Giữa kì 1 toán 9 ngôi sao 2021

c Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d đạt giá trị lớn nhất.. Cho MNP nhọn, đường cao ND PE cắt nhau tại , H.. b Chứng minh HD HN... b Chứng minh HD HN... Vậy, không tồ

ĐỀ BÀI

:

P

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tính giá trị của của biểu thức P khi 16

9

x 

2

P 

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q 2 x x 1

P

Bài 2 (2,5 điểm) Cho đường thẳng ( )d :y (m3)x 1 Tìm m sao cho:

a) Hàm số y (m3)x 1 nghịch biến trên R và vẽ đồ thị của hàm số đó khi m  0

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đồ thi hàm số y (m3)x 1 luôn đi qua một điểm

cố định

c) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng ( )d đạt giá trị lớn nhất

Bài 3 (3,5 điểm) Cho MNP nhọn, đường cao ND PE cắt nhau tại , H

a) Chứng minh rằng: 4 điểm ,N E D P cùng nằm trên một đường tròn và 4 điểm , , ,, , M D H E

cũng nằm trên một đường tròn

b) Chứng minh HD HN HE HP

c) Gọi O là tâm đường tròn đi qua 4 điểm M D H E Chứng minh , , , IE là tiếp tuyến của ( )O

biết I là tâm đường tròn đi qua 4 điểm ,N E D P , ,

d) Cho bán kính đường tròn đi qua 4 điểm ,N E D P bằng , , R Chứng minhtanNMP  2

biết

MH R

Bài 4 (0,5 điểm) Cho a b c, , là các số thực không âm thỏa mãn: a b c  1 Chứng minh rằng:

- HẾT -

- Chúc các con làm bài tốt! -

Họ tên thí sinh: … Số báo danh:

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KỲ I – LỚP 9

THCS NGÔI SAO T10 - 2020

I H

D E

P N

M

M

E

D

H I O

Bài 1 (3,5 điểm)

3

x

P

x



6

P  c) 1 0 16

2

x P





d) Không tồn tại GTNN.

Bài 2 (2,5 điểm)

a) Với m 3 thì hàm số đã cho nghịch biến trên R

b) Với mọi giá trị m, đồ thị của hàm số y m3x 1 luôn đi qua một điểm cố định M 0;1

c) kc O d( ; ) đạt GTLN bằng 1 khi m  3

Bài 3 (3,5 điểm)

a) PEN vuông ở E và PDN vuông ở D

Nên , , ,N E D P cùng nằm trên đường tròn đường kinh PN

MDH

 vuông ở D và MEH vuông ở E

Nên M D H E cùng nằm trên đường tròn đường kính , , , MH

b) Chứng minh HD HN HE HP

Ta có: PHD NHE (g-g) PHD NHE

HN  HE HP HE. HD HN. (đpcm)

c) Ta có H là trực tâm của MNPnên

90

AH NP ONE HME 

Chứng minh NEO ENO và IEM HME

Khi đó, IEO 1800 (NEO MEI  ) 90 0 EO EI

Vậy, IE là tiếp tuyến của ( )O

d) Ta có: PEN MEH g g(  ) EP NP 2R 2

Trong MEP vuông tại E có: tan EP 2

NMP

EM

  (đ.p.c m)

1

a b c

a b c







Khi đó, 3a1a 2a 1a2 2a 1 3a1a 1 Tương tự : 3 1 1

Cộng vế với vế: M  3a 1 3b1 3c1 a   1 b 1 c 1 M  4

Dấu “=” xảy ra khi a 1;b 0;c  0 và các hoán vị của nó

XEM CHI TIẾT ĐÁP ÁN TẠI https://qrgo.page.link/ENyFi

ĐÁP SỐ - GỢI Ý

ĐỀ THI GIỮA KỲ I, LỚP 9, THCS NGÔI SAO T10 - 2020

Bài 1 (3,5 điểm) Cho biểu thức 1 1 1 2

:

P

9

x 

2

P  d) Tìm GTNN của biểu thức Q 2 x x 1

P

HƯỚNG DẪN

a) ĐKXĐ: x  0,x 1,x 4 Ta có:

2 :

P



2

P



3

x

P

x



 với x 0,x 1,x  4

9

3

x  Ta có:

4

3

3

x P

x



P

Vì x  nên 0 x  0 (*) trở thành: 4( x 1) 3 x  x 4 x 16

Kết hợp với điều kiện x 0,x 1,x  4 ta có: 0 16

x







3

với x 1

(**)

Khi đó:

2 3

t

t

Áp dụng B.Đ.T Cosi cho t 0, ta có: 1 1 1

3

Q

Dấu bằng xảy ra khi : 1

1

t

    , không thỏa mãn điều kiện (**)

Vậy, không tồn tại giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q đề bài cho

ĐÁP ÁN CHI TIẾT

ĐỀ THI GIỮA KỲ I, LỚP 9, THCS NGÔI SAO T10 - 2020

2

2

A

O

H

N

M

O

Bài 2 (2,5 điểm) Cho đường thẳng ( )d :y (m3)x 1 Tìm m sao cho:

a) Hàm số y (m3)x 1 nghịch biến trên R và vẽ đồ thị của hàm số đó khi m  0

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đồ thi hàm số y (m3)x 1 luôn đi qua một điểm cố định

c) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng ( )d đạt giá trị lớn nhất

HƯỚNG DẪN

a) Điều kiện để hàm số y m3x 1là hàm số bậc nhất là m3 0 m 3

Khi đó, để hàm số bậc nhất y m3x 1nghịch biến trên R thì m30 m 3 (tmdk)

