CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG BÀI 2: TÍCH PHÂN. I.[r]
Trang 1CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
BÀI 2: TÍCH PHÂN
I LÝ THUYẾT
1 Định nghĩa: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn é ùê úa b; Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn é ùê úa b; Hiệu số F b( )- F a( ) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x) Kí hiệu: ( )
b a
f x dx
Vậy: ( ) ( ) ( ) ( )
b
b a a
f x dx=F x =F b - F a
ò
Ta gọi
b
a
ò là dấu tích phân; a là cận dưới; b là cận trên; f x( )là hàm số dưới dấu tích phân; f x dx( ) là biểu thức dưới dấu tích phân
a a
f x dx =
f x dx= - f x dx
b) Tích phân chỉ phụ thuộc vào hàm f và các cận a, b mà không phụ
thuộc vào biến:
f x dx= f t dt
2 Các tính chất của tích phân:
Tính chất 1: ( ) ( )
k f x dx=k f x dx
f x ±g x dx= f x dx± g x dx
f x dx= f x dx+ f x dx a< <c b
II DẠNG TOÁN
Tích phân của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối
Bài toán : Tính tích phân ( )d
b a
I =òg x x ( với g x( )là biểu thức chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối)
PP chung:
Xét dấu của biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối trên é ùê úa b;
Trang 2Dựa vào dấu để tách tích phân trên mỗi đoạn tương ứng ( sử dụng tính chất 3 để tách)
Tính mỗi tích phân thành phần.
Đặc biệt : Tính tích phân ( ) d
b a
I =òf x x
Cách giải
Cách 1:
+) Cho f x =( ) 0 tìm nghiệm trên é ùê úa b;
+) Xét dấu của f x( ) trên é ùê úa b; , dựa vào dấu của f x( ) để tách tích phân trên mỗi đoạn
tương ứng ( sử dụng tính chất 3 để tách)
+) Tính mỗi tích phân thành phần.
Cách 2:
+) Cho f x =( ) 0 tìm nghiệm trên é ùê úa b; giả sử các nghiệm đó là x x1; ; 2 x n
( với x1<x2< <x n )
Khi đó
n
I =òf x x+ò f x x+òf x x+ +òf x x
n
+) Tính mỗi tích phân thành phần
Ví dụ 1: Tính tích phân 2
0
1d
I =òx- x ta được kết quả :
A 1 B 2 C 3 D 4
Lời giải Cách 1:
Cho x- 1 0= Û x=1 ( thỏa mãn)
Ta có bảng xét dấu :
x 0 1
2
x - 1 - 0 +
I = - x- x+ x- x= - æççç - xö÷÷÷+æççç - xö÷÷÷
Trang 3Cho x- 1 0= Û x=1 ( thỏa mãn)
Khí đó
= çç - ÷÷ +çç - ÷÷ = - + - ççç - ÷÷=
Ví dụ 2: Tính tích phân
2 2 2
1d
-=ò - ta được kết quả :
A 4 B 3 C 9 D 9
2
Lời giải Cách 1:
Cho x2- 1 0= Û x= ±1 ( thỏa mãn)
Bảng xét dấu của x -2 1 trên đoạn éë-ê 2;2ùúû
x -2 -1 1 2
x - + 0 - 0 +
4
=çç - ÷÷ +çç - ÷÷ +çç - ÷÷ =
Cách 2:
Cho x2- 1 0= Û x= ±1 ( thỏa mãn)
Khi đó:
=çç - ÷÷ +çç - ÷÷ +çç - ÷÷
4
= - -ççç ÷÷+ - - + - -ççç ÷÷=
Þ chọn B
Ví dụ 3: Tính tích phân
2 2 0
3 2
I =òx - x+ dx ta được kết quả :
A.4 B 3 C 2 D 1
Trang 4Lời giải Cách 1:
2
x
x
é = ê
- + = Û ê =ê ( thỏa mãn)
Bảng xét dấu của x2- 3x+2 trên đoạn é ùê ú0;2
x 0 1 2
x - x+ + 0 - 0
+ Khi đó :
I =ò x - x+ x- ò x - x+ x
=ççç + ÷÷ ççç + ÷÷ = ççç ÷÷=
