10 đề THI TUYỂN SINH vào lớp 10 CHUYÊN TOAN 2020 2021

Gọi K là trung điểm của AH Ta có AFH , AEH là các tam giác vuông nên trung tuyến 1 Hay tứ giác DFKE tứ giác nội tiếp Mà  S là đường tròn ngoại tiếp DEF nên  S đường tròn đi qua t

Trang 1

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2020-2021 MÔN: TOÁN (chuyên Tin)

ĐỀ SỐ 1 Bài 1 (2 điểm)

1) Chứng minh với mọi số nguyên dương n, số A59n17n 9n 22 chia hết cho 35

2) Tìm tất cả các số nguyên x, y thỏa mãn điều kiện x y2 3y4x 1 0

Cho ABC có ba góc nhọn, đường cao AD,BE CF, cùng đi qua điểm H Gọi đường tròn  S

là đường tròn ngoại tiếp DEF

a) Chứng minh  S đường tròn đi qua trung điểm của AH

b) Gọi M N, lần lượt là giao điểm của  S với đoạn thẳng BH CH, Tiếp tuyến tại D của

 HẾT 

ĐỀ CHÍNH THỨC

Trang 2

MÔN TOÁN (chuyên Tin) Năm học: 2020-2021 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1 (2 điểm)

1) Giải phương trình 2 2

(x2) x  1 x 2x1 2) Chứng minh

Trang 3

1) Ta có 59  17(mod 7) và 9  2(mod 7) 59n  17n(mod 7) và 9n  2n(mod 7)

A = (59n – 17n) – (9n – 2n)  0(mod 7) A chia hết cho 7

Lại có 59  9(mod 5) và 17  2(mod 5)  59n  9n(mod 5) và 17n  2n(mod 5)

A = (59n – 9n) – (17n – 2n)  0(mod 5)  A chia hết cho 5

Do (5, 7) = 1 nên ta có A chia hết cho 35

Trang 4

Bài 4 Cho ABC có ba góc nhọn, đường cao AD,BE CF, cùng đi qua điểm H Gọi đường tròn  S

là đường tròn ngoại tiếp DEF

d) Chứng minh  S đường tròn đi qua trung điểm của AH

e) Gọi M N, lần lượt là giao điểm của  S với đoạn thẳng BH CH, Tiếp tuyến tại D của

P

T

N M

Trang 5

a) Chứng minh  S đường tròn đi qua trung điểm của AH

Gọi K là trung điểm của AH

Ta có AFH , AEH là các tam giác vuông nên trung tuyến 1

Hay tứ giác DFKE tứ giác nội tiếp

Mà  S là đường tròn ngoại tiếp DEF nên  S đường tròn đi qua trung điểm của AH b) Gọi M N, lần lượt là giao điểm của  S với đoạn thẳng BH CH, Tiếp tuyến tại D của

mà TDM MED ( cùng chắn DM của đường tròn S )

MEDFCB ( tứ giác CDHE nội tiếp)

Lại có FCBFEB ( tứ giác BCEF nội tiếp)

Từ đó suy ra FEBTHM mà hai góc này ở vị trí đồng vị

Nên HT EF

c) Gọi P là giao điểm của hai đường thẳngBH và DF , Q là giao điểm của CH và DE Chứng minh T P Q, , thẳng hàng

Vì PDF , QDE P Q, nằm bên trong đường tròn S

Gọi X Y, là giao điểm của PQ với  S

Gọi R là đường tròn ngoại tiếp BHC

Trang 6

Lời giải

Ta cho Bình bốc như sau: Sau lượt chọn của An, Bình sẽ chọn tất cả các hộp có số kẹo nhiều hơn 1 và lấy từ mỗi hộp đó 1 viên kẹo Sau 4 lượt bốc, An chỉ có thể làm rỗng tối đa 4 hộp kẹo tức là còn ít nhất 2 hộp chứa kẹo và trong mỗi hộp này chỉ còn 1 viện kẹo Trong lượt tiếp theo An chỉ được chọn 1 hộp, khi đó Bình sẽ chọn tất cả các hộp còn lại là có thể thắng cuộc