Vậy với m 3 thì hàm số đã cho nghịch biến trên R

* Với m  hàm số đã cho trở thành: 0 y  3x 1

- Cho x  0y 1A 0;1 Oy

y  x  B Ox

Đồ thị của hàm số là đường thẳng AB (như hình vẽ bên)

b) Giả sử đường thẳng ( ) :d y m3x 1 luôn đi qua điểm cố định M x y với mọi  0; 0 m  R

Do M x y 0; 0( )d nên y0 m3x o 1x m0 3x0 y0 10 (*)

0;1

M

Vậy: với mọi giá trị m, đồ thị của hàm số y m3x 1 luôn đi qua một điểm cố định M 0;1 c) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng ( )d đạt giá trị lớn nhất

Cách 1: Hình học (dựa trên quan hệ cạnh huyền và cạnh góc vuông)

Từ câu b, ta luôn có đường thẳng (d) qua điểm M(0;1)

Kẻ OH ( )d tại H thì kc O d( ; )OH

Trong OHM vuông tại H, ta có:

OM là cạnh huyền, OH là cạnh góc vuông nên OH OM

Biết M Oy OM  y M y0  1 0 1const

Nên kc O d( ; )OH 1

Đẳng thức xảy ra khi H M Khi đó, OM ( )d ( )d Ox

Do đó: m3 0m 3

Vậy: kc O d( ; ) đạt GTLN bằng 1 khi m  3

Cách 2: Đại số dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông

Theo câu b) ta luôn có đường thẳng (d) luôn qua điểm cố định M(0;1) thuộc trục Oy

TH1: m  3: Giả sử (d) cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại N và M Kẻ OH MN OH kc O d( ; )

E

D

H

I O





OM



- Áp dụng hệ thức lượng trong OMN vuông tại O với OH là đường cao, ta có:

2

2

1 1

m

m



do m32 0 m OH 1

Đẳng thức xảy ra khi m 3 Loại do điều kiện m  3

TH2: m  3: Đường thẳng (d) có đồ thị hàm số là: y 1

Đây là đồ thị dạng hàm hằng số, luôn đi qua điểm cố định M(0;1) và song song với trục Ox

Vậy: kc O d( ; )OM 1

Kết luận: m  3 thì kc O d( ; ) đạt GTLN bằng 1

Bài 3 (3,5 điểm) Cho MNP nhọn, đường cao ND PE cắt nhau tại , H

a) Chứng minh rằng: 4 điểm ,N E D P cùng nằm trên một đường tròn và 4 điểm , , ,, , M D H E

cũng nằm trên một đường tròn

b) Chứng minh HD HN HE HP

c) Gọi O là tâm đường tròn đi qua 4 điểm M D H E Chứng minh , , , IE là tiếp tuyến của ( )O biết

I là tâm đường tròn đi qua 4 điểm ,N E D P , ,

d) Cho bán kính đường tròn đi qua 4 điểm ,N E D P bằng , , R Chứng minhtanNMP  2 biết

MH R

HƯỚNG DẪN

a) Chứng minh rằng: 4 điểm , , ,N E D P cùng nằm trên một đường tròn và 4 điểm , , , M D H E cũng

nằm trên một đường tròn

PEN

 có E 90 P E N, , cùng thuộc đường tròn

đường kính PN

PDN

 có D  90 P D N, , cùng thuộc đường

tròn đường kính PN

Suy ra: 4 điểm , , ,N E D P cùng nằm trên đường tròn

đường kính PN

MDH

 có D 90 M D H, ,

tròn đường kính MH

MEH

 có E 90 M E H, ,

I H

D E

P N

M

tròn đường kính MH

Suy ra: 4 điểm M D H E cùng nằm trên một đường tròn đường kính , , , MH

b) Ta có: PHD NHE (g-g) vì D E 90

   và PHD NHE

HN  HE (2 cạnh tương ứng tỉ lệ) HP HE. HD HN. (đpcm)

c) Chứng minh IE là tiếp tuyến của ( )O

Ý tưởng: Để chứng minh IE là tiếp tuyến của (O) ta cần chứng minh IE vuông góc với bán kính EO

Muốn vậy, ta chứng minh IEO 1800 (NEO MEI  ) 90 0

Ta có H là trực tâm của MNP

Nên MH NP ONE HME 900 (1)

Ta có : OE, EI lần lượt là đường trung tuyến ứng với

cạnh huyền trong các tam giác vuông NEP và MEH

Nên OE ON (tính chất  vuông)  OEN cân tại O

NEO ENO

  (tính chất  cân) (2)

Nên IE IM (tính chất  vuông)  IEM cân tại I

IEM HME

  (tính chất  cân) (3)

Từ (1), (2), (3) ta có :

Mà EO là bán kính của đường tròn (O) (gt)

Do đó: IE là tiếp tuyến của ( )O (d.h.n.b tiếp tuyến)

d) Chứng minh tanNMP  2

Trong MEP vuông tại E có: tanNMP EP

EM

Ta có: PEN MEH g g(  ) vì

0 0

90 90







2 2

Từ (4) và (5) ta suy ra điều phải chứng minh: tanNMP  2

Bài 4 (0,5 điểm) Cho , ,a b c là các số thực không âm thỏa mãn a b c  1 Chứng minh rằng:

HƯỚNG DẪN

1

a b c

a b c







Tương tự b b c2; c2

Khi đó, 3a1a 2a 1a2 2a  1 3a1 ( a 1)2  3a 1 a 1

Tương tự, ta cũng chứng minh được: 3b1 b1; 3c 1c 1

Cộng vế với vế: M  3a 1 3b1 3c1 a   1 b 1 c1

Do a b c  1M  4 Dấu “=” xảy ra khi a 1;b 0;c  0 và các hoán vị của nó

Vậy M 4