chuyên đề góc, khoảng cách, quan hệ vuông góc, quan hệ song song

Cách 2: Khi xác định được    P  Q c thì ta làm như sau:Phương pháp giải chung: Muốn tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, trước hết ta phải tìm hình chiếu vuông góc của đ

CHUYÊN ĐỀ 15: GÓC, KHOẢNG CÁCH, QUAN HỆ VUÔNG GÓC, QUAN HỆ SONG SONG

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1) GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

+ Nếu a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0° + Nếu a và b cắt nhau thì góc giữa chúng là góc nhỏ nhất trong các

góc được tạo bởi hai đường thẳng.

+ Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là góc giữa hai đường

thẳng a' và b' cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc

2) GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

+ Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng  P thì góc giữa đường thẳng a và mặt

phẳng  P bằng 90°.

Tức là: a P   ,a P   90

+ Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng  P thì góc giữa đường thẳng a

và hình chiếu a' của nó trên  P gọi là góc giữa đường thẳng

Lấy một điểm A tùy ý trên a và xác định hình chiếu H của A trên  P Khi đó, a' là đường

thẳng đi qua hai điểm A và M.

Cách 2: Khi xác định được    P  Q c thì ta làm như sau:

Phương pháp giải chung: Muốn tìm khoảng cách từ một điểm đến

một mặt phẳng, trước hết ta phải tìm hình chiếu vuông góc của

điểm đó trên mặt phẳng Việc xác định hình chiếu của điểm trên

mặt phẳng ta thường dùng một trong các cách sau:

Cách 1:

+ Bước 1: Tìm một mặt phẳng  Q chứa M và vuông góc với  P+ Bước 2: Xác định giao tuyến:     P  Q

Đường thẳng Δ cắt hai đường thẳng a, b và cùng vuông góc với mỗi

đường ấy gọi là đường vuông góc chung của a và b Đoạn thẳng MN

gọi là đoạn vuông góc chung của a và b.

b) Một số hướng tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

TH1: Khi a, b chéo nhau và a b .

+ Bước 1: Dựng mặt phẳng  P chứa b và vuông góc với a tại M + Bước 2: Trong  P dựng MN b tại N.

+ Bước 3: Đoạn MN là đoạn vuông góc chung của a và b

Mục tiêu: Chuyển về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

 Hướng 1: Chuyển thông qua khoảng cách từ một đường đến

III QUAN HỆ SONG SONG

1 Phương pháp chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng :

♦Phương pháp1:

Muốn chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng ta chứng minh đường thẳng đó không nằm trong mặt phẳng và song song với một đường thẳng nào đó nằm trong mặt phẳng.

Muốn chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P), ta chứng minh đường thẳng a

và mặt phẳng (P) không có điểm chung cùng vuông góc với một đường thẳng b.

♦Phương pháp 4:

Muốn chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P), ta chứng minh đường thẳng a

và mặt phẳng (P) không có điểm chung cùng vuông góc với một mặt phẳng (Q).

♦Phương pháp 5:

Muốn chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P), ta chứng minh đường thẳng a song song với đường thẳng b mà đường thẳng b song song với mặt phẳng (P)(a và (P) không có điểm chung)

2 Phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song:

♦Phương pháp 1:

Sử dụng định lý: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đó(hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó).

Sử dụng định lý: Nếu đường thẳng a song song mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa a mà cắt mặt phẳng (P) thì cắt theo giao tuyến b song song với đường thẳng a

P

Q

R

1 Phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng:

♦Phương pháp 4:

Sử dụng tính chất:Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.

♦Phương pháp 2:

Sử dụng định lý:Nếu đường thẳng a song song mặt phẳng (P),

mà đường thẳng d vuông góc mặt phẳng (P), thì d vuông góc với đường thẳng a.

B CÁC DẠNG BÀI TẬP TRỌNG TÂM

Dạng 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng –giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

1.1 BÀI TOÁN GIAO TUYẾN

Ví dụ 1 Cho tứ diện ABCD Gọi I, J và K lần lượt là trung điểm của AC BC và , BD Giaotuyến của hai mặt phẳng ABD và  IKJ là đường thẳng:

I

D

C B

A AM M là trung điểm của ( AB ).

