Môn toán lớp 12 dạng phương trình mặt phẳng có một vecto chỉ phương và thỏa mãn một điều kiện cho trước | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG1. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.[r]

CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

1 Phương trình mặt phẳng

Mặt phẳng (P) đi qua điểmM x y z M; M; M, có một vectơ pháp tuyến  ; ;  0

phương trình là: a x x  Mb y y  Mc z z  M 0

2 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

+ Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M x M;y z M; Mvà mặt phẳng

 P ax by cz d:    0

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  P

:  ;   2 2 2

 

d M P

Nếu d M P ;    0 M P

.

+ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P ax by cz d:    0

và mặt phẳng  Q ax by cz e:    0d e 

Chọn một điểm M bất kì thuộc mặt phẳng (Q), khi đó d P   ; Q  d M Q ;  

3 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Góc giữa hai mặt phẳng.

+ Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

1 1 1

1 2 3

; ;











qua M x y z d

và

mặt phẳng  P ax by cz d:    0

.

Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng  P có : sin ;  cos ;  .



 

 

 P

P

P

u n

u n + Góc giữa hai mặt phẳng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P ax by cz d:    0

và

mặt phẳng  Q : ex fy gz h   0

;

 

P Q

n n lần lượt là các vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  P

và  Q .

Góc giữa hai mặt phẳng  P

và  Q

được xác định bởi

 

 

 P Q

P Q

P Q

n n

DẠNG 5: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG CÓ MỘT VEC TƠ CHỈ PHƯƠNG VÀ THỎA MÃN MỘT ĐIỀU KIỆN (GÓC, KHOẢNG CÁCH, TỈ SỐ )

Bài toán 1: Trong không gian Oxyz, cho điểm A,B; mặt phẳng  P

qua điểm A, B và tạo với mặt phẳng  Q một góc bằng  Viết phương trình mặt phẳng  P .

Phương pháp giải

* Tự luận:

+ Gọi phương trình của mp P

là ax by cz d   0a2b2c2 0

+ Gọi vectơ pháp tuyến của mp  P

và  Q

lần lượt là n a b cP ; ; , 

Q

n

+ Mặt phẳng (P) qua A, B nên tọa độ A, B lần lượt thỏa mãn phương trình mặt phẳng  P tìm

được hai mối liên hệ giữa a b c d, , ,

+ Áp dụng điều kiện về góc giữa hai mặt phẳng

cos cos ;

P Q

P Q

P Q

n n

n n

 

 

 

, tìm được mối liên hệ giữa a b c d, , , ; khử điều kiện để tìm được mối liên hệ giữa a b, (hoặc b c a c, ; , )

+ Từ mối liên hệ giữa a b, ta chọn a để tìm brồi suy ra phương trình mặt phẳng  P

*Trắc nghiệm

Có thể thay tọa độ điểm A,B vào các đáp án;

+ Nếu điểm A, Bkhông thuộc đáp án nào thì loại đáp án đó.

+ Nếu điểm A, Bcùng thuộc một đáp án thì tiếp tục kiểm tra điều kiện góc theo các công thức

tính góc giữa hai mặt phẳng

Bài toán 2: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A, B và C Viết phương trình mặt phẳng

(P) qua hai điểm A, B , đồng thời khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) bằng d

Phương pháp giải

* Tự luận:

+ Gọi phương trình của mp P

là ax by cz d   0 + Mặt phẳng (P) qua A, B nên tọa độ A, B lần lượt thỏa mãn phương trình mặt phẳng  P

tìm được hai mối liên hệ giữa a b c d, , ,

+ Áp dụng điều kiện về điều kiện về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

 

 ;  ax C by2 C 2cz C2 d

  tìm được mối liên hệ giữa a b c d, , , ; khử điều kiện để tìm được mối liên hệ giữa a b, (hoặc b c a c, ; , )

+ Từ mối liên hệ giữa a b, chọn a để tìm brồi suy ra phương trình mặt phẳng  P

*Trắc nghiệm

Có thể thay tọa độ điểm A, B vào các đáp án;

+ Nếu điểm A, Bkhông thuộc đáp án nào thì loại đáp án đó

+ Nếu điểm A, Bcùng thuộc một đáp án thì tiếp tục kiểm tra điều kiện khoảng cách theo các công thức đã biết về tính khoảng cách

Nhận xét: Việc thay thử các đáp án cũng tương đối dài nếu không sớm gặp đáp án đúng; học

sinh trung bình cũng có thể thay thử được.

