Hướng dẫn giải các bài toán về cấp số nhân lớp 11 | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng theo cách: Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt trên của tầng 1 bằng nửa d[r]

CHƯƠNG III: DÃY SỐ BÀI 4: CẤP SỐ NHÂN

I – LÝ THUYẾT

1 – Định nghĩa

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai,

mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

Nếu  u là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi: n

1

u  u q với n * .Đặc biệt:

 Khi q cấp số nhân có dạng 0, u , , , , , 1 0 0 0

 Khi q cấp số nhân có dạng 1, u , u , u , , u , 1 1 1 1

 Khi u  thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0 0 01 0 , , , , , 0

2 – Số hạng tổng quát

Định lí 1 Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u và công bội q thì số hạng tổng quát 1 u n

được xác định bởi công thức

1 1

n n

u u q 

 với n2.

3 – Tính chất

Định lí 2 Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và

cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

2

1 1

u u u  với k 2.

4 – Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân

Định lí 3 Cho cấp số nhân  u với công bội 1 n q Đặt S n u1u2 u  n

Khi đó

1 11

n n

+ Chứng minh   n 1, u n 1  u q n trong đó q là một số không đổi

+ Nếu u n  0 với mọi n N *  thì ta lập tỉ số

n 1 n

u T u





 T là hằng số thì u n là cấp số nhân có công bội q  T

 T phụ thuộc vào n thì u n không là cấp số nhân

+ Để chứng minh dãy u n không phải là cấp số nhân, ta chỉ cần chỉ ra ba số hạng liên

tiếp không tạo thành cấp số nhân, chẳng hạn

A Dãy số đã cho là CSN với công bội q  2

B Dãy số đã cho là CSN với công bội q  0

n n n

v

, n v

n n

2 1

4

164

n

* n

n n

u

, n u

Dãy số v n xác định bởi v n  u n  3, n 1   Khẳng định nào dưới đây đúng?

A Dãy v n là cấp số cộng với công sai d  3

B Dãy v n là cấp số nhân với công bội q  4

C Dãy v n

là cấp số cộng với công sai d  4

D Dãy v n là cấp số nhân với công bội q= 9

b) Bài tập vận dụng

Câu 1 Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số nhân?

Câu 3 Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?

Câu 4 Dãy số u n  3 3n là một cấp số nhân với:

A Công bội là 3 và số hạng đầu tiên là 1.

B Công bội là 2 và số hạng đầu tiên là 1.

C Công bội là 4 và số hạng đầu tiên là 2.

D Công bội là 2 và số hạng đầu tiên là 2.

Câu 5 Cho dãy số  u với n 32 5

n n

u  .

Khẳng định nào sau đây đúng?

A  u không phải là cấp số nhân n

B  u là cấp số nhân có công bội n q  và số hạng đầu 5 1

32

u  .

C  u là cấp số nhân có công bội n q  và số hạng đầu 5 1

152

D  u là cấp số nhân có công bội n q 52 và số hạng đầu u13.

Câu 6 Trong các dãy số  u cho bởi số hạng tổng quát n u sau, dãy số nào là một cấp n

số nhân?

13

n n

u   .

B.

113

C.

13

n

u  n

D.

2 13

u  , n  Dãy số nào sau đây.

không phải là cấp số nhân?

A a,b,c tạo thành cấp số cộng B a,b,c tạo thành cấp số nhân.

C a ,b ,c tạo thành cấp số nhân D 2 2 2

1 1 1

, ,

a b c tạo thành cấp số cộng.

1 4

Câu 3 Một cấp số nhân có 6 số hạng, số hạng đầu bằng 2 và số

hạng thứ sáu bằng 486 Tìm công bội q của cấp số nhân đã cho.

A q 3. B q3. C q 2. D q2.

Câu 4 Một cấp số nhân có công bội bằng 3 và số hạng đầu bằng 5.

Biết số hạng chính giữa là 32805 Hỏi cấp số nhân đã cho có baonhiêu số hạng?

