Hướng dẫn giải các bài toán về phương trình lượng giác lớp 11 phần 3 | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

Một số phương trình lượng giác thể hiện tính không mẫu mực ở ngay dạng của chúng, nhưng cũng có những phương trình ta thấy dạng rất bình thường nhưng cách giải lại không mẫu mực.. Sau đ[r]

CHƯƠNG I:

BÀI 1: PHƯƠNG TRÌN LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC

PHẦN 1 – LÝ THUYẾT

Một số bài toán về phương trình lượng giác mà cách giải tuỳ theo đặc thù của phương trình, chứ không nằm ở trong phương pháp đã nêu ở hầu hết các sách giáo khoa

Một số phương trình lượng giác thể hiện tính không mẫu mực ở ngay dạng của chúng, nhưng cũng

có những phương trình ta thấy dạng rất bình thường nhưng cách giải lại không mẫu mực

Sau đây là những phương trình lượng giác có cách giải không mẫu mực thường gặp

PHẦN 2 – CÁC DẠNG BÀI TẬP TỰ LUẬN

Dạng 1: Phương pháp đưa về tổng bình phương

Phương pháp giải Biến đổi phương trình đã cho về dạng :

1 2

1 2

0 0

0

n

A A

A











Ví dụ 1 Giải phương trình 3tan2 x4sin2 x 2 3 tanx 4sinx 2 0

Lời giải

3 tan

sin

6 2

x x

x











 





Ví dụ 2 Giải phương trình cos2 x 4cosx 2 sinx x x 2 3 0

Lời giải

0

x

Ví dụ 3 Giải phương trình 8cos 4 cos 2x 2 x 1 cos3 x 1 0

Lời giải

2

8cos 4 cos 2 1 cos3 1 0 4cos 4 (1 cos 4 ) 1 cos3 1 0

(4 cos 4 4cos 4 1) 1 cos3 0 (2cos 4 1) 1 cos3 0

1 2cos 4 1 0 cos 4

2



 



Ví dụ 4 Giải phương trình

sin 4 cos 4 1 4 2 sin

4

Lời giải

sin 4 cos 4 1 4 2 sin

4

  sin 4x 1 cos 4 x 4 sin x cosx

 

2 2sin 2 cos 2x x 2cos 2x 4 sinx cosx

cosx sinx cosx sinx sin 2x cos 2 x 2 sin x cosx

cosx sinx cosx sinx sin 2x cos 2 x 2 0

 

cosx sinx 0 1

   hoặc cosxsinx sin 2x cos 2 x  (2)2 0

Giải (1) 2 cos x 4 0 x 4 k k,



2 cos 1

; , 2 sin 3 1

x k x

m k m









 Hệ có nghiệm khi và chỉ khi 2

m

phương trình này vô nghiệm vì vế trái luôn là một số nguyên chẵn, còn vế phải là số nguyên lẻ Kết luận (2) vô nghiệm

Nghiệm phương trình x 4 k k,





Ví dụ 5 Giải phương trình sin 3 cosx x 2sin 3xcos 3 1 sinx  x 2cos3x 0

Lời giải

sin 3 cosx x 2sin 3x cos3 1 sinx  x 2cos3x 0

sin 3 cosx x cos3 sinx x 2 sin 3 2 x cos 32 x cos3x 0

sin 4x 2 cos 3x 0

3

k x



















Nếu phương trình có nghiệm thì tồn tại các giá trị ,k m sao cho:

2 6k 8m 3

   (không thỏa) Phương trình vô nghiệm vì: Vế trái là một số chẵn, còn vế phải là một số lẻ

Kết luận phương trình vô nghiệm

Ví dụ 6 Giải phương trình cos 2x 3 sin 2x 3 sinx cosx 4 0

Lời giải

Chia 2 vế cho 2 ta được :

1 3 3 1

2

3









Phương trình có nghiệm khi : 12 k 3 l2 1 12k 4 24l 12k 24l 5

Vô nghiệm với mọi k, l   vì VT là một số chẵn, còn VP là một số lẻ

Dạng 2: Phương pháp đối lập

Phương pháp này được xây dựng trên tính chất: Để giải phương trình f x( )g x( ), ta có thể nghĩ đến việc chứng minh tồn tại A: f x( )A x, ( , )a b và g x( )A x, ( , )a b thì khi đó:

