Chứng minh rằng số m cũng là một bội số của 121.. Bạn An thực hiện trò chơi như sau: Mỗi lần xoá hai số a, b bất kỳ trên bảng a > b và thay vào đó là số có dạng ba.. Bạn An thực hiện liê
Trang 1TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG KỲ I ( 2018 – 2019)
Tổ Toán – Tin học Thời gian làm bài : 90 phút
Bài 1 (3 điểm)
1) Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) 27 864 173
9 32
A
72 54 :8 )
108 : 4
b B
2) Chứng minh rằng số A chia hết cho 3, với
A
Bài 2 (2 điểm) Tìm số tự nhiên x thỏa mãn:
1) 2.3x 3 34 20.27 12 4
2) 2x1 3 2 1 2 10
Bài 3 (2,5 điểm)
1) Tìm hai số tự nhiên a và b biết rằng a + b = 810 và ước chung lớn nhất của chúng bằng 45
2) Tìm hai số nguyên tố p và q biết rằng p > q sao cho p + q và p – q đều là các số nguyên tố
Bài 4 (2 điểm)
1) Cho hai số tự nhiên a và b thỏa mãn số
16 17 17 16
là một bội số của 11 Chứng minh rằng số m cũng là một bội số của 121
2) Tìm tổng tất cả các số tự nhiên có hai chữ số không chia hết cho 3 và 5
Bài 5 (0.5 điểm)
Trên bảng ghi các số tự nhiên từ 1 đến 100 Bạn An thực hiện trò chơi như sau: Mỗi lần xoá hai số a, b bất kỳ trên bảng (a > b) và thay vào đó là số có dạng ba Bạn An thực hiện liên tiếp như vậy đến khi trên bảng còn lại một số Hỏi số đó là số nào? Vì sao?
Chú ý: Học sinh không được sử dụng máy tính khi làm bài
HẾT
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2TRƯỜNG THPT CHUYÊN HDC KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG KỲ I ( 2018 – 2019)
Tổ Toán – Tin học
Bài 1 (3 điểm)
4 17
4 17
12 51
12 15
51 15 26
27 8 a)
2 2
A
0.25
0.25 0.25
0.25
3 3 3 3
3 3 3
3 3
3
2 2
9 8 54 :8
72 54 :8 b)
9 2
9 3
0.25 0.5
0.25
2 Chứng minh rằng A 21 222100 3 1đ
Suy ra A 3
0.25 0.25
0.25 0.25 Bài 2 (2 điểm)
Để ý rằng RHS 31234 20 3 12 54 3 12 2 3 33 12 2 315 0.5
Từ đó thu được phương trình 2 3 x 2 3153x 315 x 15 0.5
2 Tìm x thỏa mãn 2 2 2
Viết lại phương trình đã cho về dạng
2x 1 2 10 3 2 hay 1 2
Từ đó thu được 2x 1 5 2x 4 2x 22 x 2 0.5 Bài 3 (2.5 điểm)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 3Ý Nội dung trình bày Điểm
1 Tìm hai số tự nhiên a và b biết a b 810 và gcd ; a b 45 1
Vì gcd ; a b 45, nên đặt a45 ,m b45n với gcdm n; 1 0.25 Khi đó, do a b 810, nên 45m n 810 hay m n 18 0.25
Từ đó, do gcdm n; ta có bảng sau 1,
m 1 5 7 11 13 17
n 17 13 11 7 5 1
0.25
Suy ra
a b; 45;765 , 225;585 , 315;495 , 495;315 , 585;225 , 765;45 0.25
2 Tìm hai số nguyên tố p và q, biết rằng p q sao cho p q p q , đều là
Vì p q là số nguyên tố nên p và q là các số khác tính chẵn lẻ Vậy
2
Từ giả thiết, p2, ,p p là ba số nguyên tố liên tiếp, do đó chúng có 2
Từ đó, có ba trường hợp sau xảy ra
TH1 Nếu p thì 2 3 p và 5 p , thoả mãn 2 7
TH2 Nếu p thì 3 p không phải là số nguyên tố, loại 2 1
TH3 Nếu p thì 2 3 p không phải là số nguyên tố, loại 1
0.5
Bài 4 (2 điểm)
1 Cho hai số tự nhiên ,a b sao cho số m16a17b17a16b là một
bội số của 11 Chứng minh rằng m cũng là một bội số của 121 1
Vì 11 là số nguyên tố nên suy ra 16a + 17b chia hết cho 11 hoặc 17a + 16b chia hết
TH1: Nếu 16a17 11b thì 16(a b ) 33 11a thì a b 11 (vì 16 không
chia hết 11)
Khi đó 16b17a17(a b ) 33 11b và 17b16a33b16(a b ) 11
Suy ra (16a17 )(17b a16 ) 11b
0.5
TH2: 17a16 11b Lập luận tương tự như trên, được đpcm 0.25
2 Tìm tổng của tất cả các số tự nhiên coa hai chữ số mà không chia hết
Gọi tổng phải tìm là S, tổng các số có hai chữ số là S1, tổng các số có
hai chữ số chia hết cho 3 là S2, tổng các số có hai chữ số chia hết cho
5 là S3, tổng các số có hai chữ số chia hết cho 15 là S4
0.25
Trang 41 2
10 99 45 4905, 12 99 30 1665
10 95 18 945, 15 90 6 315
Suy ra S S 1 S2 S3 S4 4905 1665 945 315 2610. 0.25 Bài 5 (0.5 điểm)
Trên bảng ghi các số tự nhiên từ 1 đến 100, bạn An thực hiện trò chơi như
sau: mỗi lần xoá hai số a, b bất kỳ trên bảng (a b ) và thay vào đó là số có
dạng b Bạn An thực hiện liên tiếp như vậy đến khi trên bảng còn lại một số a
Hỏi số đó là số nào? Vì sao?
0.5
Xét cặp (1; )b với b bất kỳ, khi đó số còn lại trên bản là 1b 1 0.25 Vậy nếu kết hợp 2 số trong đó có số 1 thì số được viết lại trên bảng là số 1
Vậy số cuối cùng còn lại trên bảng là số 1
0.25