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho điểm M1;0;0 và N0;0; 1 , mặt phẳng  P qua điểm M, N

và tạo với mặt phẳng  Q : x y 4 0  

một góc bằng 450 Phương trình mặt phẳng  P

là:

A

0







   



y

0







   



y

C

   





   



2 2 2 0

2 2 2 0

  





  



Lời giải

Chọn A.

Giải theo tự luận

+ Gọi vectơ pháp tuyến của mp  P

và  Q

lần lượt là n a b c a P ; ; , 2b2c2 0

,

1; 1;0 

Q

+ Gọi phương trình của mp P

là ax by cz d   0 +  P

qua M1;0;0  a d 0

 P

qua N0;0; 1   a c 0

 P

hợp với  Q

góc 450   0

2 2

0 1

2 2



 

P Q

a

a b

Với a 0 c0 chọn b1 phương trình  P y: 0

Với a2b chọn b 1 a2 phương trình mặt phẳng  P

: 2x y  2z 2 0

Giải theo phương pháp trắc nghiệm

+ Thay tọa độ điểm M1;0;0

và N0;0; 1 

vào các đáp án, thấy chỉ có đáp án A thỏa mãn

+ Kiểm tra điều kiện về góc, chọn đáp án đúng là A.

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A1;1;0

, B0;0; 2 

và C1;1;1

Viết phương trình mặt phẳng  P qua hai điểm A và B, đồng thời khoảng cách từ C tới mặt phẳng  P bằng 3

A

   



    



2 0

   



    



x y z

C

2 0

   



    



2 0

   



    



x y z

Lời giải

Chọn B.

Giải theo tự luận

+ Gọi ( ; ; ) 0

n a b c là véctơ pháp tuyến của  P

+ Gọi phương trình của mp P

là ax by cz d   0 +  P

qua A1;1;0  a b d  0

 P

qua B0;0; 2   2c d 0

 

2

( 2 )



a c





  



a c

+ a c chọn a c 1  phương trình mặt phẳng  P

: x y z   2 0

a7c chọn a =7; c = 1  phương trình mặt phẳng  P :7x5y z  2 0

Giải theo phương pháp trắc nghiệm

+ Thay tọa độ điểm A1;1;0

, B0;0 2 

vào các đáp án, thấy có đáp án A, B, C thỏa mãn + Kiểm tra điều kiện về khoảng cách từ C tới mặt phẳng  P , chọn đáp án đúng là B.

Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có A2; 1;6 

; B3; 1; 4  

; C5; 1;0 

;

1;2;1

D

Gọi  P

là mặt phẳng qua CD và chia tứ diện thành hai phần, biết phần chứa Acó thể tích là 12 Viết phương trình mặt phẳng  P

A. 3x5y 3z10 0 B x4z 5 0 .

C.2x y 5z 9 0 D 3x4y11 0

Lời giải

Chọn C.

Giải theo tự luận

+ Thể tích tứ diện

1

                  

ABCD

+ Gọi E là điểm trên đoạn AB, mặt phẳng CDE chia tứ diện

ABCD làm hai phần Áp dụng công thức tính tỉ số thể tích:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B EDC ABCD A EDC

+ Vậy phương trình mặt phẳng  P : 2x y 5z 9 0

Chọn C.

