- Sử dụng các định lý và phương pháp tính giới hạn của hàm số tại một điểm.... BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.[r]
Trang 1CHƯƠNG IV GIỚI HẠN BÀI 5 GIỚI HẠN MỘT BÊN CỦA HÀM SỐ
A KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Giới hạn hữu hạn
a Định nghĩa 1
Giả sử hàm số f xác định trên khoảng x b0; , x0R Ta nói rằng hàm số f có giới hạn bên phải
là số thực L khi dần đến x0 (hoặc tại điểm x0 )nếu với mọi dãy số bất kì x n những số thuộc
khoảng x b0; mà limx n x0 ta đều có lim f x n L Khi đó ta viết
0
lim
x x f x L
hoặc f x L khi x x0
b Định nghĩa 2
Giả sử hàm số f xác định trên khoảng a x; 0 , x0R Ta nói rằng hàm số có giới hạn bên trái là
số thực L khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0) nếu với mọi dãy bất kì x n những số thuộc khoảng
a x; 0 mà limx n x0 ta đều có lim f x n L Khi đó ta viết
0
lim
x x f x L
hoặc f x L khi x x0
Chú ý:
x x f x L x x f x x x f x L
b) Các định lí về giới hạn của hàm số vẫn đúng khi thay x x0 bởi x x0
hoặc x x0
2 Giới hạn vô cực
a) Các định nghĩa
0
lim
x x f x
0
lim
x x f x
,
0
lim
x x f x
và
0
lim
x x f x
được phát biểu tương tự như định nghĩa 1 và định nghĩa 2
b) Các chú ý 1 và 2 vẫn đúng nếu thay L bởi hoặc
B PHƯƠNG PHÁP
1 Bấm máy tính
- Nhập hàm số f x( )
11 11
10 10 1 10 1 10 1 10
CÁCH ĐỌC KẾT QUẢ:
10
10
KQ KQ KQ
2 Giải tự luận
- Sử dụng các định lý và phương pháp tính giới hạn của hàm số tại một điểm
Trang 2- Lưu ý:
0 0
0; 0 , 0
x x
0 0
0 ; 0 , 0
x x
C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Dang 1: Tìm giới hạn 1 bên của các hàm đa thức, phân thức, căn thức, … và hàm trên từng khoảng Câu 1. Tính
3
3 lim
5 15
x
x x
A 1
1 5
Lời giải Chọn B.
Câu 2. Tính
0
2 lim
x
Lời giải Chọn D.
1 1 1
Câu 3. Tính
2
3 2 1
4 3 lim
x
Lời giải Chọn D.
2
1 1
Câu 4. Cho hàm số
3
5 6 1
3 1
f x
1
x f x
A không tồn tại B 2 C.2 D.0
Lời giải Chọn B.
Câu 5. Tính
2 2
3 2 lim
2
x
x
A không tồn tại B 1 C.1 D.
Lời giải Chọn A.
Trang 3
x
x
2
lim 4
Lời giải Chọn D.
Tập xác định của hàm số là 2;2, hàm số không xác định trên 2, ,b b 2 nên không tồn
2
lim 4
Câu 7. Tính 1 2
5 lim 1
2 3
x
x x
Lời giải Chọn C.
Với mọi x 1 ta có : 2 2
2
5
x x
2
lim
x x x
Lời giải Chọn B.
2 2
lim
x
L
Kết luận L
Trang 4Câu 9. Tính
1
lim
x f x
với
2
3, 1
13, 1
1 7 2, 1
Lời giải Chọn B.
Ta có
2
lim lim( 3) 2
Vậy ta có 1
x
Câu 10. Tính
2 2 3
lim
3
x
x
Lời giải Chọn B.
2
3
L
x
3
x
, và
3
lim 2 1 7
Kết luận L
Câu 11. Tính
2
lim
với
2
2 3 2
5 2
3 1 2
A không tồn tại B C.5 D.7
Lời giải Chọn D.
( 2) ( 2)
Câu 12. Tính
2
lim
với
2
2 3 2
5 2
3 1 2
A không tồn tại B C.5 D.7
Lời giải Chọn C.
2
Câu 13. Tính lim 2 2 1
Trang 5A 0 B C. D.7.
Lời giải Chọn C.
Vì
2
lim
1
x
x
x
x
Câu 14. Tính lim 22 3
5
x
x
Lời giải Chọn C.
2
3 2
Câu 15. Tính 6
3
2 lim
3 1
x
x x
A 1
3
Lời giải Chọn A.
3
3
1
x
Câu 16. Tính lim 2 4
Lời giải Chọn A.
2
2
4
Câu 17. Cho hàm số
2 1
1 1
x khi x
Khi đó
1
lim
x f x
bằng:
Lời giải Chọn D.
Trang 6
2
1
1
x
f x
x
Câu 18. Tính
3 2 1
lim
1 1
x
Lời giải Chọn C.
2
3 2
2
x x
Câu 19. Chọn kết quả đúng của 2 3
0
1 2 lim
x x x
A B 0 C D Không tồn tại
Lời giải Chọn C.
x
0
Khi x 0 x 0 x30
Vậy 0 3
2 lim
x
x x
Câu 20. Cho
2 2
4
2 2
x x
Tính
2
lim
x f x
Lời giải Chọn A.
