Hướng dẫn giải các bài toán về phương trình lượng giác lớp 11 phần 5 | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

So sánh nghiệm với điều kiện xác định của phương trình và điều kiện cho trước của bài toán để loại những nghiệm không thỏa.. BÀI TẬP TỰ LUẬN.[r]

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Chủ đề 2.4 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN CÓ ĐIỀU KIỆN

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

Các phương trình có dạng sinx m ; cosx m ; tanx m ; cotx m được gọi là các phương trình lượng giác cơ bản

1 Phương trình sinx m  1

 Trường hợp m 1 thì phương trình  1 vô nghiệm.

 Trường hợp m 1 thì phương trình  1 có nghiệm.

 Nếu  là một nghiệm của phương trình  1 thì nghiệm của phương trình  1 là:

 Trường hợp m 1 thì phương trình  2 vô nghiệm.

 Trường hợp m 1 thì phương trình  2 có nghiệm.

 Nếu  là một nghiệm của phương trình  2 thì nghiệm của phương trình  2 là:

1

Chuyên đề

 Nếu cosx cosa thì nghiệm của  2 là x k , k 

22

 m phương trình  3 luôn có nghiệm thỏa điều kiện x p2 k p, k .

 Nếu  là một nghiệm của phương trình  3 thì nghiệm của phương trình  3 là:

kí hiệu là arctan m Do đó nghiệm của PT  3 là: xarctanm k p, k 

 Nếu tanx tana thì nghiệm của  3 là x a k p, k .

Tổng quát: tan f x tang x 

 Nếu  là một nghiệm của phương trình  4

thì nghiệm của phương trình  4

là:

,

x a k p k 

Chú ý: Với m thì PT  4 luôn có duy nhất một nghiệm thuộc đoạn 0;p Nghiệm này kí

hiệu là arccot m Do đó nghiệm của PT  4 là: xarccotm k p, k 

 Nếu cotx cota thì nghiệm của  4 là x a k p, k .

Tổng quát: cot f x  cotg x 

lượng giác để biến đổi đưa về phương trình lượng giác cơ bản

Bước 1 Tìm nghiệm của biểu thức ( )P x , hoặc giá trị của x làm biểu thức ( ) P x không xác định.

Bước 2 Sắp xếp các giá trị của x tìm được theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.

Bước 3 Sử dụng máy tính tìm dấu của ( )P x trên từng khoảng của bảng xét dấu.

Câu 2. [1D1-1] Giải phương trình tan x 3 300  3

Câu 3. [1D1-1] Giải phương trình

3 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 6. Giải phương trình

Điều kiện:

sin

,sin

20

So với điều kiện các nghiệm này thỏa

Vậy phương trình có nghiệm: x pk ,x pk ,k 

So với điều kiện nghiệm x1200k180 loại.0

Vậy phương trình có nghiệm: x300k1800,k 

Câu 9. Giải phương trình 3tanx 3 2  sinx1 0

,sin

sin

x x

563

 

coscot

(ĐH An ninh 98)Điều kiện: cosx  x k .

3 (thỏa điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là

sin

x x

k Z x

Với điều kiện trên, (*) 2(sinxcos ) sinx  2x(cosxsin )x

(sinx cos )(x sin x)

So với điều kiện, nghiệm của phương trình là: x k k Z,  .

p p

4

Câu 5. tan x sin2x 2sin2x3cos2xsin x cosx

Điều kiện: cosx 0.

Chia hai vế phương trình cho osc 2x, ta được:

 os sin sin x cos 

Câu 6. 5sinx 2 3 1 (  sin ) tanx 2x (ĐH B-2004)

Điều kiện: cos x 0 (*)

Với điều kiện trên, (1)  cos2x3cot2xsin4x2(cot2x cos2x)

cos x cot x sin x

 3 2  2  4 0 cos x sin x sin x

2(*) 4sin22x6sin2x 3cos2x 9 0  4 1(  cos22x)3 1(  cos2x) 9 3 cos2x0

Điều kiện: sin2x  1 0

Phương trình tương đương cos (cosx x2sin )x 3sin (sinx x 2) sin 2x1

Giải: Ta có sin22x 4cos2x4sin2xcos2x 4cos2x

cos (sinx x ) cos x

4 2 2  1 4 4 .

Điều kiện:

coscos

x x

Điều kiện: sin x 0 x k p

Với điều kiện trên, phương trình đã cho

 sin (2x1sin2xcos2x)2 2sin2xcosx

sin x cos x cosx

 1 2  2 2 2

cos (cosx xsinx )

2 2 0 cosx = 0 hay cosx + sinx = 2

2 hay x = k

p p

x x

Với điều kiện trên,

sinsin

x x

2

coscos

x x

sin cosx x cosx (sinx )

32

x x

Điều kiện:

costan

x x

Với điều kiện trên,

(*) sinx ( sinxcos x) ( tan ) cosx x

p

4sin cos

x x

Với điều kiện trên, (*) (1 2 sin ) cosx x 3 1 2(  sin )(x 1 sin )x

cosx sinx sin x cos x

x x

Phương trình  sinxcosx (sinxcos )x

2 2sin cos

(sin cos )sin cos

0

4

22

2

p p

x x

sin4x cos4x 0 sin2x cos2x0 sin x

2

sinsin

sin sinsin sin

24

42452

8

p p

8

p p

82

p p

82

221

x x

Phương trình tan2x tanx0 tan2xtanx 2x x k  p x k k p,  

Câu 9. Nghiệm của phương trình tan3x.cot2x 1 là

x x

Với mọi x   , ta luôn có  1 sin x1

Do đó, phương trình sin x m có nghiệm khi và chỉ khi  1 m1

Câu 2. Phương trình cos x m 0 vô nghiệm khi m là:

A

m m

Chọn A.

