Nếu biểu thức chứa biến số dưới dấu căn thì nhân và chia với biểu thức liên hợp 2.. Nếu biểu thức chứa nhiều phân thức thì quy đồng mẫu và đưa về cùng một biểu thức.[r]
Trang 1CHƯƠNG IV GIỚI HẠN Bài 4 GIỚI HẠN HÀM SỐ.
A Tóm tắt lý thuyết:
1 Định nghĩa:
1 Giới hạn của hàm số tại một điểm:
a) Giới hạn hữu hạn : Cho khoảng K chứa điểm x0 Ta nói rằng hàm số f x( ) xác định trên K (có thể trừ điểm x0) có giới hạn là L khi x dần tới x0 nếu với dãy số ( )x n bất kì,
* Ta nói hàm số y=f x( ) có giới hạn dần tới dương vô cực khi x dần tới x0 nếu với mọi
dãy số ( ) :x n x n ®x0 thìf x ® +¥( )n Kí hiệu:x xlim ( )0f x
* Tương tự ta cũng có định nghĩa giới hạn dần về âm vô cực
* Ta cũng có định nghĩa như trên khi ta thay x0 bởi - ¥ hoặc+¥ .
2 Giới hạn của hàm số tại vô cực
* Ta nói hàm số y=f x( ) xác định trên ( ;a +¥ ) có giới hạn là L khi x ® +¥ nếu với mọi dãy số ( ) :x n x n >a và x ® +¥ n thì f x( )n ®L Kí hiệu: xlim ( )®+¥ f x =L.
* Ta nói hàm số y=f x( ) xác định trên (- ¥ ; )b có giới hạn là L khi x ® - ¥ nếu với
mọi dãy số ( ) :x n x n <b và x ® - ¥ n thìf x( )n ®L Kí hiệu:xlim ( )®- ¥ f x =L.
với c là hằng số+ lim k
Trang 2Chú ý: Định lí trên ta chỉ áp dụng cho những hàm số có giới hạn là hữu hạn Ta không áp
dụng cho các giới hạn dần về vô cực
Định lí 2: (Nguyên lí kẹp)
Cho ba hàm số f x g x h x( ), ( ), ( ) xác định trên K chứa điểm x0 (có thể các hàm đó không
xác định tại x0) Nếu g x( )£ f x( )£ h x( ) " Îx K và x xlim ( )0g x x xlim ( )0h x L
thì0
Trang 3p
p p
++ + CACL +9
106
®
-
®
-
Trang 4Cách 2: Bấm máy tính như sau ( )2
1
x x
- + CACL + x = +1 10-9 và so đáp án.
-Câu 6.
2 3 3
Trang 5Cách 2: Bấm máy tính như sau 4x5- 3x3+ +x 1 + CACL + x = - 1010 và so đáp án.
Câu 10. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của
2 0
2lim cos
+ + - + CACL + x = +1 10- 9 và so đáp án.
Trang 6-Câu 12. Cho 2
3lim
2
x
x m A
x M x
++ + CACL + x= +2 10- 9 và M = ( đáp án: A, B, C,
có kết quả
A 2. B 1. C - ¥ . D +¥
Trang 7Dạng2 Vô định ¥ - ¥ ;0.¥
Phương pháp:
1 Nếu biểu thức chứa biến số dưới dấu căn thì nhân và chia với biểu thức liên hợp
2 Nếu biểu thức chứa nhiều phân thức thì quy đồng mẫu và đưa về cùng một biểu thức
3 Thông thường, các phép đổi biến đổi này có thể cho ta khử ngay dạng vô định ¥ - ¥ ;0.¥
hoặc chuyển về dạng vô định
0
;0
-Cách 2: Bấm máy tính như sau 5x2+2x+x 5 + CACL + x = - 10 10 và so đáp án.
Câu 17. Cho lim( 2 5 ) 5
Trang 8x x
++ - Chọn giá trị đúng của lim ( )
x x
++ - + CACL + x =1010 và so đáp án.
Trang 9Cách 2: Bấm máy tính như sau 5+x2- 7+x2 + CACL + x = - 10 10 và so đáp án.
Câu 21. Cho lim( 9 2 7 1 3 )
Trang 10Cách 2: Bấm máy tính như sau 2
Cách 2: Bấm máy tính như sau x2+100+x + CACL + x = - 1010 và so đáp án.