Câu 5 Một cấp số nhân có số hạng thứ bảy bằng

1

2 , công bội bằng1

4 Hỏi số hạng đầu tiên của cấp số nhân bằng bào nhiêu?

1

512

Câu 6 Cho cấp số nhân  u có n u  và 2 6 u6 486 Tìm công bội q

của cấp số nhân đã cho, biết rằng u3 0.

A q3. B

13

q .

C

13

u q

u q

u q

Lời giải câu 9

Gọi q là công bội của cấp số nhân  u n

n n

D

4 4 13

n n

A

1000 1000

1 34

B

1000 1000

1 36

B 5 5

13

C u5 35. D 5 5

53

P .

D P20.

Đáp án

Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Lời giải câu 9

Từ giả thiết suy ra 5S  3 2 5. 23 5. 3 79 5. 79 Do đó

4 Dạng 4 Một số bài toán liên quan đến cấp số nhân

Câu 1 Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ poloni 210 là 138 ngày (nghĩa là sau 138

ngày khối lượng của nguyêb tố đó chỉ còn một nửa) Tính (chính xác đến hàng phần trăm) khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 sau 7314 ngày (khoảng 20 năm)

A 2 22 10, 15. B.2 52 10, 15. C 3 22 10, 15. D 3 52 10, 15.

Câu 2 Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng Diện tích bề mặt

trên của mỗi tầng bằng nữa diện tích của mặt trên của tầng ngaybên dưới và diện tích mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích của đếtháp (có diện tích là 12 288 m ) Tính diện tích mặt trên cùng.2

A 6 m 2 B 8m 2 C 10m 2 D 12m 2

Câu 3 Một du khách vào trường đua ngựa đặt cược, lần đầu đặt

20000 đồng, mỗi lần sau tiền đặt gấp đôi lần tiền đặt cọc trước Người

đó thua 9 lần liên tiếp và thắng ở lần thứ 10 Hỏi du khác trên thắng

hay thua bao nhiêu?

Câu 5 Một người bắt đầu đi làm được nhận được số tiền lương là 7000000đ một

tháng Sau 36 tháng người đó được tăng lương 7% Hằng tháng người đó tiết kiệm 20% lương để gửi vào ngân hàng với lãi suất 0,3%/tháng theo hình thức lãi kép( nghĩa

là lãi của tháng này được nhập vào vốn của tháng kế tiếp) Biết rằng người đó nhận lương vào đầu tháng và số tiền tiết kiệm được chuyển ngay vào ngân hàng

a) Hỏi sau 36 tháng tổng số tiền người đó tiết kiệm được ( cả vốn lẫn lãi) là bao nhiêu?(làm tròn đến hàng nghìn)

Câu 6 Tục truyền rằng nhà vua Ấn Độ cho phép người phát minh ra bàn cờ vua được

lựa chọn phần thưởng tùy theo sở thích Người đó xin nhà vua: ''Bàn cờ có 64 ô, với

ô thứ nhất thần xin nhận 1 hạt,ô thứ 2 thì gấp đôi ô đầu, ô thứ 3 thì lại gấp đôi ô thứ hai,… cứ như vậy ô sau nhận số hạt thóc gấp đôi phần thưởng dành cho ô liền trước

và thần xin nhận tổng số các hạt thóc ở 64 ô'' Hỏi người đó sẽ nhận được một phần

thưởng tương ứng nặng bao nhiêu? (Giả sử 100 hạt thóc nặng 20 gam)

A 370 (tỉ tấn) B 369 (tỉ tấn) C 360 (tỉ tấn) D.36 (tỉ tấn)

Câu 7 Tìm hiểu tiền công khoan giếng ở hai cơ sở khoan giếng, người ta được biết:

- Ở cơ sở A: Giá của mét khoan đầu tiên là 50.000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 10000 đồng so với giá của mét khoan ngay trước

- Ở cơ sở B: Giá của mét khoan đầu tiên là 50.000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 8% giá của mét khoan ngay trước