Với mọi x   , ta luôn có  1 cos x1

Do đó, phương trình cosx m có nghiệm khi và chỉ khi

m m

2 là nghiệm của phương trình nào sau đây:

A sin x 1 B sin x 0 C cos x 2 0 D cos x 2 1

Hướng dẫn giảiChọn D.

Lại có cos xcos  k cos k  cos 

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có:

cossin2x 1 1 2x  1 cos2x 1 2x p k2p x p k p

6 , k  . B x k

p p

Ta có sin – x 3cosx 0 sin – x cosx

Ta có sin cos2 x x 1 sin x2 1

sin xcosx sin xsin  x

4 2 C x k

p p

Lời giải

Câu 2 [1D1-3.1-3] Phương trình cos3 x2| sin |x 2 có nghiệm là:

A x k

p p

p p

p p

p p

133

3

2

Lời giải

sinx sin x sinxsin x sin x  cos xsin x   sin xcosxsin x

x k k

p p

p

3

32

p p

248

242

34222

5438

 

cos sin

sin23x cos24xsin25x cos26x sin23x sin25xcos24x cos26x

sin x sin x sin x sin x cos x cos x cos x cos x

p

2

29

92

23

 sinxcos  cos x  cos x

x x x

p p

p p

6 D Vô nghiệm

Lời giải Chọn D

Câu 10 [1D1-3.5-4]Giải phương trình

Điệu kiện:

sincos sin

cos cos sin

Điều kiện:

coscoscos

x x

Câu 12 [1D1-2.4-3]Giải phương trình

sin

tansin

x

x x

B x k

p p

C x k

p p

p p

Lời giải Chọn C

Điều kiện: cos x  x k

12

Bài 2 Giải phương trình: cos3x cos2x cosx 1 0+ - - = ( )*

Bài giải tham khảo

( )* Û 4cos x 3cosx 2cos x 1 cosx 1 03 - + 2 - - - = Û 2cos x3 +cos x 2cosx 1 02 - - =

Bài 2 Giải phương trình: sinx+cosx 1 sin2x cos2x+ + + =0 ( )*

Chủ đề 2.5 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN CÓ NGHIỆM THOẢ

MÃN

ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

A KIẾN THỨC CƠ BẢN (trình bày như trong phần 2.4)

B KỸ NĂNG CƠ BẢN

Khi giải phương trình lượng giác có nghiệm thỏa điều kiện cho trước, ta làm như sau:

Bước 1 Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2 Giải phương trình để tìm nghiệm

Bước 3 So sánh nghiệm với điều kiện xác định của phương trình và điều kiện cho trước của

bài toán để loại những nghiệm không thỏa

3 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 2. Tìm nghiệm 0 x  của phương trình

x 

- Trường hợp 1: ng h p 2: ợp 1:

712

x  k

Do 0 x   nên

70

x 

.Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là

26

- Trường hợp 1: ng h p 2: ợp 1:

526

Vì k   nên ta không chọn được giá trị k thỏa mãn

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x 6





Câu 4. Tìm nghiệm   x 3 của phương trình sin x 4 1

x 

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất

94

32

212

k k





  

Vậy phương trình trên có hai nghiệm

x 

Xét

7212

x  k 

: Vì 0 x 2

nên

1712

Điều kiện: sin 2x  0

Phương trình: 2 tanx 2cotx 3 0

;2

cos 0cos 1 0

x x

k

k k

2

k k k

Câu 11. Tìm nghiệm của phương trình cos 2xsinx trong khoảng0 0; 2 

cos 0

x x

Câu 14. Giải phương trình 2sin2x 3sinx  v i 1 0 ới 0 x 2

22sin x 3sinx 1 0

sin 1

1sin

2

x x

526

Câu 16. Tìm m để phương trình

2cos

Vậy với 0  thì phương trình có nghiệm.m 1

Câu 17. Giải phương trình sin2x sinx0

với 0 x :

Giải:

Câu 19. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình sin 3 cosx xsin 2x thuộc 0; 2

Câu 20. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình

22

Câu 21. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình sin5xcos3xsin7xcos5x thuộc

02

k x

Trong

02

2sin

Câu 25. Tìm nghiệm của phương trình

cos 4

tan 2cos 2 

2cos 4 sin 4 1

k x

Câu 27. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình

3 sin 3 2 sin sin 2 cos

0sin

x

 thuộc 2 2

 

