Chương 3. Nguyên hàm_tích phân. Ứng dụng về tích phân đa biến | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Đây là bài toán tính tích phân đã nêu pp giải ở trên.. Đây là bài toán tính tích phân quen thuộc.[r]

CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM -TÍCH PHÂN -ỨNG DỤNG

BÀI 2: TÍCH PHÂN

A – LÝ THUYẾT

Định nghĩa:

Tính chất:

Định lý:

B – PHƯƠNG PHÁP GIẢI

III Phương pháp tính tích phân từng phần

 Công thức:

b a

udv uv  vdu

3) Dạng 3:Tính tích phân

cos( )

ax b







hoặc

sin( )

ax b







*Phương pháp giải:

Đặt

1

ax b

u e

m





hoặc đặt

1

ax b

u e

m







Trong trường hợp này,ta phải tính tích phân từng phần hai lần sau đó trở thành tích phân ban đầu.Từ đó suy ra kết quả tích phân cần tính.

4) Dạng 4: Kết hợp đổi biến và tích phân từng phần

*Phương pháp giải:

+ Áp dụng pp đổi biến u u x ( ),biến đổi tích phân cần tính về tích phân từng phần + Áp dụng pp tích phân từng phần.

Ví dụ 1: Tính 0

cos

x





A I e 1 B I e 1 C

1 ( 1) 2

D

1 ( 1) 2

Lời giải:

*Giải theo tự luận:







(1)

Tính 0

sin

x









(2)

Từ (1) và (2) suy ra

1 ( 1) 2

Chọn D

*Giải theo pp trắc nghiệm:Sử dụng trực tiếp MTCT

Nhậnxét: Bài này có thể giải theo cách khác như sau Đặt

cos

x

dv e dx









 sau đó làm tương tự

Ví dụ 2: Tính

2 2

0 sin 3

x





A

3 2 13

e I







B

3 2 13

e I







C

3 2 5

e I







D

3 2 5

e I







Lời giải:

*Giải theo tự luận:

Đặt

2

1

3

x

u e



.Khi đó

2

0 0

cos3

x

x





(1)

Tính

2 2

0 cos3

x





Đặt

2

1

3

x

u e



.

2

0 0

sin 3

x

x







(2)

Từ (1) và (2) suyra:



Chọn A

*Giải bằng pp trắc nghiệm: Sử dụng trực tiếp MTCT.

Nhận xét: Bài này có thể giải theo cách khác như sau.Đặt 2

3

x

u sin x

dv e dx









 sau đó làm tương tự

Ví dụ 3: Tính

0 sin

x





A

4

e I







B

2

e I







C

8

e I







D

2 1 8

e I







Lời giải:

*Giải theo tự luận:



Tính tích phân

2 0 cos 2

x





tương tự như ví dụ 2 ta được

2 1

4

2 1

8

x

Chọn C

*Giải theo pp trắc nghiệm: Sử dụng trực tiếp MTCT.

Nhận xét: Tương tự ta có thể giải bài toán tính

2 sin ( )

ax b











hoặc

ax b

e cos mx n dx









 như ví dụ trên

Ví dụ 4: Tính

1 0

x

I e dx

A I e 1 B I 2 C I 2 D I  1 e

Lời giải:

*Giải theo tự luận:

Đặtt x t2  x 2tdt dx Đổi cận:x 0 t 0;x 1 t1

Ta được:

1 0

2 t

I te dt

Đặt

dv e dt v e



1

0

2 t 2 t 2 2 t 2

I  te  e dt e e 

Chọn B

*Giải theo pp trắc nghiệm: Sử dụng trực tiếp MTCT

Ví dụ 5: Tính

2

4 0 sin





A I 1 B I 2 C I   2 D I  2

Lời giải:

*Giải theo tự luận:

Đặtt x t2  x 2tdt dx Đổi cận:

2

x  t x  t

Ta được:

2

0

2 sin





Đặt



2

0



Chọn B

*Giải theo pp trắc nghiệm: Sử dụng trực tiếp MTCT.

Ví dụ 6: Tính

2

4 0 cos





A I 1 B I 2 C I   2 D I   2

Lời giải:

*Giải theo tự luận:

Đặtt x t2  x 2tdt dx Đổi cận:

2

x  t x  t

Ta được:

2

0

2 cos





Đặt



2

0





Chọn C

*Giải theo pp trắc nghiệm: Sử dụng trực tiếp MTCT.