Giải theo phương pháp trắc nghiệm

+ Thay tọa độ điểm C5; 1;0 

; D1;2;1

vào các đáp án, thấy cả 4 đáp án A, B, C, D thỏa mãn

+ Tìm giao điểm của từng mặt phẳng trong các đáp án với đường AB (lấy điểm E thuộc mặt phẳng, tìm điều kiện để A, B, E cùng phương), chọn đáp án đúng là B

Nhận xét: Giải theo phương pháp trắc nghiệm tương đối dài, HS phải hiểu trình tự thực hiện NHẬN BIẾT.

Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng( ) :P x y z   3 0 và( ) :Q x y z  1 0 Viết

phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (R) bằng 2

A

2 0

2 0

  





  



x z

4 0

4 0

  





  



x z

x z

C

2 0

2 0

  





  



x y

4 0

4 0

  





  



x y

Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho A(1;2;3), mặt phẳng  P x y z:   15 0.

Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) biết (Q) cách điểm A một khoảng bằng 3 3

A x y z   15 0 B

3 0

15 0

x y z

x y z

   





C x y z   3 0 D

3 0

3 0

x y z

x y z

   



Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng  Q x: 2y z 0

và cách D1;0;3

một khoảng bằng 6 thì (P) có phương trình là:

A

   



    



   



    



C

   



    



   



    



Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : x y 2 z m 0P     và A(1;2;1) Tất cả các giá trị

của m sao cho khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( )P bằng 6 là:

A

5 7





 



m

5 7





 



m

m

C

1 6

1 6

  



 



m

5 5





 



m

Câu 5: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x y  3z 2 0.Viết phương trình mặt phẳng

(Q) song song và cách (P) một khoảng bằng

11

2 14

A

4 2 6 15 0













x y z

C

4 2 6 15 0







4 2 6 15 0







Câu 6: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng ( ) :P x2y 2z1 0 , phương trình mặt phẳng (Q) song

song (P) và cách (P) một khoảng là 3 là

A ( ) :Q x2y 2z 8 0 B ( ) :Q x2y 2z 2 0

C ( ) :Q x2y 2z 1 0 D ( ) :Q x2y 2z 5 0

Câu 7: Trong không gian Oxyz, choA0; 2;0 , B0;0; 2 ,  C1;1;1 , D1;1;0

.Mặt phẳng ( P ) qua A

và B thoả mãn d C P ;( ) d D P ;( )

có phương trình là

A x2y 2z 4 0. B  x2y 2z 4 0.

C x2y2z 4 0. D x 2y 2z 4 0.

Câu 8: Trong không gian Oxyz, gọi  P

là mặt phẳng song song với mặt phẳng

 Q : 2x 4y4z14 0

và cách điểm A2; 3;4 

một khoảng bằng 3 Viết phương trình của mặt phẳng  P .

A x 2y2z 25 0 B

2 4 4 41 0

2 4 4 23 0





2 2 25 0

2 2 7 0



    



Câu 9: Trong không gian Oxyz, tìm các mặt phẳng chứa những điểm cách đều hai mặt phẳng

 P : 2x y 2z 3 0;  Q x: 2y 2z 5 0?

A

3 4 8 0

   





3 4 8 0

3 2 0





C

3 4 8 0





3 4 8 0





Câu 10: Trong không gian Oxyz, tìm các mặt phẳng chứa những điểm cách đều hai mặt phẳng

 P x: 2y z  1 0; Q x: 2y z  5 0?

A x2y z  1 0 B x2y z  2 0.

C x2y z  3 0 D. x2y z 0.

THÔNG HIỂU.

Câu 11: Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua A(1; 1;3) vuông góc với mặt phẳng

( ) :Q x 2y2z 1 0 và cách gốc tọa độ một khoảng bằng

5

5

A 38x y 18z17 0. B 38x y 18z17 0.

C 38x y 18z 91 0. D 4x y z  0.