B AN N là trung điểm của ( CD )

C AH H là hình chiếu của ( B trên CD )

D AK K là hình chiếu của ( Ctrên BD).

Lời giải.

G

N A

C

D B

 A là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng (ACD) và GAB 

hai mặt phẳng ACD và  GAB

Vậy ABG  ACD AN. Chọn B.

Ví dụ 3 Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M N lần lượt là trung,

điểm AD và BC Giao tuyến của hai mặt phẳng SMN và  SAC là:

 Slà điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng SMN và  SAC .

 Gọi OACBD là tâm của hình hình hành

Trong mặt phẳng  ABCD gọi  T ACMN

Điểm K là trung điểm của BC suy ra KIBC  IK IBC

Điểm I là trung điểm của AD suy ra IKAD  IK KAD

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng IBC và  KAD là  IK. Chọn A.

Ví dụ 5 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi d là giao tuyến của hai

mặt phẳng SAD và  SBC Khẳng định nào sau đây đúng?

A d qua S và song song với BC.B d qua S và song song với DC

C d qua S và song song với AB D d qua S và song song với BD.

1.2 CÁC BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM

Ví dụ 1 Cho tứ diện ABCD Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD; G là trọng tâmtam giác BCD Giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng  ACD là

A điểm F

B giao điểm của đường thẳng EG và AF

C giao điểm của đường thẳng EG và AC

D giao điểm của đường thẳng EG và CD

C A

B

Vì G là trọng tâm tam giác BCD F là trung điểm của , CD  G ABF.

Ta có E là trung điểm của AB  EABF

Gọi M là giao điểm của EG và AF mà AF ACD suy ra M ACD

Vậy giao điểm của EG và mp ACD là giao điểm   M =EG AFÇ Chọn B.

Ví dụ 2 Cho tứ diện ABCD. Các điểm ,P Q lần lượt là trung điểm của AB và CD điểm ; R nằmtrên cạnh BC sao cho BR2RC Gọi S là giao điểm của mặt phẳng PQR và cạnh  AD Tính

Gọi I là giao điểm của BD và RQ Nối P với ,I cắt AD tại S

Xét tam giác BCD bị cắt bởi IR ta có , 1 2.1 1 1

DẠNG 2 :QUAN HỆ SONG SONG CỦA ĐƯỜNG THẲNG-MẶT PHẲNG

Ví dụ 1 Cho tứ diện ABCD Gọi ,I J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD Chọnkhẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A IJ song song với CD B IJ song song với AB

C IJ chéo CD D IJ cắt AB

Lời giải.

J I

Gọi M N lần lượt là trung điểm của , BC BD ,

 MN là đường trung bình của tam giác BCD  MN / /CD  1

Ví dụ 2 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi M N I theo thứ, ,

tự là trung điểm của SA SD và , AB. Khẳng định nào sau đây đúng?

A NOM cắt  OPM  B MON // SBC 

C PON  MNP NP D NMP // SBD

Lời giải.

P N

Ta có MN là đường trung bình của tam giác SAD suy ra MN //AD  1

Và OP là đường trung bình của tam giác BAD suy ra OP//AD  2

Từ    1 , 2 suy ra MN //OP//AD  M N O P, , , đồng phẳng

Lại có MP//SB OP //, BC suy ra MNOP // SBC hay  MON // SBC Chọn B 

DẠNG 3 :QUAN HỆ VUÔNG GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Ví dụ 1 Cho hình chóp S ABCD. với đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , có AD CD= =a,

Dùng phương pháp loại trừ, suy ra D là đáp án sai Chọn D.

Ví dụ 2 Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết rằng SA=SC, SB SD=

Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A AB^ (SAC) B CD^AC. C SO^ (ABCD) D CD^ (SBD)

D

S

Vì SA=SC Þ DSAC cân tại S mà O là trung điểm ACÞ SO^AC.

Tương tự, ta cũng có SO^BD mà AC BD OÇ = Ì (ABCD) Þ SO^ (ABCD) Chọn C.