Dạng 2: Tìm tham số để hàm số có giới hạn tại 1 điểm cho trước
x m khi x
f x
có giới hạn tại 0
x
Lời giải Chọn D.
Ta có:
Hàm số có giới hạn tại x 0
Trang 7Câu 2 [1D4-2]Tìm các giá trị thực của tham số a để hàm số 2 3 2
f x
2
lim
x f x
Lời giải Chọn A.
Ta có:
; lim2 lim2 2 3 3
Hàm số có giới hạn tại x 2
2
để tồn
tại lim1
x f x
2
m
Lời giải Chọn B.
Ta có
2
Vậy ta có
2 3
1
3 6
x
x
có giới hạn tại x 3
2 3 3
Lời giải ChọnD.
2 3
x
f x
3
Hàm số có giới hạn tại x 3 3 1
3
b
3
x b khi x
có giới hạn tại x 1 Giá trị của a b bằng
Trang 8Hướng dẫn giải
Chọn B.
Tại điểm x 1 ta có:
1
lim
1
lim 3
3 b f 1
Hàm số có giới hạn tạix 1 khi và chỉ khi
Điều này tương đương với 3 b 1 a a b 2
Vậy khi hàm số liên tục trên thì a b 2
3
1
1 1
1
x
khi x
để hàm
số có giới hạn tại x 1
A.m 1; m 2 B.m 1; m 2 C.m 1; m 2 D.m 1; m 2
Lời giải Chọn C.
3
2
1
1
x
x
Hàm số có giới hạn tại x 1 khi và chỉ khi
x h x x h x
2
m
m
2 3 2
2 2
2
x
Với giá trị nào của a thì hàm số đã cho có
giới hạn tại điểm x 2?
Lời giải Chọn D.
2
3 2
2
lim
Hàm có giới hạn tại x 2 khi và chỉ khi
x f x x f x a
3
3
1 2
3
x
x
nÕu nÕu
để tồn
tại lim3
x f x
Lời giải Chọn C.
Trang 9Ta có
3
1 2
x
f x
x
Vậy ta có
33 2 2
khi 2 2
1
khi 2 4
x
x x
f x
để tồn
tại lim2
x f x
Lời giải Chọn A.
Ta có
3
2
x
f x
Hàm số có giới hạn tại x 2
1 1
4 4
2 2 2
; 2
f x
có
giới hạn tại x 2 Tổng các giá trị của S là
Lời giải Chọn D.
2
2 2 2
Để hàm số có giới hạn tạix 2
2a2 2 2 a
a a
2
a a
Vậy S 1; 2 .
1 3
3 5
7 5
x
x
Xác định a, b để hàm số có giới hạn tại x 3
và x 5
A.a 3, b 8 B.a 3, b 8 C.a 3, b 8 D.a 3, b 8
Lời giải Chọn A.
Tại x 3:
Ta có lim f x lim 1 1 và lim f x limax b 3a b
Trang 10Do đó hàm số có giới hạn tạix 3 khi và chỉ khi
Tại x 5
Ta có
5
x f x a b
và
5
x f x
Do đó hàm số có giới hạn tạix 5 khi và chỉ khi
Từ 1 và 2 suy ra: 3 1 3
3 2
khi 1 1
khi 1
1 khi 1
x x
Biết hàm số f x liên tục tại x 1 Giá trị
của m, n là
Hướng dẫn giải
Chọn D.
2
3 2
2
1
1
f n
Để hàm số liên tục tại x 1 thì
x f x x f x f
Ta chọn n 1 và m 0
2 2
2 6
4 6
Biết hàm số f x có giới hạn tại x 3 và
5
x Hệ thức nào sau đây là đúng?
A.2a b 0 B.2a b 0 C.a 2b0 D.a2b0
Lời giải Chọn B.
+ Tại x 2:
2
x f x
2
Hàm số có giới hạn tại x 2 khi và chỉ khi
+ Tại x 6:
6
x f x
6
Hàm số có giới hạn tại x 6 khi và chỉ khi
Từ 1 và 2 suy ra:
5
2
5
a b
b
Trang 11Câu 14 [1D4-4] Biết hàm số
sin
2 sin
2 cos
2
có giới hạn tại
2
2
Hệ thức nào sau đây là đúng?
A.3a b 0 B.3a b 0 C.a 3b0 D.a3b0
Lời giải Chọn C.
+ Tại
2
x ta có:
Hàm số có giới hạn tại
2
+ Tại
2
x ta có:
Hàm số có giới hạn tại
2
Từ 1 và 2 suy ra:
1
2
b
a b
a b
a
3
2
0
4
2 2
x x
x
x x
Tìm a, b để hàm số cùng có
giới hạn tại x 2 và x 0
24
12
24
12
24
12
24
12
Lời giải Chọn A.
Tại x 0 ta có
f x
2 1 1
1 1
1 1
x x
Trang 12Và
3
2
1 lim
x
1 12
Nên
3
12 12
f x
x
Do đó hàm số có giới hạn tại x 0 khi và chỉ khi
Tại x 2:
2
4
2
x
x
Do đó hàm số có giới hạn tại x 2 khi và chỉ khi
Từ 1 và 2 suy ra: hàm số cùng có giới hạn tại x 0 và x 2 khi và chỉ khi
25 25
12 12
61
24
b b
Vậy với 61
24
12
b thì hàm số cùng có giới hạn tại x 0 và x 2