( ) ( ) ( )

( )







 Nếu ta chỉ có f x( )A và g x( )A,  x ( , )a b thì kết luận phương trình vô nghiệm

Một số dạng phương trình đặc biệt dùng phương pháp đối lập:



sin sin 1

ax bx

ax bx











 

 



 





ax bx

ax bx











 

 



 



Cách giải tương tự cho các phương trình thuộc dạng:

cos cos 1

sin cos 1









Ví dụ 1 Giải phương trình cos5x x 2 0

Lời giải

cos x x  0 x  cos x

Vì 1 cos  x nên 1 0x2    1 1 x 1

mà  1,1 , cos 0,  1,1 cos5 0,  1,1

 



Do x 2 0 và  cos5x0 nên phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Ví dụ 2 Giải phương trình sin1996xcos1996x1

Lời giải

(1)  sin1996xcos1996xsin2 xcos2 x sin (sin2x 1994x1) cos (1 cos 2 x  1994x) (2)

Ta thấy

2

2 1994 1994

sin (sin 1) 0,

x

x









Mà

2

1994

cos (1 cos ) 0,

x

x







Do đó (2)

2 1994

sin 0

cos (1 cos ) 0

2

x m x

x

m n Z x

x

x n













 



  











Vậy nghiệm của phương trình là: x k 2(k Z)



Ví dụ 3 Giải phương trình

Lời giải

Điều kiện:

cos3 0

x x











Khi đó pt  cosx cos2x cos 3x cos 32 x 1

Vì

Do đó

cos cos

4

và

cos3 cos 3

4

2 2

1 cos cos

2 1 cos 3 cos 3

2





 



Dấu bằng xảy ra

2 2

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Ví dụ 4 Giải phương trình

1 (tan cot ) cos sin ( 2,3, 4, )

4

Lời giải

Với điều kiện x k 2





ta có tan x và cot x luôn cùng dấu nên:

1 1 1 1

n

Dấu "=" xảy ra

2

 Với n  : phương trình 2

2 1

4

 Với n Z n , 2 thì:

cosn xsinn xcos xsin x1

Dấu bằng xảy ra

2

2

k m Z











(đều không thoả mãn điều kiện x k 2



 của phương trình) Vậy với n2,n Z thì phương trình vô nghiệm

Ví dụ 5 Giải phương trình cos3x 2 cos 3 2 x 2(1 sin 2 ) 2 x

Lời giải

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có :

cos3x 2 cos 3 x  1 1 cos 3x 2 cos 3 x 

2 cos 3x 2 cos 3x 2

Suy ra vế trái đạt giá trị lớn nhất bằng 2 khi cos 3x 2 cos 3 2 x

2 2(1 sin 2 ) 2

Vậy chỉ xảy ra khi :

2 2

2

cos 6 1

os 3 1

sin 2 0 sin 2 0

sin 2 0

2

k x

x

x





 





Nếu phương trình có nghiệm thì tồn tại k,l thuộc Z sao cho :

Để k là nguyên thì ta chọn : l 1 2n l2n 1

Thay vào (2) nghiêm :

n

Dạng 3: Phương pháp chứng minh nghiệm duy nhất

Phương pháp giải Tuỳ theo dạng và điều kiện của phương trình, ta tính nhẩm một nghiệm của

phương trình, sau đó chứng tỏ nghiệm này là duy nhất bằng một trong những cách thông dụng sau:

 Dùng tính chất đại số

 Áp dụng tính đơn điệu của hàm số

Phương trình ( ) 0 có 1 nghiệm x  ( , )a b và hàm f đơn điệu trong ( , )a b thì ( ) 0 có

nghiệm duy nhất là x 

Phương trình f x( )g x( ) có 1 nghiệm x  ( , )a b , f x( )và g x( ) là hai hàm số đơn điệu ngược chiều trên khoảng ( , )a b thì phương trình f x( )g x( ) có nghiệm x là duy nhất.