Câu 12: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng  P x y z:   0 Phương trình mặt phẳng (Q)

vuông góc với (P) và cách điểm M1;2; 1 

một khoảng bằng 2 có dạng: Ax By Cz  0

A2B2C2 0

A

0

B





0

B





C

0

B





0

B





Câu 13: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A1;0;0 , B2;0;3 , M0;0;1 và N0;3;1  Mặt

phẳng  P

đi qua các điểm M, N sao cho khoảng cách từ điểm B đến  P

gấp hai lần khoảng cách từ điểm A đến  P

Có bao mặt phẳng  P

thỏa mãn đầu bài ?

A Có vô số mặt phẳng  P

B Chỉ có một mặt phẳng  P

C Không có mặt phẳng  P

nào D Có hai mặt phẳng  P

Câu 14: Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A2;9;5 , B3;10;13 C1; 1;0 , 

4;4;1

D

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua hai điểm A, B sao cho khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (P) bằng khoảng cách từ D đến mặt phẳng (P) Phương trình mặt phẳng (P) là:

A



    



39 29 28 43 0





C



    



39 29 28 43 0

   





Câu 15: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A1;0;0 , B0; ;0 ,b  C0;0;c

trong đó b c, dương

và mặt phẳng  P y z:   1 0

Biết rằng mặt phẳng ABC

vuông góc với  P

và

3



d O ABC

, mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 16: Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có các đỉnh A1;2;0

,B2,3,1

, C2; 1;1 

, (0; 2;1)

D Gọi   là mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng AB CD, Phương trình mặt phẳng  

là

A x2y5z 7 0 B x2y5z 7 0

C x 2y5z 3 0 D x 2y5z 3 0

Câu 17: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A1;2;0 , B0;1;1

, C2; 1; 1  

và D3; 1; 4 

Viết phương trình mặt phẳng   cách đều 4 điểm A, B, C, D sao cho   song song với cả

2 đường thẳng AB và CD

A   : 5x6y z  5 0

B   :x z  4 0

C   : 5x6y z  5 0

D   : 15 x6y 3z15 0

Câu 18: Trong không gian Oxyz, cho A3;0;1 , B6; 2;1 

Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua

A, B và (P) tạo với mp Oyz  góc  thỏa mãn cos 72.

A

   





2 3 6 12 0





C.

2 3 6 12 0

2 3 6 1 0



    



2 3 6 12 0

2 3 6 1 0



    



Câu 19: Trong không gian Oxyz, cho ba mặt phẳng P x y:   3z 1 0

,  Q : 2x3y z 1 0,

 R x: 2y4z 2 0

Mặt phẳng  

chứa giao tuyến của hai mặt phẳng  P

và  Q

và

tạo với mặt phẳng R

một góc  Biết

23 cos

679





, mặt phẳng  

có phương trình là:

A x y 17z 7 0hoặc 53x85y65z43 0

B x y 17z 7 0 hoặc 53x85y65z 43 0

C x y  17z 7 0hoặc 53x85y65z 43 0

D x y 17z 7 0 hoặc 53x85y65z43 0

Câu 20: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng  P

qua O0;0;0

vuông góc với mặt phẳng  Q x: 2y z 0

và tạo với mặt phẳng Oyz

một góc 45 

A

x y

x y z

 



   

x y



  



C

0

x z

 



0

x z

x y

 



  

VẬN DỤNG - VẬN DỤNG CAO

Câu 21: Trong không gian Oxyz, viết phương trình tổng quát của mặt phẳng  P

cắt hai trục y Oy'

và 'z Oz tại A0, 1,0 ,  B0,0,1

và tạo với mặt phẳng yOz

một góc 45 0

A 2x y z  1 0 B 2x y z   1 0

C

x y z

x y z



x y z

x y z





Câu 22: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng  P

đi qua hai điểm A3,0, 4 , B3,0, 4

và hợp với mặt phẳng xOy

một góc 300 và cắt y Oy' tại C Viết phương trình tổng quát mặt

phẳng  P

C

y z

y z



Câu 23: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A1;0;0 , B0; 2;0 , C0;0;m Để mặt phẳng