Một người muốn chọn một trong hai cơ sở nói trên để thuê khoan một cái giếng sâu 20mét, một cái giếng sâu 30 mét ở hai địa điểm khác nhau Hỏi người ấy nên chọn cơ sở khoan giếng nào cho từng giếng để chi phí khoan hai giếng là ít nhất Biết chất lượng

và thời gian khoan giếng của hai cơ sở là như nhau

A Chọn cơ sở A để khoan cả hai giếng

B Chọn cơ sở B để khoan cả hai giếng

C Chọn cở sở A khoan giếng 20 mét, chọn cơ sở B khoan giếng 30 mét

D Chọn cở sở A khoan giếng 30 mét, chọn cơ sở B khoan giếng 20 mét

Câu 8 (Đề minh họa thi THPTQG của Bộ GD năm 2018.Cho dãy số ( )u n thỏa mãn

Câu 1 2 3 4 5a 5b 6 7 8 9

Lời giải chi tiết

Câu 1 Kí hiệu u (gam) là khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 sau n chu kì án n

rã

Ta có 7314 ngày gồm 53 chu kì bán rã Theo đề bài ra, ta cần tính u 53

Từ giả thiết suy ra dãy (u ) là một cấp số nhân với số hạng đầu là n 1

20102

1

102200001

Giải phương trình này, ta được các nghiệm là 1 2 4, , Hiển nhiên ba nghiệm này lập

thành một cấp số nhân với công bôị q2.

Vậy m  và 1 m  là các giá trị cần tìm 7

Chọn đáp án D.

Câu 5

a) Đặt a 7.000.000 (đồng), m 20%, n 0,3%, t 7%

Hết tháng thứ nhất, người đó có tổng số tiền tiết kiệm là T1 am(1n)1

Hết tháng thứ hai, người đó có tổng số tiền tiết kiệm là

Đây là một số rất lớn, nếu đem rải đều số thóc này lên bề mặt trái đất thì được một lớp thóc dày khoảng 9mm

Hoặc nếu một người trung bình mỗi bữa cần dùng 5000 hạt, một ngày dùng 3 bữa thì

số thóc này có thể nuôi 7 tỉ người trong khoảng 481 năm

Câu 7 Kí hiệu A ,B n n lần lượt là số tiền công ( đơn vị đồng) cần trả theo cách tính giá của cơ sở A và cơ sở B.

Theo giả thiết ta có:

logu  2logu  1 logu  1 2logu  log 10u log u 10u  u 1

Mà u n12u n   u n là cấp số nhân với công bội q 2 u1029u1  2

   2   4 4  3 34loga y loga x 3loga z 4loga qx loga x 3loga q x loga q x loga xq x

A x2+y2 =40. B x2+y2=25. C x2+y2=100. D x2+y2 =10.

Câu 2 Ba số x y z; ; theo thứ tự lập thành một cấp số nhân với công bội q khác 1; đồngthời các số x; 2 ; 3y z theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với công sai khác 0. Tìmgiá trị của q

q=

C

1 3

5 , 3

A F 389.hoặc F 395. B.F 395. hoặc F 179.

C.F 389.hoặc F 179. D F 441hoặc F 357.

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1 Các số x+6 , 5y x+2 , 8y x y+ theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồngthời các số x- 1, y+2,  x- 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân Tính x2+y2.

A x2+y2 =40. B x2+y2=25. C x2+y2=100. D x2+y2 =10.

Lời giải Theo giả thiết ta có

q=

C

1.3

ê ê

= /

=

Câu 3.Đáp án D.

Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án sai

+ Phương án A:Ta có a2 3;a2 3; Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ra chứng minh được rằng a n   3, n 1 Do đó  a n

là dãy số không đổi Suy ra nó vừa là cấp số cộng (công sai bằng 0) vừa là cấp số nhân (công bội bằng 1)

+ Phương án B: Tương tự như phương án A, chúng ta chỉ ra được

Câu 4 Đáp án A.

+ Ba số x6 ,5y x2 ,8y x y lập thành cấp số cộng nên

x6y  8x y  2 5 x2y x3y

y 

.Với y 1 thì x 3; với

1 8

y 

thì

3 8

x 

Câu 5 Đáp án C.