Câu 27. Tìm giới hạn lim( 2 1 )
Lời giải :
Trang 12Cách 2: Bấm máy tính như sau 3x3+x2- x2- x + CACL + x =1010 và so đáp án.
Dạng 3: Dạng vô định
00Tìm 0
( )lim( )
x x
f x A
g x
®
=
trong đóf x( )0 =g x( )0 =0.
Để khử dạng vô định này ta sử dụng định lí Bơzu cho đa thức:
Định lí: Nếu đa thức f x( ) có nghiệm x=x0 thì ta có:
( )lim( )
x x
f x A
Chú ý:Nếu tam thức bậc hai ax2+bx + c có hai nghiệm x x1, 2 thì ta luôn có sự phân tích2
ax +bx c+ =a x x x x- - .
* Nếu f x( ) và g x( ) là các hàm chứa căn thức thì ta nhân lượng liên hợp để chuyển về các
đa thức, rồi phân tích các đa thức như trên
Trang 13Lời giải Cách 1:
2 1
2
2 1
-Cách 2: Bấm máy tính như sau
Chọn đáp án C
Cách 2: Bấm máy tính như sau
2 2
Trang 142 2
Lời giải Cách 1:
Lời giải Cách 1:
Cách 2: Bấm máy tính như sau
4 3
Lời giải Cách 1:
Trang 154 2 2
2 2 2
x
+ + CACL + x= - +2 10- 10 và so đáp án.
-B
1.4
-C
1.3
-D
1.3Lời giải
Trang 16-D
3.2-Lời giải
1lim
1
x
x x
+ CACL + x= +1 10- 10 và so đáp án.
Câu 42. Giới hạn của
3 2
+ + CACL + x= - +2 10- 10 và so đáp án.
Trang 17Câu 43. Giới hạn của 1 3
®
+ + - bằng
4.
8.5
Cách 2: Bấm máy tính như sau 3
x x
+ + - + CACL + x= +1 10- 10 và so đáp án.
-Câu 44. Giới hạn của
3
1 4
1 1lim
x
x x
®
+ + - bằng bao nhiêu?
1 1
x x
+ + - + CACL + x= +1 10- 10 và so đáp án.
-Câu 45. Giới hạn của 1 3
2lim
Trang 18( )0
2 Chia tử và mẫu cho x n với n là số mũ cao nhất của biến ở mẫu (Hoặc phân tích thành tích
chứa nhân tử x n rồi giản ước)
3 Nếu u x( )
hoặc v x( )
có chứa biến x trong dấu căn thì đưa x k ra ngoài dấu căn (Với k là
mũ cao nhất của biến x trong dấu căn), sau đó chia tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của x
(thường là bậc cao nhất ở mẫu)
Câu 46.
5lim
x®¥ x+ bằng bao nhiêu?
5.3
Lời giải
Chọn A
Cách 1: Chia cả tử và mẫu cho x
Cách 2: Bấm máy tính như sau
5
3x +2 + CACL + x = ±109 và so đáp án.
Cách 3: Bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu nên GH bằng 0
Câu 47. Giá trị đúng của
4 4
7lim
1
x
x x
®+¥
++ là.
Lời giải
Chọn B
Cách 1: Chia cả tử và mẫu cho x4
Cách 2: Bấm máy tính như sau
4 4
71
x x
++ + CACL + x =109 và so đáp án.
Cách 3: sử dụng kq: lim
n n x
b bx
suy ra GH bằng 1
Câu 48. Giá trị đúng của
2 2
Trang 19Câu 50. Giá trị đúng của 2
1 3lim
x
x x
2.2
++ + CACL + x = - 109 và so đáp án.
Trang 20Câu 51. Giá trị đúng của
3
1lim1
+
-+ + + CACL + x =109 và so đáp án.
Câu 53. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của
cos5lim
2
x
x x
Trang 21Cách 2: Bấm máy tính như sau: Chuyển qua chế độ Rad +
cos52
D 0.
Lời giải
Trang 224 4
4
4 3
Trang 23Lời giải
3
4 4
Cách 2: Bấm máy tính như sau
4 4
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP.
Câu 61. Tìm giới hạn hàm số 1
1lim
2
x
x x
2
x
x x
®
+-
Trang 24D 1.
-Câu 72. Kết quả đúng của
2 2
-A - ¥ . B
3
25-
Trang 25Câu 74. Kết quả đúng của 2
1lim
1
x
x x