Ví dụ 7: Tính

1

2 0

2 ln( 3)

I x x  dx

A

256

27

B

256

27

C

27

256

D

27

256

Lời giải:

*Giải theo tự luận:

Đặttx2 3 dt2xdx Đổi cận:x 0 t3;x 1 t4

Ta được:

4

3 ln

I  tdt

Đặt

t







   Khi đó:

4

3

256

27

I t t  dt   t  

Chọn A

*Giải theo pp trắc nghiệm: Sử dụng trực tiếp MTCT.

Ví dụ 8: Tính

5

2

ln( )

e e

lnx

x



A

3125

4

B

3125

4

C

3125

4

D

3125

4

Lời giải:

*Giải theo tự luận:

Đặt ln

dx

x

Đổi cận:x e 2 t2;x e 5  t5

Ta được:

5

2 ln

Đặt

t







   Khi đó:

5

2

3125

4

Chọn D

*Giải theo pp trắc nghiệm: Sử dụng trực tiếp MTCT.

Ví dụ 9: Tính 1

cos( )

e

A

2

B

( 1 cos1) 1 2

e sin

C

2

D

2

Lời giải:

*Giải theo tự luận:

Đặt ln

t

dx

x

Đổi cận:x 1 t0;x e  t 1

Ta được:

1

0 cos

t

I e tdt

, đến đây bài toán được giải hoàn toàn tương tự như vi dụ 1 Kết quả

2

Chọn C

*Giải theo pp trắc nghiệm: Sử dụng trực tiếp MTCT.

……….

BÀI TẬP VẬN DỤNG (Có chia mức độ)

*NHẬN BIẾT.

*THÔNG HIỂU.

*VẬN DỤNG.

Câu 1: [2D3-4.8-3] Tích phân 0

cos 2

x





bằng:

A

1 5

e I







B

1 3

e I







C

1 5

e I



 



D

1 3

e I



 



Câu 2: [2D3-4.9-3] Tích phân

1 0

2 x

I  dx

bằng:

A 2

ln 2 ln 2

B 2

ln 2 ln 2

C 2

ln 2 ln 2

D 2

ln 2 ln 2

Câu 3: [2D3-4.9-3] Tích phân

3

1 0

1 x

I x e  dx

 

bằng:

A I 2 (2e e1) B I 2 (2e e1) C I 2 (1 2 )e  e D I 2 (2e e1)

Câu 4: [2D3-4.9-3] Cho tích phân

2

2

0 sin

x





Nếu đổi biến số tcos2xthì tích phân đã cho bằng tích phần nào dưới đây?

A

1

0

2 t(1 )

I  e  t dt

B

1 2

I   e dt te dt

C

I   e dt te dt

D

1 0

1 (1 ) 2

t

I  e  t dt

Câu 5: [2D3-4.8-3] Tích phân

2 0

.cos

x





bằng:

A

2 ( 1) 3

B

2 ( 1) 3

C

2

3

D

3 ( 1) 2

Câu 6: [2D3-4.8-3] Tích phân

1 2 0 ( )

x

I e sin x dx

bằng:

A

2 2

2 (1 )

1 4

e







2 2

2 ( 1)

e







2 2

2 ( 1)

1 4

e







2 2

2 ( 1)

1 4

e









Câu 7: [2D3-4.9-3] Tích phân

2

1 3 0 x

I x e dx



bằng:

A

1 ( 1) 2

B

1 1 2

I

e

 

C

1 1 2

I

e

 

D

1 1 2

I

e

 

Câu 8: [2D3-4.9-3] Tích phân

1 0 ( 1)

I e ln e  dx

bằng:

A I (e1) ln(e1) 2 2 ln  e1 B I (e1) ln(e1) 2 2 ln  e1

C I (e1) ln(e1) 2 2 ln  e1 D I (e1) ln(e1) 2 2 ln  e 3

Câu 9: [2D3-4.9-3] Tích phân

2

4

cos ( )

I x ln sinx dx







bằng:

A

B

C

D

ln 2

Câu 10: [2D3-4.9-3] Tích phân

ln( )

e e

lnx

x



bằng:

A I 2 ln 2 1 B I 2 ln 2 1 C I 2 ln 2 1 D I 2 ln 2 1

Câu 11: [2D3-4.8-3] Cho

cos ;

I e xdx J e sin xdx

và 0

cos 2

x





Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau ?