Ví dụ 1 Giải phương trình

2 cos 1

2

x

x  

với x 0

Lời giải

Ta thấy ngay phương trình có 1 nghiệm x  0

Đặt

2

2

x

có đạo hàm f x'( ) sinx x   0, x 0 (vì x sin ,x  )x

 Hàm f luôn đơn điệu tăng trong 0; 

 f x ( ) 0 có 1 nghiệm duy nhất trong 0;

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất x  0

Ví dụ 2 Giải phương trình sinxtanx 2x với 0 0 x 2



 

Lời giải

Dễ thấy phương trình có 1 nghiệm x 0

Đặt f x( ) sin xtanx 2x liên tục trên 0;2









Có đạo hàm:

2 2

(cos 1)(cos cos 1)

x





do

2

f

 đơn điệu tăng trên 0;2







 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0

Dạng 4: Phương pháp đặt ẩn phụ

Ví dụ 1. Giải phương trình

6

4

Lời giải

Đặt

3

Phương trình trở thành:

2

4(1 3cos 2 3cos 2 cos 2 ) (4cos 2 3cos 2 ) 1

4cos 2 5cos 2 1 0



Ví dụ 2. Giải phương trình

cos cos

3

x

x 

Lời giải

Đặt

2

3

x

t 

, phương trình trở thành:

1 (1 cos 3 ) cos 2

2  t  t(dùng công thức nhân đôi, nhân ba khai triển để giải tiếp)

Ví dụ 3. Giải phương trình

3

4

Lời giải

Đặt t x 4 x t 4

 1 sin3 2 sin sin3 sin cos

4

sin t sint cost 0 sin sint t 1 cost 0

2

cos sint t cost 0 cos 1 sin cost t t 0 cost 0 1 sin cost t 0

t  t  k  x  k  x k k 

Với

1

1 sin cos 0 sin 2 1 sin 2 2

2

(vô nghiệm)

Vậy nghiệm của phương trình:  

4

Ví dụ 4. Giải phương trình sin 3x 4 sin2xsin x 4

Lời giải

Nhận thấy:

Đặt t x 4,



 

suy ra: x t 4



 

nên phương trình đã cho:

3 ( ) sin 3 sin 2 sin 4sin 3sin cos 2 sin 0

2

4sin t 3sint (1 2sin )sint t 0 sint 0

sint 0

  hoặc cost 0 t k hoặc t 2 k





với k  .

Suy ra: x 4 k





 

hoặc x 4 k





k

với k  .

Kết luận: Tập nghiệm cần tìm của phương trình là 4 2 ,

k

với k  .

Ví dụ 5. Giải phương trình

3

3

Lời giải

Nhận thấy:

cos3 cos( 3 ) cos 3

3

x  x   x 



( )  8cos t cos3t4 cos t3cost12cos t 3cost0

cost 0

  hoặc 4cos2t  1 0  cost hoặc 0

1 cos 2

2

t 

2

hoặc t 3 k .





Suy ra: x 2 k





hoặc x k  với k  .

Kết luận: Các tập nghiệm cần tìm của phương trình là x 2 k , x k .



Ví dụ 6. Giải phương trình

3

4

Lời giải

Đặt t x 4 x t 4

4

cos ( sint t sin cost t cos ) 0t cos (sin 2t t 2) cost 0 sin 2t 2

2

Suy ra: x 4 k





với k  .

Kết luận: Tập nghiệm cần tìm của phương trình là x 4 k





với k  .

Ví dụ 7. Giải phương trình cos 2xcos2x 1 tan x

Lời giải

Điều kiện : osx 0 *

tanx -1







Đặt ttanx, điều kiện t 0

Khi đó phương trình trở thành :

2

2

t



  , điều kiện 1 t2  0 0 t 1

1 t22 1 t 1 t  1 t 1 t2 1 0

So với điều kiện nhận t 0 tanx 0 x k ,k 

Dạng 5: Phương pháp đưa về hệ phương trình

Ví dụ 1. Giải phương trình sin2 x 2 5 cos 2x 2

Lời giải

Đặt a sin2x2;b 5 cos 2x

Phương trình trở thành

2 2

1

3 2

2

a

a b







 



 



Ta có

 

Ví dụ 2. Giải phương trình ( cos )3 x 23sin2x 3 3 2

Lời giải Đặt a3cosx2,b3sin2x 3

Lúc đó phương trình trở thành

3 3

0 2 2

0

a b

a b

b

 

 





 



 