 HẾT 

Trang 7

SỞ GD VÀ ĐT TỈNH TIỀN GIANG

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2020-2021 MÔN: TOÁN CHUYÊN

ĐỀ SỐ 2 Bài 1 (3,0 điểm)

a) Tính giá trị biểu thức A2a33a23a1 với

b) Đường thẳng  d song song với  d và đi qua điểm có tọa độ  0;3 Đưởng thẳng  d và

 d cắt trục hoành lần lượt tại A B, và cắt trục tung lần lượt tại C D, Tính diện

tích tứ giác ABDC

Bài 4 (2,0 điểm)

Trên đường tròn đường kính AD lấy hai điểm B và C khác phía đối với AD sao cho

60

BAC  Từ B kẻ BE vuông góc với AC EAC

a Chứng minh rằng hai tam giác ABD và BEC đồng dạng

b Biết EC3cm Tính độ dài dây BD

Bài 5 (1,0 điểm) Trên mỗi đỉnh của một đa giác có 12 cạnh người ta ghi một số, mỗi số trên một đỉnh

là tổng của hai số ở hai đỉnh liền kề Biết hai số ở hai đỉnh là A5 và A9 là 10 và 9 Tìm số ở đỉnh A1 ( hình vẽ)

 HẾT 

A1 A2 A3 A4 A5 A6

A7 A8 A9

A10

A12 A11

Trang 8

MÔN TOÁN CHUYÊN Năm học: 2020-2021 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

a) Tính giá trị biểu thức A2a33a23a1 với

Trang 9

Vậy nghiệm của hệ là 1; 22 ,   3; 6 3 2

Bài 3 Cho hàm số y 3 1 x1 có đồ thị là đường thẳng  d

a) Vẽ đồ thị hàm số  d trên mặt phẳng tọa độ

b) Đường thẳng  d song song với  d và đi qua điểm có tọa độ  0;3 Đưởng thẳng  d và

 d cắt trục hoành lần lượt tại ,A B và cắt trục tung lần lượt tại , C D Tính diện

b) Đường thẳng  d song song với  d nên có phương trình y 3 1 x b b1

Vì  d đi qua điểm có tọa độ  0;3 nên 3 3 1 0    b b 3

Vậy  d có phương trình y 3 1 x3

Trang 10

BAC  Từ B kẻ BE vuông góc với AC EAC

a Chứng minh rằng hai tam giác ABD và BEC đồng dạng

b Biết EC3cm Tính độ dài dây BD

B

Trang 11

DFBE Xét tứ giác DFEC có: DFECEF 90 , ECDACD 90

Suy ra DFEC là hình chữ nhật nên DFCE3cm

Ta lại có DBFBAE 60 ( cùng phụ với ABE )

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông vào tam giác vuông BFD vuông tại

Bài 5 Trên mỗi đỉnh của một đa giác có 12 cạnh người ta ghi một số, mỗi số trên một đỉnh là tổng của

hai số ở hai đỉnh liền kề Biết hai số ở hai đỉnh là A5 và A9 là 10 và 9 Tìm số ở đỉnh A1 ( hình vẽ )

Trang 13

Bài 3 Tìm tất cả các số nguyên tố p và q sao cho p23pqq2 là số chính phương

Bài 4 1) Cho tam giác ABC cân tại A (với BAC600 ) nội tiếp đường tròn ( )O Gọi M là điểm

bất kì trên cung nhỏ BC Chứng minh rằng MAMBMC

2) Cho tam giác ABC nhọn (AB AC) nội tiếp trong đường tròn tâm O Gọi D là trung điểm cạnh BC và E F, tương ứng là hình chiếu vuông góc của D lên AC và AB Đường thẳng EF cắt các đường thẳng AO và BC theo thứ tự tại M N,

a) Chứng minh tứ giác AMDN nội tiếp

b) Gọi K là giao điểm của AB và ED , L là giao điểm của AC FD, , H là trung điểm của

KL và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF Chứng minh HI EF

Bài 5 Cho x , y là hai số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức   2 2

Trang 14

MÔN TOÁN CHUYÊN Năm học: 2020-2021 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1

1) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức 3 4 7 1 3

x x

Trang 16

TOÁN TIỂU HỌC-THCS-THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: 16

+) Thay x y 0 vào phương trình  1 ta được  3 2 0 (vô lí)

