gọi R bán kính đáy, S là diện tích và thể tích của khối cầu Công thức nào sau sai?

A S R2. B S 4R2. C

3 4 3

V  R

D 3V S R.

Lời giải:

Chọn A

Công thức diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu lần lượt là

2

2 3

3

S R



 









hay B, C, D là đáp án đúng

Câu 5. Khối cầu có thể tích bằng 36cm3

, khi đó bán kính mặt cầu bằng:

A 6 cm 

B 3 cm . C 9 cm 

Lời giải:

Chọn B

Thể tích khối cầu

V  R    R  R   R

Câu 6. Diện tích của một mặt cầu bằng100 cm 2

, khi đó bán kính mặt cầu bằng:

A 5cm

5



5



Lời giải:

Chọn D

Diện tích mặt cầu là



Câu 7. Mặt cầu có bán kính bằng10 cm 

, khi đó diện tích mặt cầu bằng:

A  2

400 cm

100 cm

C 400  2

cm

cm

Lời giải:

Chọn A

S  R     .

Câu 8. Cho mặt cầu  S1

có bán kính R , mặt cầu 1 S2

có bán kính R và 2 R2 2R1 Tỉ số diện tích của mặt cầu S2

và mặt cầu  S1

bằng:

A

1

1

Lời giải:

Chọn D

Công thức diện tích mặt cầu S 4R2 nên ta có tỉ lệ

2 2

2

4

4 4





 

Câu 9. Cho mặt cầu có diện tích bằng

2 8 3

a

 , khi đó bán kính mặt cầu là:

A

6 3

a

3 3

a

6 2

a

2 3

a

Lời giải:

Chọn A

Gọi R là bán kính mặt cầu, khi đó diện tích mặt cầu

2

4

S  R    R

Câu 10. Cho hình cầu có thể tích bằng

3

27

a



, khi đó bán kính mặt cầu là:

A

6 3

a

3 3

a

6 2

a

2 3

a

.

Lời giải:

Chọn A

Gọi R là bán kính mặt cầu, khi đó thể tích khối cầu là:

3 3

V  R    R

Câu 11. Cho mặt cầu có bán kính bằng 5 cm  Diện tích của mặt cầu này là:

A 100cm3

. B 400cm2

. C 500cm2

. D 100cm2

.

Lời giải:

Chọn D

Ta có S 4R2 100 cm 2

Câu 12 [THPT Nguyễn Huệ - Huế - Lần 1 - 2017]

Câu 13. Khối cầu  S có diện tích mặt cầu bằng 16 (đvdt) Tính thể tích khối cầu.

A

32 3

9  (đvdt). B

32 3

3 (đvdt). C

32

9 (đvdt). D

32

3 (đvdt).

Lời giải:

Chọn D

2

S  R    R

2

V  R    

(đvdt)

Câu 14 [THPT Lương Thế Vinh - Hà Nội - Lần 2 -2017] Cho khối cầu có thể tích là  3

36 cm

Bán

kính R của khối cầu là:

A R 6 cm 

B R 3 cm 

C R 3 2 c m . D R  6 cm .

Lời giải:

Chọn B

Thể tích của khối cầu

3 4

3

V  R    R

cm

Câu 15 [Cụm 8 - HCM - 2017] Cho mặt cầu có diện tích bằng

2 8 3

a

 Khi đó bán kính mặt cầu bằng

A

6 2

a

6 3

a

3 3

a

2 3

a

Lời giải:

Chọn B

Ta có

2

2

4





Câu 16. Cho mặt cầu S ;2 

Diện tích đường tròn lớn của mặt cầu là:

A 4π B 16 C 8 D 2

Câu 17. Cho mặt cầu S ;2 

Diện tích của mặt cầu là:

A 16 B 12 C 8 D 4

Câu 18. Cho mặt cầu S ;2 

Thể tích của khối cầu là:

A

32

8

3

2 .

Câu 19. Cho mặt cầu SO r; 

có diện tích đường tròn lớn là 2 Khi đó, mặt cầu SO r; 

có bán kính là:

A r= 2 B r= 2 C r= 4 D r=1

Câu 20. Cho mặt cầu SO r; 

có diện tích là 2 Khi đó, mặt cầu SO r; 

có bán kính là:

A

2

= 2

B

1

= 2

C r= 2 D

3

= 2

Câu 21. Cho mặt cầu SO r; 

Thể tích khối cầu là 2 Khi đó, mặt cầu SO r; 

có bán kính là:

A

3 3

= 2

B

6

= 2

C

2

= 2

D r= 63

Câu 22. Cho mặt cầu SO r; 

có diện tích là 4 Khi đó, diện tích đường tròn lớn của mặt cầu SO r; 

là:

Câu 23. Cho mặt cầu SO r; 

và mặt cầu SO r;3 

Tỉ số diện tích của mặt cầu  S

và  S

bằng:

Câu 24. Nếu tăng diện tích hình tròn lớn của một hình cầu lên 4 lần thì thể tích khối cầu đó tăng lên bao

nhiêu lần?

Câu 25. Nếu tăng thể tích khối cầu lên 27 lần thì diện tích mặt cầu đó tăng lên bao nhiêu lần?

Câu 26. Bán kính của đường tròn giao tuyến của mặt cầu SO r; 

và mặt phẳng   , biết rằng khoảng cách

từ tâm O đến mặt phẳng   bằng 2

r

, là:

A

3 2

r

3 4

r

5 2

r

2 2

r

Câu 27 [Cụm 7 - HCM - 2017] Một cái bồn chứa nước gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ (như hình

vẽ).

Đường sinh của hình trụ bằng hai lần đường kính của hình cầu Biết thể tích của bồn chứa nước là 128

3



Tính diện tích xung quanh của cái bồn chứa nước theo đơn vị m 2

A 50m2

B 64m2

C 40m2

D 48m2

Lời giải:

Chọn D

Gọi 4 mx 

là đường sinh hình trụ

Khi đó đường tròn đáy hình trụ và mặt cầu có bán kính là x m .

Thể tích bồn chứa nước này chính là thể tích của khối trụ có bán kính đáy R x đường sinh

4

l h  x và thể tích khối cầu có bán kính R x

Vậy diện tích xung quanh bồn nước là: 4x22 .4x x48m2

Câu 28. Cho mặt cầu SO r; 

, hai mặt phẳng   và   có khoảng cách đến tâm O của mặt cầu đã cho lần lượt là a và b 0 a b r   

Gọi r và 1 r lần lượt là bán kính đường tròn giao tuyến của mặt2 cầu SO r; 

với mặt phẳng   và   Khi đó:

A r r1> 2 B r r1< 2. C r r12 D r r12