ABC

hợp với mặt phẳng Oxy

một góc 600 thì giá trị của m là:

A

12 5



m

B

2 5



m

C

12 5



m

D

5 2



m

Câu 24: Trong không gian Oxyz , cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ , biết A0;0;0

, B1;0;0

,

0;1;0

D

và A' 0;0;1 

Phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng CD’ và tạo với mặt phẳng (BB’D’D) một góc lớn nhất là:

A x y z  0 B x y z   2 0

C x2y z  3 0 D x3y z  4 0

Câu 25: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A1; 2; 1 ,  B0;4;0

và mặt phẳng P

có phương trình: 2x y  2z2018 0 Phương trình mặt phẳng  Q

đi qua hai điểm A B, và tạo với mặt phẳng  P một góc nhỏ nhất có phương trình là

A  Q : x y z   4 0

B  Q :x y z   4 0

C  Q :2x y  3z 4 0

D  Q :2x y z   4 0

Câu 26: Trong không gian Oxyz , cho tứ giác ABCD có A0;1; 1 ;  B1;1;2 ; C1; 1;0 ;  D0;0;1 

Viết phương trình của mặt phẳng  P

qua A B, và chia tứ diện thành hai khối ABCE và ABDE có tỉ số thể tích bằng 3.

A 15x 4y 5z1 0 B 15x4y 5z1 0

C 15x4y 5z 1 0 D 15x 4y5z 1 0

Câu 27: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M0; 1; 2 

và N1;1;3

Phương trình mặt phẳng

 P

đi qua M, N sao cho khoảng cách từ điểm K0;0;2

đến mặt phẳng  P

lớn nhất là

A  x2y z 0 B.x y z –  3 0

C x2y z  6 0 D x y z –  1 0

Câu 28: Trong không gian Oxyz, cho hình lập phương ABCD A B C D , biết ' ' ' ' A0;0;0 , A1;0;0

,

0;1;0

D

và A' 0;0;1 

Phương trình mặt phẳng  P

chứa đường thẳng CD và tạo với mặt '

phẳng BB DD' '

một góc lớn nhất là:

A x y z  0 B x y z   2 0

C x2y z  3 0 D x3y z  4 0

Câu 29: Trong không gian Oxyz, cho A(2; 0; 0) M(1; 1; 1) Mặt phẳng (P) thay đổi qua AM cắt các

trục Ox, Oy lần lượt tại B(0; b; 0), C(0; 0; c) (b> 0, c> 0) Phương trình mặt phẳng (ABC) sao cho diện tích tam giác ABC nhỏ nhất là:

A 3x 2y z  6 0. B 2x y z   4 0.

C y z 0. D    x z 2 0.

Câu 30: Trong không gian Oxyz , cho tứ giác ABCD có A0;1; 1 ;  B1;1;2 ; C1; 1;0 ;  D0;0;1 

Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng  Q

song song với mặt phẳng BCD

và chia tứ

diện thành hai khối AMNF và MNFBCD có tỉ số thể tích bằng

1 27

A 3x 3z 4 0 B y z  1 0

BẢNG ĐÁP ÁN

Hướng dẫn giải chi tiết CÁC CÂU KHÓ

Câu 24: Trong không gian Oxyz , cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ , biết A0;0;0

, B1;0;0

,

0;1;0

D

và A' 0;0;1 

Phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng CD’ và tạo với mặt phẳng (BB’D’D) một góc lớn nhất là:

A x y z  0 B x y z   2 0

C x2y z  3 0 D x3y z  4 0

Lời giải:

Chọn A.

+ Tìm được C1;1;0 , ' 0;1;1 D  

và VTPT của (BB’D’D) là n1;1;0.

+ PT mặt phẳng (P) : Ax By Cz D   0,A2B2C2 0

+ (P) chứa đường thẳng CD’ suy ra CA D;  A B Ta có cos   , ' '   2 2

2 2







A B