(I) I J e (II) I J K (III)

1 5

e K







A Chỉ (II) B Chỉ (I) C Chỉ (III) D Cả (II) và (III)

Câu 12: [2D3-4.9-3] Tích phân

1

2 0

(1 )

I xln x dx

bằng:

A

ln 2

B

1

ln 2 2

C

ln 2

D

1

ln 2 2

Câu 13: [2D3-4.9-3] Tích phân

2

1 3 0

x

I x e dx

bằng:

A

1 2

I 

B

1 2

I  e

C

1 2

I  e

D

1 2

I 

Câu 14: [2D3-4.9-3] Tích phân

2 cos

0 sin 2

x





bằng:

A I 2 B I 2e1 C I (e1) D I e  2

Câu 15: [2D3-4.8-3] Tích phân

2 2

0 cos 2

x







bằng:

A 2

1 e I

e







B

1 4

e I

e









C

1 2

e I

e









D

1 4

e I e









*VẬN DỤNG CAO

Câu 16: [2D3-4.9-4] Tích phân

2

2

0 cos





bằng:

A

2

B

2

6 9

I   

C

2

6 9

I  

D I 6





Câu 17: [2D3-4.9-4] Tích phân

2

3

sin

1 cos

x













bằng:

A

4 ln

I    

B

4 ln

I    

C I 2 3 3

 

D

4 ln

I    

Câu 18: [2D3-4.9-4] Tích phân

1

2 0

I x ln x x dx

bằng:

A



C



Câu 19: [2D3-4.9-4] Tích phân

4

01 sin 2

x

x









bằng:

A

1

ln 2 2

I 

B

1

ln 2 2

I 

C

1

ln 2 4

I 

D

1

ln 2 4

I 

Câu 20: [2D3-4.9-4] Tích phân

ln 3

x x

xe

e







bằng:

A

3 2 2 4ln 3 8 4 2 2 ln

3

B

3 2 2

4 ln 3 4 2 2 ln

3

C

3 2 2

4 ln 3 4 2 2 ln

3

D

3 2 2 4ln 3 8 4 2 2 ln

3

Câu 21: [2D3-4.9-4] Tích phân

4

3 0

sin cos

x





bằng:

A

1

4 2

I   

B

1

4 2

I  

C

1

4 2

D

1

Câu 22: [2D3-4.9-4] Tích phân

3

2

0 cos

x

x





bằng:

A

3 1

B

3

ln 2 3

C

3

ln 2 3

D

3 1

Câu 23: [2D3-4.9-4] Tích phân

1 cos 2

0

(1 sin ) ln

1 cos

x

x

x













bằng:

AI 2ln 3 1 B I 2 ln 3 1 C I 2 ln 2 1 D I 2 ln 2 1

Câu 24: [2D3-4.9-4] Tích phân

3

4

sin ( )

I x ln tanx dx







bằng:

A

ln 3 ln

B

ln 3 ln

C

ln 3 ln

D

ln 3 ln

Câu 25: [2D3-4.9-4] Tích phân

ln 2

0 ( )



 

bằng:

A

2 4sin 2 2cos 2 6

16

B

2 4sin 2 2cos 2 2

16

C

2 4sin 2 2cos 2 6

16

D

2 4sin 2 2cos 2 2

16

Câu 26: [2D3-4.9-4] Tích phân 0

cos

x





bằng:

A 2

e I







B 4

e I







C 2

e I







D I e

Câu 27: [2D3-4.9-4] Tích phân

1

2

0(1 )

x xe

x







bằng:

A I 4 B 2 1

e

I  

C 2 2

e

I  

D I 3

Câu 28: [2D3-4.9-4] Tích phân

2

0 sin 2 ln(2 )



bằng:

A

5

4 ln 2

2

B

5

4 ln 2

2

C

19 4ln 2

2

D

13 4ln 2

2

Câu 29: [2D3-4.9-4] Kết quả tích phân

1

2 0

ln(2 )

I x x dx

được viết dưới dạng I a ln 3bln 2c

với$a,b,c$là các số hữu tỷ.Tính a b c 

A a b c  0 B a b c  1 C a b c  3 D a b c  2

Câu 30: [2D3-4.9-4] Tích phân

2

0

I xsin xdx





bằng:

A I 28 B I  8 22 C I  4 22 D I 22 8

*Bảng đáp án:

*Hướng dẫn giải chi tiết CÁC CÂU KHÓ.

Câu 3.