2 3

2

2 2

2 3 3

2

3 2

2

x

x

x

x x







 









Dạng 6: Một số phương trình lượng giác có cách giải đặc biệt

Ví dụ 1. Giải phương trình cos cos 2 cos3 cos 4 cos5 1  

2

Lời giải

Ta thấy sinx 0 x m m ,   không phải là nghiệm của  

Nhân hai vế của phương trình   cho sinx 0 x m m ,  , được:

  1

sin cos cos 2 cos3 cos 4 cos5 sin

2

1 sin cos sin cos 2 sin cos 3 sin cos 4 sin cos 5 sin

2

sin 2x sinx sin 3x sin 2x sin 4x sin 3x sin 5x sin 4x sin 6x sinx

sin 5x sin 6x 0 sin 6x sin( 5 )x

2

2 , , 11

k

Điều kiện

11 2

11 ' 2

11

2

2

m











với m ' 2 m, n' 2 n 1  và m n m n  , , ', '

Kết luận nghiệm phương trình

2

11

k

Ví dụ 2. Giải phương trình 4sin 3 cos 2x x 1 6sinx 8sin 3x  

Lời giải

 

3 4sin 3 cos 2x x 1 6sinx8sin x 

4sin 3 cos 2x x 1 2 3sinx 4sin x

2sinx 2sin 5x 1 2sin 3x

Ta thấy cosx 0 x 2 m m,





không phải là nghiệm của  

Nhân hai vế của phương trình   cho cosx 0 x 2 m m,





, được:

2sinx 2sin 5 cosx x 1 2sin 3x cos x

sin 2 x sin 4 x sin 6 x cosx sin 2 x sin 4 x

2 sin 6 cos sin

k

2

; ,

h

Điều kiện













Ví dụ 3. Giải phương trình cos cos 2 cos 4 cos8 1  

16

Lời giải

Ta thấy sinx 0 x m m ,   không phải là nghiệm của  

Nhân hai vế của phương trình   cho sinx 0 x m m ,  , được:

16sinx cos cos 2 cos 4 cos8x x x xsinx

8sin 2 cos 2 cos 4 cos8x x x x sinx

4sin 4 cos 4 cos8x x x sinx 2sin 8 cos8x x sinx sin16x sinx

; ,

Điều kiện













nguyên lẻ

Ví dụ 4. Giải phương trình

x x x    x

Lời giải

ĐK:

3

6

x

k

x









Có:

(thỏa đk)

Kết luận: Tập nghiệm cần tìm của phương trình là 12 2

k

với k  .

Ví dụ 5. Giải phương trình

Lời giải

Điều kiện:

k

( )   sin 3xsinxsin 2x (sin 3xsin ) sin 2x  x0

2sin 2 cosx x sin 2x 0 sin 2 (2cosx x 1) 0 sin 2x 0 cosx 0,5

2

k

hoặc

2 2 3

với k   (thỏa mãn điều kiện).

Kết luận: Các tập nghiệm cần tìm của phương trình là

2

k

Ví dụ 6. Giải phương trình 2cos2 cos2 1 cos sin 2 





 

Lời giải





 





2 2

2

cos cos cos sin 2



2 2

 



1 cos 2

sin 2 2 cos 2 2sin 2 4 1 (1) 2

sin 2 2 2

x

x k







Điều kiện để phương trình (1) hoặc phương trình (2) có nghiệm là:

 2

, vì k   nên chọn k 0

Thay k  vào (1) được:0

2 cos 2x 2sin 2x  1 1 cos 2x 2sin 2x 0 2cos x 4sin cosx x0

1

x x

















 

 Thay k  vào (1) được:0

2 cos 2x2sin 2x  1 1 cos 2x2sin 2x 0 2cos x4sin cosx x0

1

x x



















BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Giải các phương trình sau

Bài 1. x2 2 cosx x 2sinx 2 0

Bài 2. sin4 xcos15x1

Bài 3.

Bài 4.

1 (tan cot ) cos sin ( 2,3, 4, )

4

Bài 5. sin3xcos3x 2 sin4x

Bài 6. sinxtanx 2x với 0 0 x 2



 

Bài 7. cos 4x cos 2x2  5 sin 3x

Bài 8.

cos x sin xcosx sinx

Bài 9. x2 2sinxy 1 0