è ø
Þ Chọn D
Cách 2:
2
x
x
é = ê
- + = Û ê =ê (thỏa mãn)
1
I =òx - x+ dx+òx - x+ dx
1
= çç - + ÷÷ +çç - - ÷÷ = + - =
Þ Chọn D
Ví dụ 4: Tính tích phân
3 4
4
sin2 d
p
p
=ò ta được kết quả :
A 3 B 2 C 1 D 0
Lời giải
Trang 5Nếu : 3 2 3 sin2 0
Khi đó:
sin2 d sin2 d sin2 d
( ) ( )
3
Ví dụ 5: Tính tích phân 2
1
d
a
-=ò - ta được kết quả 11
6
I = , khi đó ta có:
Lời giải
Nhận xét: từ các đáp án Þ a³ 1
0
1
x
x
é = ê
- = Û ê =ê ( thỏa mãn)
Ta có bảng xét dấu của x2- x trên đoạn éë-ê 1;aùúû
x - 1 0 1
a
2
x - x + 0 - 0 +
a
a
0
æ ö æ ö÷ ÷ ç ÷ æ ö÷
= - -ççç ÷÷- -ççç ÷÷+çç - ÷÷- -ççç ÷÷
ç
7
(a 2 2) ( a2 a 2) 0 a 2
Þ chọn B
Ví dụ 6: Tính tích phân
1
1
1d
-=ò + - - ta được kết quả I a
b
= , khi đó tổng
a b+ là:
A 7 B 3 C 5 D.9
Lời giải
Trang 6Do 3 2 ( )( )2
x +x - x- = x- x+ £ " Î -êx éë ùúû
1d
= - + - - = - çç + - - ÷÷ = - ççç ÷÷=
ò
Þ = = Þ + = Þ chọn A
Ví dụ 7: Tính tích phân
2
2d 1
x
-=
-ò ta được kết quả I = +a bln2+cln3 ( với a b c, , là các số nguyên) Khi đó giá trị của biểu thức T =2a3+3b- 4c là:
Lời giải
2
x
é
= Û ê =
- - ê , do xÎ -êéë 2;0ùúû nên x = - 1
x - 2 - 1
0
1
x
-
- 0 +
Khi đó
= - ççç ÷÷ + ççç ÷÷ = - ççç - ÷÷ + ççç - ÷÷
= - çç - - ÷÷ +çç - - ÷÷
-3
Ví dụ 8: Tính tích phân 1
0
- d , 0
I =òx x a x a> ta được kết quả I f a( ) Khi đó tổng 1
(8)
2
f f
có giá trị bằng:
A 24
91 B
91
24 C
17
2 D
2 17
Lời giải
Trang 7TH1: Nếu a ³ 1 khi đó
( )
1
I = - x x a x- =æççç- + ö÷÷÷ = - Þ f = - =
÷
ò
TH 2: Nếu 0< <a 1 khi đó ( ) 1 ( )
0
a
a
I = - òx x a x- +òx x a x
-1
0
a
a
=ççç + ÷÷+ççç - ÷÷ = - + Þ ççç ÷÷= - + =
è ø
Khi đó (8) 1 11 1 91
f f
Ví dụ 9: Tính tích phân
1
1
2x 2 dx
-=ò - ta được kết quả
ln
a I b
( với a b, là các số
nguyên dương) Khi đó 2 3d
b a
J x x có giá trị bằng:
2
3
J = D J =3
Lời giải
Cho
2
2
2
x
2x 2 x d 2x 2 x d
ln 2 ln 2 ln 2 ln 2
1
1, 2
ln 2 a b
Khi đó
2
1
1
2
b a
J x x x x Þ chọn A
BÀI TẬP NHẬN BIẾT
Câu 1: Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
f x x f x x
B
Lời giải
1 0, 1;2018
Câu 2: Tính tích phân
1
0
2
I =òx- dx ta được kết quả
Trang 8A 1
2 B 1 C.
3
2 D 2 Lời giải
Do x 2 0, x 0;1 ( )
1
3
x
Þ = - - = - çç - ÷÷ =
THÔNG HIỂU
Câu 3: Tính tích phân
4 2 1
-=ò - + ta được kết quả
A. 19
2
- B. 19
2
C 28
6
D 19
Lời giải
=çç - + ÷÷ - çç - + ÷÷+çç - + ÷÷ =
Þ chọn B
VẬN DỤNG
1
1 d
-=ò - - ta được kết quả:
A 2 B 1 C 0 D 1
Lời giải Cách 1:
-( ) ( )
2
0
= - + +çç - ÷÷ - çç - ÷÷=
Cách 2:
0
Trang 9Câu 5: Tính tích phân
2
0
3x 4 d
I =ò + -x x ta được kết quả
ln
b
I a
c
( với a b c, , là
các số nguyên dương) Khi đó giá trị của biểu thức T a33b22c bằng:
A 55 B 36 C 38 D 73
Lời giải
Đặt h x( ) =3x - (4- x) =3x + -x 4.
Bảng xét dấu
x 0 1 2
( )
h x - 0 +
I = - ò + -x dx+ò + -x dx
= - çç - + ÷÷ +çç - + ÷÷ = +
3 2 55