DẠNG 4 :MỐI QUAN HỆ VỀ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG-MẶT PHẲNG

F

C A

Ta có IF là đường trung bình của ACD 1

Þ íï

= ïïî

Mặt khác:

1212

Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh AB a= , BC= 2a Hai mặt bên (SAB)

và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD), cạnh SA a= 15 Tính góc tạo bởi đường

thẳng SC và mặt phẳng (ABD)

A 30 0 B 45 0 C 60 0 D 90 0

Do SA^ (ABCD) nên SC ABD· ,( )=SC ABCD· ,( )=SC AC· , =SCA·

Xét tam giác vuông SAC, ta có tanSCA· SA 2SA 2 3

Suy ra SCA =· 60 0 Chọn C

Ví dụ 3 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh a Đường thẳng

SO vuông góc với mặt phẳng đáy  ABCD và  3

S

B A

Gọi Q là trung điểm BC , suy ra OQBC

DẠNG 5 :MỐI QUAN HỆ VỀ KHOẢNG CÁCH ĐƯỜNG THẲNG –MẶT PHẲNG

Ví dụ 1.Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có ba kích thước AB=a , AD b , AA c.Trong các kết quả sau đây, kết quả nào là sai?

C' D'

M H

1 Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau

2 Hai đường thẳng không cắt nhau và không song song thì chéo nhau

3 Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung

Mệnh đề nào đúng ?

A 1 và 2 đúng B 1 và 3 đúng

C Chỉ 3 đúng D Cả 1, 2 và 3 đều đúng

Câu 2: Trong không gian cho 4 điểm không đồng phẳng, có thể xác định được nhiều nhất bao

nhiêu mặt phẳng phân biệt từ các điểm đó

A 2 B 3 C 4 D 5

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD với đáy là tứ giác lồi có các cạnh đối không song song AC cắt

BD tại O, AD cắt BC tại I khi đó, giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là :

A SI B SB C SC D SO

Câu 4: Cho tứ diện ABCD Gọi I, K lần lượt là trung điểm AB, AD IK song song với mặt phẳng

nào ?

A (BCD) B (ABD) C (ABC) D (ACD)

Câu 5: Cho tứ diện ABCD Điểm M nằm trên đoạn AC Thiết diện của tứ diện cắt bởi (MBD) là :

A Hình thang B Hình bình hành C Hình tam giác D Hình vuông Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, Cạnh bên SA  (ABCD) và

SA = a Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD) là :

A 450 B 600 C 300 D 900

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với mặt phẳng

(ABCD) Khi đó:

A.BASAC B BASBC C BASAD D BASCD

Câu 8: Hình lăng trụ đứng có các mặt bên là hình gì ?

A Hình thang B Hình vuông C Hình chữ nhật D Hình thoi

Câu 9: Qua một điểm O cho trước có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ( ) chotrước ?

A 0 B 1 C 2 D vô số

Câu 10: Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng ( ) Qua a có bao nhiêu mặt phẳng vuônggóc với ( ) ?

A 0 B 1 C 2 D vô số

II CÂU HỎI THÔNG HIỂU

Câu 1: Trong không gian cho hai hình vuông ABCD và ABC’D’ có chung cạnh AB và nằm

trong hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm O và O’ Hãy xác định góc giữa cặp vectơ

Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc

của S lên (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC Biết tam giác SBC là tam giác đều Tính số đo của góc giữa SA và (ABC)

A 600 B 750 C 450 D 300

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông có tâm O, SA (ABCD) Gọi I

là trung điểm của SC Khẳng định nào sau đây sai ?

A BD SC B IO (ABCD).

C (SAC) là mặt phẳng trung trực của đoạn BD D SA= SB= SC.

Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA  (ABCD) AE và AF

là các đường cao của tam giác SAB và SAD, Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Đường thẳng SA vuông góc

với mặt phẳng đáy, SA = a Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) là , khi đó tan nhận giá trị nào trong các giá trị sau?

A tan = 2 B tan = 2

2 C tan = 3 D tan = 1 Câu 9: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A Cho đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và b nằm trong mặt phẳng (P) mọi

mặt phẳng (Q) chứa a và vuông góc với b thì (P) vuông góc với (Q)

B Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và mặt phẳng (P) chứa a, mặt phẳng

(Q) chứa b thì (P) vuông góc với (Q)

C Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), mọi mặt phẳng (Q) chứa a thì (P)

vuông góc với (Q)

D Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước Câu 10 : Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D 1 1 1 1 có ba kích thước AB = a, AD = 2a, AA1= 3a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A1BD) bằng bao nhiêu?