ậy hệ phương trình đã cho có nghiệm    x y;  1;1

Bài 3 Tìm tất cả các số nguyên tố p và q sao cho p23pqq2 là số chính phương

Trang 17

Bài 4 1) Cho tam giác ABC cân tại A (với BAC600 ) nội tiếp đường tròn ( )O Gọi M là điểm

bất kì trên cung nhỏ BC Chứng minh rằng MAMBMC

2) Cho tam giác ABC nhọn (AB AC) nội tiếp trong đường tròn tâm O Gọi D là trung điểm cạnh BC và E F, tương ứng là hình chiếu vuông góc của D lên AC và AB Đường thẳng EF cắt các đường thẳng AO và BC theo thứ tự tại M N,

b) Gọi K là giao điểm của AB và ED , L là giao điểm của AC FD, , H là trung điểm của

KL và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF Chứng minh HI EF

O

M

D

C B

A

Trang 18

Thật vậy : Lấy điểm D trên cạnh AMsao cho MDMB', lại có B MA' 600 (góc nội tiếp chắn cung AB')

Kẻ OI  AC t OACcân tại O(do OAOC) có OIlà đường cao nên đồng thời là đường

A

B

C

Trang 19

12

ABD sd AC (góc nội tiếp chắn AC )

Xét AIOvà DFBcó:

090

AIODFB (do OI AC DF,  AB)

12

AOI  ABD sd AC(cmt)

AIO DFB

  ∽ (g.g) IAOFDN(hai góc tương ứng)  1

Xét tứ giác AEDF có AEDAFD900(do DE AC DF, AB), mà hai góc AED AFD ở ,

vị trí đối nhau nên AEDF là tứ giác nội tiếp

Suy ra AEN  ADF (góc nội tiếp cùng chắn AF ) 2

Ta lại có: AMN MAEAEM(góc ngoài tam giác) và ADN ADFFDN  3

Từ      1 , 2 , 3 suy ra AMN ADN

Suy ra tứ giác AMDNlà tứ giác nội tiếp

O

D

Trang 20

x y xy

Trang 21

Bài 2 a) Cho p và p2 là các hai số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh rằng p1 6

b) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho 2p1 là lập phương của một số nguyên dương

Bài 3 Cho các số thực x y z, , 1 thỏa mãn 1 1 1 2

x  y z Chứng minh rằng

x  y z x  y  z

Bài 4 Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD BE CF cắt nhau tại H Cho K là một điểm tùy , ,

ý trên cạnh BC (K khác B C, ) Kẻ đường kính KM của đường tròn ngoại tiếp tam giác BFK

và đường kính KN của đường tròn ngoại tiếp tam giác CEK Chứng minh M H N thẳng , ,hàng

Bài 5 Cho 20 điểm phân biệt trong mặt phẳng Chứng minh rằng tồn tại đường tròn chứa đúng 12

điểm đã cho bên trong và có đúng 8 điểm đã cho bên ngoài

 HẾT 

Trang 22

ĐÁP ÁN ĐỀ KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TỈNH BÌNH THUẬN

MÔN TOÁN CHUYÊN Năm học: 2020-2021 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1 (2 điểm )

Trang 23

Bài 2 ( 2 điểm)

a) Cho p và p2 là các số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh rằng p1 6

Lời giải

a) Số nguyên tố p lớn hơn 3 sẽ có dạng 3k1 hay 3k2 (kN)

Nếu p3k1 thì p 2 3k  1 2 3(k 1) chia hết cho 3 (là hợp số) nên dạng p3k1không thể có

Vì p1 chia hết cho cả 2 và 3 mà ƯCLN(2,3)=1 nên p1 chia hết cho 6

Trang 24

Bài 3 Cho các số thực x y z, , 1 thỏa mãn 1 1 1 2

Bài 4 Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD BE CF, , cắt nhau tại H Cho K là một điểm tùy

ý trên cạnh BC (K khác B C, ) Kẻ đường kính KM của đường tròn ngoại tiếp tam giác BFK

và đường kính KN của đường tròn ngoại tiếp tam giác CEK Chứng minh M H N, , thẳng hàng