3 sin 3 2 sin sin 2 cos

0sin

3 sin 3 2 sin sin 2 cos 0

k x

k x x

k x

3

sin 3x sin 2 sin 3x sin

23

Câu 30. Vậy các nghiệm thuộc 0; 2 của phương trình là:

20; ; 2 ; ;

sin 2 1 cos (2 sin 1) 2 cos 2

cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 0

cos 2 (cos 2 cos 2) 0

2 cos16 2 cos 4 cos 2 2 cos 2 0

Vậy các nghiệm thuộc khoảng 0;2

( ) t 4 t 1 ( )

Do ( )P là parabol có hệ số a 0 và đỉnh I(2; 3) nên ( )P đi xuông trên 1;1

do đó đường thẳng y2m cắt ( )P với t   1;1 khi: P( 1) 2 m  P(1) 2 2 m   6 1 m3

Câu 34. Tìm nghiệm của phương trình sin 42 x3.sin 4 cos 4x x 4.cos 42 x0 khoảng 0 ; 2

x

x

22cos 2 1 cos2 3 3cos2 2

26

m m

t m t



Xem hàm số

2( ) , t 1, 2

Câu 40. Cho phương trình: 2 cos 2xsin2xcosxsin cosx 2 x m (sinxcos )x (1) Tìm m để phương

2(cos sin )(cos sin ) sin cos (sin cos )

(sin cos ) 2(cos sin ) sin cos



 .Suy ra phương trình (*) có nghiệm thuộc 1;1

2 sin cos 1 2 sin 3 sin cos 2 0

2 sin (2 cos 3) sin cos 1 0 (1)

Chú ý : (1) là phương trình bậc 2 với biến sin x

Ta có :  (2 cosx3)2 8(cosx1) (2 cos x1)2

Trường hợp 1: ng h p 2: ợp 1:

526

Vì k   nên ta không chọn được giá trị k thỏa mãn

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x 6





Câu 2 Phương trình

1sin 2

x 

Trường hợp 1: ng h p 2: ợp 1:

712

x  k

Do 0 x   nên

70

x 

.Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm

1sin

26

Trường hợp 1: ng h p 2: ợp 1:

526

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x 6





Câu 4 Nghiệm của phương trình cos2x– cosx 0 thỏa điều kiện 0 x   :

x x

k

k k

2

k k k

k k





  

  phương trình trở thành: ng trình có 2 nghi m ệm trong đo n ại k  ; 

Hưới ng d n gi i:ẫn giải ải

Ch n ọn A

2cos x cosx0

cos 0cos 1

x x

Do 0 x  nên ta ch nh n nghi m ỉ nhận nghiệm ậy phương trình có nghiệm ệm x 2





Nh n xét: Ch c n ki m tra đi u ki n ậy phương trình có nghiệm ỉ nhận nghiệm ần kiểm tra điều kiện ể phương trình ều kiện ệm 0 x  ta ch n A.ọn

Câu 8. Nghi m c a phệm ủa phương ương trình trở thành: ng trình lượp 1: ng giác: 2cos2 x3sinx 3 0 thõa đi u ki n ều kiện ệm 0 x 2

22sin x 3sinx 1 0

sin 1

1sin

2

x x

526

Câu 9. Nghi m c a phệm ủa phương ương trình trở thành: ng trình sin2xsinx th a đi u ki n: 0 ỏa điều kiện ều kiện ệm 2 x 2

2sin xsinx0

sin 0

x x

Câu 1 Số nghiệm của phương trình

x 

.Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất

94

32

212

k k





  

Vậy phương trình trên có hai nghiệm

Vậy phương trình có 3 nghiệm trong   ;5 

Câu 4 Gọi X là tập nghiệm của phương trình

Ta có cos 15 sin cos 15 cos 90 

Ta có sin2 sin 0 sinsin 01 3 ;

22

x k x

x

x 

thuộc đoạn [2 ; 4 ]  là

x 

Xét

7212

x  k 

: Vì 0 x 2

nên

1712

x Vậy tập nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện là

11

trên khoảng

; 24

Ta có tan tan3 3  

x   x  k k 3

Hưới ng d n gi i.ẫn giải ải

k k





  

  phương trình trở thành: ng trình có 2 nghi m ệm trong đo n ại k  ; 

Ta có cos 2x 2m1 cos x m   1 0 2 cos2x 2m1 cos x m  0

2

m

11

 m

Lời giải Chọn C

Ta có cosx1 cos 2  x m cosxmsin2x

cosx 1 cos 2  x mcosx m1 cosx 1 cosx

Trên

20;

6 6

5,

8 8

5,

12 12

5,

24 24

Lời giải Chọn D



;

43

 C 4



;

58



Lời giải Chọn B

23

Phương trình tương đương

Câu 6 [1D1-3.9-4] Cho phương trình:

sin 3 cos3 3 cos2sin

12 12

5,

6 6

5,

4 4

5,

3 3

Lời giải Chọn C

Điều kiện : 1 2sin 2 x0

Phương trình tương đương

sin 2sin sin 2 sin 3 cos3

1 2sin 2

x x

2

3cos 2 ( )

x x

x x