Theo tính chất của cấp số cộng , ta có x z 2y

Kết hợp với giả thiết x y z  21, ta suy ra 3y21 y7

Gọi d là công sai của cấp số cộng thì x y d  7 d và z y d 7 d.Sau khi thêm các số 2;3;9 vào ba số x y z, , ta được ba số là x2,y3,z9

A 128; 64; 32; 16; 8; - - B 2; 2; 4; 4 2;

1 15; 5; 1; ;

Câu 4 Dãy số 1; 2; 4; 8; 16; 32; L là một cấp số nhân với:

A Công bội là 3 và số hạng đầu tiên là 1.

B Công bội là 2 và số hạng đầu tiên là 1.

C Công bội là 4 và số hạng đầu tiên là 2.

D Công bội là 2 và số hạng đầu tiên là 2.

Câu 5 Cho cấp số nhân ( )u n với u =-1 2 và q=- 5. Viết bốn số hạng đầu tiên của cấp

số nhân

x = ±

B

1 3

x y

ì ïï

íï

6 54

x y

ì ïï

íï

6 54

x y

ì ïï

=-íï = ïî

Câu 14 Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là x; 12; ; 192.y Mệnh đề nào sau đây

là đúng?

A x=1;y=144. B x=2;y=72. C x=3;y=48. D.

Câu 15 Thêm hai số thực dương x và y vào giữa hai số 5 và 320 để được bốn số

A

25

125

x y

ì = ïï

íï =

15 45

x y

ì = ïï

íï =

30 90

x y

ì = ïï

íï = ïî

Câu 16 Ba số hạng đầu của một cấp số nhân là x- 6; x và y. Tìm y, biết rằng côngbội của cấp số nhân là 6.

A y =216. B

324 5

C

1296 5

A

184

9

B P =64. C

92.9

P =

D P =32.

Câu 18 Số hạng thứ hai, số hạng đầu và số hạng thứ ba của một cấp số cộng với công

sai khác 0 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân với công bội q Tìm q.

A q=2. B q=- 2. C

3 2

q=-D

3 2

B

24

C

24

Câu 25 Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng Diện tích bề mặt trên của mỗi

tầng bằng nữa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt trên củatầng 1 bằng nửa diện tích của đế tháp (có diện tích là 12 288 m2) Tính diện tích mặt trêncùng

1 2; 2; 4; 4 2; .

u

u u

u u

Xét đáp án D:

2

2 4 6

2 1

3 2

Câu 4 Dãy số 1; 2; 4; 8; 16; 32; L là một cấp số nhân với:

A Công bội là 3 và số hạng đầu tiên là 1.

B Công bội là 2 và số hạng đầu tiên là 1.

C Công bội là 4 và số hạng đầu tiên là 2.

D Công bội là 2 và số hạng đầu tiên là 2.

Lời giải Cấp số nhân:

1 2 1

1; 2; 4; 8; 16;

2 2;

1 3

u u q u

ïï ïï

3 2

4 3

2 10 2

50 5

Câu 6 Cho cấp số nhân

Lời giải Cấp số nhân:

1 1

2 1

1 2

q u

u

x x

x x

x x

x = ±

B

1 3

Câu 13 Với giá trị x y, nào dưới đây thì các số hạng lần lượt là - 2; ; 18; x - ytheo thứ

tự đó lập thành cấp số nhân?

A

6

54

x y

ì ïï

íï

6 54

x y

ì ïï

íï

6 54

x y

ì ïï

=-íï = ïî

Lời giải Cấp số nhân:

6 324

18 2

2304 12

Câu 15 Thêm hai số thực dương x và y vào giữa hai số 5 và 320 để được bốn số

A

25

125

x y

ì = ïï

íï =

15 45

x y

ì = ïï

íï =

30 90

x y

ì = ïï

íï = ïî

Lời giải Cấp số nhân:

1

2 2

3 1

3 3

320

25

u x q

ï = ïï

C

1296 5

A

184

9

B P =64. C

92.9

2 2

Thay (1) vào (3) ta được: b2+64a=b2+16b+64Û 4a b- =4 4 ( )

ê = ê

Î ë

¢

Với c=36Þ a=4,b=12Þ P= -4 12 72+ =64.Chọn B.

Câu 18 Số hạng thứ hai, số hạng đầu và số hạng thứ ba của một cấp số cộng với công

sai khác 0 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân với công bội q Tìm q.