Lời giải

Gọi I là giao điểm thứ hai của đường tròn đường kính NK và đường thẳng AK

Ta có AE AC AI AK Mà AE AC  AF AB AF AB AI AK suy ra tứ giác KIFB nội

tiếp Do đó I nằm trên đường tròn đường kính MK

Ta có AF AB  AH AD AH AD AI AK do đó tứ giác HIKD nội tiếp suy ra HIK 90

Vì MIK 90 suy ra M H I thẳng hàng , ,

Trang 25

Và MIKNIK90 90 180 suy ra M I N, , thẳng hàng

Vậy M H N, , thẳng hàng

Bài 5 Cho 20 điểm phân biệt trong mặt phẳng Chứng minh rằng tồn tại đường tròn chứa đúng 12

điểm đã cho bên trong và có đúng 8 điểm đã cho bên ngoài

Giả sử khoảng cách từ điểm M đến 20 điểm đã cho lần lượt là d1d2 d3   d20 Xét đường tròn tâm M bán kính d , đường tròn này chứa đúng 12 điểm có khoảng cách gần 12 M

nhất Từ đó ta có điều cần chứng minh

 HẾT 

Trang 26

y m x m nghịch biến trên R và đồ thị của nó

đi qua điểm M 2;1

Câu 2 a) Cho phương trình 2  

x  m x m  (với m là tham số ) có hai nghiệm phân biệt

1, 2

x x Tìm giá trị của tham số m để x12x22 3

b) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

Bài 4 Cho đường tròn O R , ;  BC là một dây cố định của O R không qua ;  O Gọi A là điểm di

động trên cung lớn BC sao cho ABAC và tam giác ABC nhọn Các đường cao BD và CE cắt nhau tại H Gọi T là giao điểm của DE với BC

a) Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn

b) Chứng minh TB2 TD TE TB BC 

c) Cho BCR 3 Tìm giá trị lớn nhất của chu vi tam giác ADH theo R

Câu 5 Cho các số dương x y z, , thỏa mãn 1 1 1 2020

Trang 27

ĐÁP ÁN ĐỀ KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TỈNH GIA LAI

MÔN TOÁN CHUYÊN Năm học: 2020-2021 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1 (2,0 điểm)

y m x m nghịch biến trên R và đồ thị của nó

đi qua điểm M 2;1

Trang 28

 

13

x x Tìm giá trị của tham số m để x12x22 3

b) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

Trang 29

Đặt

2 2

Trang 30

x x x

x x

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm  x y là ;  2; 2 và   2; 2

Câu 4 Cho đường tròn O R , ;  BC là một dây cố định của O R không qua ;  O Gọi A là điểm di

động trên cung lớn BC sao cho ABAC và tam giác ABCnhọn Các đường cao BD và CE cắt nhau tại H Gọi T là giao điểm của DE với BC

a) Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn

Trang 31

Xét tứ giác BCDE có BDCBEC  90

suy ra tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn (tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới hai góc bằng nhau)

b) Vì tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn

suy ra BDEBCE (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BE)

c) Kí hiệu chu vi tam giác ADH là P ADH

Xét tam giác ADHvuông tại D có AH2AD2DH2 (định lí Pi - ta - go)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương AD và DH ta được

O A

Trang 32

Kẻ đường kính AK của đường tròn  O

Xét  O có ACKABK  90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )

Suy ra CK AC và BK AB

Ta có CK// BH (cùng vuông góc với AC) và BK// CH (cùng vuông góc với AB)

Suy ra tứ giác BHCK là hình bình hành

Suy ra hai đường chéo BC và HK cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Mà M là trung điểm của BC suy ra M cũng là trung điểm của HK

Xét tam giác AHK có O là trung điểm của AK

M là trung điểm của HK

Suy ra OM là đường trung bình của tam giác AHK

Xét tam giác BOC có OM là đường cao

OM là đường trung tuyến

R



2

R OM

Vậy maxP ADH  2 1 R  khi A thuộc cung lớn BC sao cho AOB 90

Câu 5 Cho các số dương , ,x y z thỏa mãn 1 1 1 2020

Trang 33

Áp dựng bất đẳng thức  2 2 2  2

3 a b c  a b c  Dấu " " xảy ra   a b c ta có:

Trang 34



1) Cho phương trình 4 2

x  mx  m  Tìm giá trị của m để phương trình có bốn nghiệm

phân biệt x ,1 x ,2 x ,3 x sao cho 4 x1x2 x3 x4 và x42x32x2 x1 0

Cho tam giác nhọn ABC (AB AC) nội tiếp đường tròn ( )O , có đường cao AH Gọi I là

tâm đường tròn nội tiếp ABC Đường thẳng AI cắt ( )O tại điểm thứ hai M Gọi A' là điểm