3

1 0

1 x

I x e  dx

 

.Đặtt x 1 dx2tdt.Đổi cận:x 0 t0;x 3 t2 2

0

2 t

I te dt

.Đây là bài toán tính tích phân quen thuộc

Câu 5.

2

Đây là bài toán tính tích phân đã nêu pp giải ở trên

Câu 6 Giải tương tự như câu 5.

Câu 7.

I x e dx x e xdx

.Đặt

2

2

dt

Đổi cận:x 0 t0;x 1 t1

Kh iđó:

0

1

1 2

t



Đây là bài toán tính tích phân quen thuộc

Câu 8.

1

0

( 1)

I e ln e  dx

Đặtt e x1

Câu 9.

2

4

( )

I cosx ln sinx dx







Đặttsinx

Câu 10.

2

( )

e

e

ln lnx

x



Đặttlnx

Câu 12.

1

2 0

(1 )

I xln x dx

Đặtt 1 x2

Câu 14.

Đặttcosx dt sinxdx Đổi cận:

2

Khi đó:

1 0

2 t

I te dt

Đây là bài toán tính tích phân quen thuộc

Câu 16.

2

2

0





Đặt

3

cos sin

3

du dx

u x

x











Khi đó:

0

0

Câu 17.

2

ln 1 cos ln

2

x







Tính

2 2 3

1

2 cos

2

x

x





 

Đặt

2

1

tan

2

u x

du dx

x

v x















2 2

2





Câu 18.

1

2 0

I x ln x x dx

Đặt

2

2

dx du

v













2

2 0

0

x





.Tính

2

0 1

x

x





 Đặt tan , ( 2 2; ) cos2

dt

t

 

Đổi cận:x 0 t 0;x 1 t 4



Khi đó

3

cos

1 tan cos

t





4





Câu 19.

2

2

01 sin 2 0( cos ) 0 2cos ( )

4



Đặt

2

1

tan( )

4

u x

du dx

x















4



Câu 20.

ln 3

x x

xe

e







Đặt

1

x

x x

u x

du dx e

e













 ln3

ln 3

I  x e    e  dx  J

Tính

ln 3 0

1

x

J  e  dx

Đặt 2

t e   t e 

2

2 1

tdt dx

t



 Đổi cận:x 0 t 2;xln 3 t2

2

t

2

2

t t t



Câu 21.

4

3 0

sin cos

x





x



4 4

I







Câu 22.

3

2

0cos

x

x





tan cos

u x

du dx

dv

x

















3

3 3

0

3

3





Câu 23.

1 cos

(1 sin )

1 cos

x

x

x







cos ln(1 sin ) ln(1 sin ) ln(1 cos )

Tính

2

0 ln(1 sin )



.Đặtx 2 t dx dt



Đổi cận:x 0 t 2;x 2 t 0

ln(1 ) ln(1 cost) ln(1 cos )

Do đó

2

0 cos ln(1 sin )



Đặtt  1 sinx dtcosxdx.Đổicận:x 0 t 1;x 2 t 2



2

0 lnt 2 ln 2 1

I  dt 

Câu 24.

3

4

sin ( )

I x ln tanx dx







Đặt

ln( )

sin cos sin

cos

dx







3 3 4 4

cos ln( )

sin

dx

x









2

4





Câu 25.

ln

2

0

( )





Đặtt e x dt e dx x Đổi cận:x 0 t 1;x ln 2 t 2

2

2

Câu 26. 0

cos

x





Đặt

( 1)



sin ( 1) sin





1

2

 

Tính 0

x

J xe sinxdx





Đặt

( 1) cos



cos ( 1)





1 2

Suy ra 2

e I







Câu 27.

1

2

0(1 )

x xe

x







Đặtt x  1 dt dx Đổi cận: x 0 t 1;x 1 t2



Tính

2 1

2 1

t

e

t





Đặt

2

1

dt



2 2 1 1

1 1

1 2

t





Do đó 2 1

e

I  

Câu 28.

sin 2 ln(2 ) 2sin cos ln(2 )

Đặtt 2 sinx dt cosxdx Đổi cận: x 0 t 2;x 2 t 1



2

1

5

2 (2 ) lnt 4 ln 2

2

Câu 29.

1

2 0

ln(2 )

I x x dx

Đặtt 2 x2

Câu 30.

2

0

I xsin xdx





Đặt t x dx2tdt Đổi cận: x 0 t0;x2 t  2

0

2 sint





Đây là bài toán tính tích phân từng phần