A q=2. B q=- 2. C

3.2

q=-D

3.2

Nếu b= Þ 0 a= = =b c 0 nên a b c; ; là cấp số cộng công sai d= 0 (vô lí)

Nếu q2+ -q 2= Û0 q=1 hoặc q=- 2. Nếu q= Þ1 a= =b c (vô lí), do đó q=- 2. Chọn B.

Câu 19 Cho bố số a b c d, , , biết rằng a b c, , theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhâncông bội q> 1; còn b c d, , theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng Tìm q biết rằng

A

9

ac b

Câu 25 Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng Diện tích bề mặt trên của mỗi

tầng bằng nữa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt trên củatầng 1 bằng nửa diện tích của đế tháp (có diện tích là 12 288 m2) Tính diện tích mặt trêncùng

A 6m2. B 8m2. C 10m2. D 12m2.

Lời giải Diện tích bề mặt của mỗi tầng (kể từ 1) lập thành một cấp số nhân có công

n

t n

2

1.3

3.1

3

u

u    n

Tìm sốhạng tổng quát của dãy số

S 

B.S 5 121 hoặc 5

35 16

S 

C.S 5 114hoặc 5

185 16

S 

D S 5 141hoặc 5

183 16

S 

Câu 14. Cho cấp số nhân  u n có u 1 8 và biểu thức 4u32u215u1 đạt giá

1024

u u

ìïï = ïïï

n n

u =

Khẳng định nào sau đây đúng?

A ( )u n không phải là cấp số nhân

B ( )u n là cấp số nhân có công bội q=5 và số hạng đầu 1

3 2

u =

C ( )u n là cấp số nhân có công bội q=5 và số hạng đầu 1

15 2

u =

D ( )u n là cấp số nhân có công bội

5 2

-B.

1 1.

n

D.

2 1 3

n

-Câu 21 Trong các dãy số ( )u n cho bởi số hạng tổng quát u n sau, dãy số nào là một cấp

số nhân?

A u n= -7 3 n B u = - n 7 3 n C

7.3

n

u n

Câu 24 Một cấp số nhân có 6 số hạng, số hạng đầu bằng 2 và số hạng thứ sáu bằng

486 Tìm công bội q của cấp số nhân đã cho

A q=3. B q=- 3. C q=2. D q=- 2.

Câu 25 Cho cấp số nhân ( )u n có u =-1 3 và

2 3

u

=-B 5

16 27

u

=-C 5

16 27

u =

D 5

27 16

q=- Số 103

1

10 là số hạng thứ mấy củacấp số nhân đã cho?

A Số hạng thứ 103 B Số hạng thứ 104.

C Số hạng thứ 105 D Không là số hạng của cấp số đã cho.

Câu 29 Một cấp số nhân có công bội bằng 3 và số hạng đầu bằng 5 Biết số hạng

chính giữa là 32805 Hỏi cấp số nhân đã cho có bao nhiêu số hạng?

u

-æ ö÷ç

=- ççè ø - ÷÷

Câu 32 Cho cấp số nhân ( )u n có u =-1 3 và q=- 2. Tính tổng 10 số hạng đầu tiên củacấp số nhân đã cho.

A S =-10 511. B S =-10 1025. C S =10 1025. D S =10 1023.

Câu 33 Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 1; 4; 16; 64; L Gọi S n là tổng của n

số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó Mệnh đề nào sau đây đúng?

A S n=4 n-1 B

(1 4 1)

2

n n

n S

n n

n n

-Câu 34 Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là

1 1; ; 1; ; 2048.

4 2 L Tính tổng S củatất cả các số hạng của cấp số nhân đã cho

-Câu 36 Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội bằng 2 và tổng số các số hạng

bằng 189 Tìm số hạng cuối u6 của cấp số nhân đã cho

n

Tìm số hạngthứ 5 của cấp số nhân đã cho

A 5 4

2

3

u =

B 5 5

1 3

u =

C u =5 3 5 D 5 5

5 3

u =

Câu 40. Cho cấp số nhân

( )u n có u =-2 2 và u =5 54. Tính tổng 1000 số hạng đầu tiêncủa cấp số nhân đã cho

A

1000 1000