Câu 1: Cho hình lập phươngABCD A B C D     Gọi M N P, , lần lượt là trung điểm các cạnhAB,

BC,C D  Xác định góc giữa hai đường thẳng MN vàAP

Ta có AC là đường chéo của hình vuông ABCD nên AC  a 2

Áp dụng định lý cosin trong tam giác ACP ta có:

2cos 45 90

CP AC AP AC AP CAP

CAP CAP

14

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi tâm O, đường thẳng SO vuông góc với

mặt phẳng ABCD  Biết AB SB a,SO a 6.

OAB OSB AO SO SOA

Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân ở A, cạnh BC 2 3a Tam giác SBC

cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Biết thể tích khối chóp

0 S

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng

(ABCD); M, N là hai điểm nằm trên hai cạnh BC, CD Đặt BM x, DN y 0 x, y a      

Hệ thức liên hệ giữa x và y để hai mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc với nhau là:

A x2a2 a x 2y    B x2a2 a x y   

C x22a2 a x y    D 2x2a2 a x y   

Hướng dẫn giải Đáp án B.

Chọn hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ

Câu 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Mặt bên hợp đáy

một góc 60 Khoảng cách giữa SA và BD theo a là:

Gọi I là trung điểm CD O là tâm hình vuông ABCD  SOABCD

Ta có OI CD, SI CD   SCD ; ABCD   SI;OI SIO 60  

Câu 6: Cho lăng trụ ABCD.A B C D1 1 1 1 có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a, AD a 3   Hình

chiếu vuông góc của A1 lên  ABCD trung với giao điểm của AC và BD Tính khoảngcách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A BD)1

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh bên bằng nhau và bằng 2a, đáy là hình chữ nhật

ABCD có AB 2a, AD a   Gọi K là điểm thuộc BC sao cho 3BK 2CK 0   

Tínhkhoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SK

Do AD / /BC d AD;SK  d AD; SBC   

Do các cạnh bên của hình chóp bằng nhau nên SOABCD

Câu 8: Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 2a 3 và đáy ABCD là hình bình hành Biết diện

tích tam giác SAB bằnga 2 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD

D A

Đáp án B

Phương pháp: Tìm  P chứa a mà P / /b Khi đó d a, b d b; P    d I, P    với Ithuộc b

Cách giải: Ta có SAB chứa SA và CD / / SAB 

Nên ta có: d SA;CD  d CD, SAB    d D; SAB   

Ta lại có: SABCD D.SAB C.SAB D.SAB     SAB

3V 3.2a

Câu 9: Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng a3 Mặt bên SAB là tam giác đều cạnh a và đáy

ABCD là hình bình hành Khoảng cách giữa SA và CD bằng

Đáp án là D.

S

C B

D A

S ABC SAB

a V

Câu 10: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAC 60, hình chiếu của

đỉnh S trên mặt phẳng ABCD trùng với trọng tâm tam giác ABC, góc tạo bới hai mặtphẳng SAC và ABCD là 60 Khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCD theo a bằng

O

a

S

H C

D

B G

Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA a ,SB a 3   Mặt

phẳng SAB vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Khoảng cách từ điểm C đến mặtphẳng SAD là

Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng ABCD

Do SAB  ABCD nên SH là đường cao khối

2 SAD

Câu 12: Cho lăng trụ đứng ABC.A 'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB a, AA ' 2a  

Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A'BC).

Gọi H là hình chiếu của A lên A’B Khi đó

Câu 13: Cho hình lập phương ABCD.A 'B'C 'D ' có cạnh bằng1 Cắt hình lập phương bằng một

mặt phẳng đi qua đường chéo BD ' Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích thiết diện thuđược

A 6

3 D

6 2

Hướng dẫn giải Đáp án D

Phương pháp: Thiết diện đi qua BD’ luôn là 1 hình bình hành

Gắn hệ trục tọa độ sau đó tính diện tích của hình bình hành và tìm giá trị nhỏ nhất củahình bình hành đó

Cách giải: Giả sử mặt phẳng đi qua BD’ cắt A’B’ tại

E E A 'B' và cắt hình lập phương theo thiết diện là

BED 'F, ta dễ dàng chứng minh được BED 'Flà hình bình

hành Gắn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ ta có