đối xứng với A qua O Đường thẳng MA cắt các đường thẳng AH , ' BC theo thứ tự tại N và

K Gọi L là giao điểm của MA và BC Đường thẳng A I' cắt ( )O tại điểm thứ hai D Hai đường thẳng AD và BC cắt nhau tại S

1) Chứng minh ANA' là tam giác cân và MA MK' ML MA

2) Chứng minh MI2 ML MA và tứ giác NHIK nội tiếp

3) Gọi T là trung điểm của SA Chứng minh ba điểm T , I , K thẳng hàng

4) Chứng minh nếu ABAC2BC thì I là trọng tâm của AKS

Câu 4 (1 điểm)

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương x y thỏa mãn ;  2xy24y61 0.

Cho a , b , c là các số thực dương thỏa mãn abc8 Chứng minh:

2 2 21

Trang 35

ĐÁP ÁN ĐỀ KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TỈNH HÀ NAM

MÔN TOÁN CHUYÊN Năm học: 2020-2021 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

x P



181

Trang 36

x  mx  m  Tìm giá trị của m để phương trình có bốn nghiệm

phân biệt x ,1 x ,2 x ,3 x sao cho 4 x1x2 x3 x4 và x42x32x2 x1 0

Trang 37

  (với t và 1 t2 là nghiệm của phương trình (**))

Đến đây thay vào (*) ta được:

2 2 2

m

m m t

m m m t

   (thỏa mãn) hoặc y10 3 10 (loại)

Nếu x y22 thay vào phương trình (2) được y2  y 5 3 2y1 (3)

Trang 38

2y 1 5 2 5 2 y 1 3 2y 1

Do đó phương trình (3) vô nghiệm

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x y;   4;10 3 10 

Câu 3 (4 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC (AB AC) nội tiếp đường tròn ( )O , có đường cao AH Gọi I là

tâm đường tròn nội tiếp ABC Đường thẳng AI cắt ( )O tại điểm thứ hai M Gọi A' là điểm đối xứng với A qua O Đường thẳng MA' cắt các đường thẳng AH, BC theo thứ tự tại N và

K Gọi L là giao điểm của MA và BC Đường thẳng A I' cắt ( )O tại điểm thứ hai D Hai đường thẳng AD và BC cắt nhau tại S

1)Chứng minh ANA' là tam giác cân và MA MK' ML MA

2) Chứng minh MI2 ML MA và tứ giác NHIK nội tiếp

3) Gọi T là trung điểm của SA Chứng minh ba điểm T, I , K thẳng hàng

4) Chứng minh nếu ABAC2BC thì I là trọng tâm của AKS

Lời giải

Trang 39

1 Ta có : AMA  90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) AM NA AM là đường cao của ANA'

BAM CAM ( I là tâm đường tròn nội tiếp ABC)

AA M  s AM

 ALS AA M’ hay ALH AA M

Có: ALHLAH  90 (AHL vuông tại H )

90

AA M A AM   (AMA vuông tại M )

LAH A AM

  hay MAN  A AM AM là đường phân giác của ANA

Xét ANA có AM vừa là đường cao, vừa là đường phân giác nên ANAcân tại A

MB ML MA

Lại có: MBI MBLLBI

MIBMABABI (góc ngoài của ABI)

Mà: MBLMAB , LBI ABI ( I là tâm đường tròn nội tiếp ABC)

MBI MIB

Trang 40

Vậy tứ giác NHIK nội tiếp

3 Ta có: tứ giác NHIK nội tiếp (chứng minh trên)

IHK INK

  (cùng chắn IK )  3

Mà ANA cân tại A nên đường cao AM đồng thời là đường trung trực của cạnh NA

Có IAM INIA  INA cân tại I INAIA N INKDA M  4

DA M DAM (cùng chắn DM ) DA M SAI  5

Từ  3 ,  4 và  5 suy ra IHK SAI

Suy ra: Tứ giác SAIH nội tiếp  SIASHA 90

Định dạng
Số trang	82
Dung lượng	2,66 MB