Bài 6. Bài tập về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

[r]

Câu 1 [2D1-3.12-3] (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị Lần 1) Cho x , y  thỏa mãn 0

3 2

x y 

và

biểu thức

4 1 4

P

 

đạt giá trị nhỏ nhất

Tính x2y2

A

25

5

2313

153

100.

Lời giải

Tác giả: Minh Anh Phuc; Fb: Minh Anh Phuc

Chọn D

Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:

 2

3

2

P





Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi

4

4x 4y  x y mà

3 2

x y 

nên

6 5 3 10

x y









 

Suy ra giá trị nhỏ nhất của P là

25

6 khi

6 5 3 10

x y









 



100

x y

Cách 2:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

2

x x

y y

y  y   P20 5 25 33 3 9 2. 256 .

Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi

4 25 9

1 25

x x

y y









0; 0 3 2

x y







 



6 5 3 10

x y







 

 

Suy ra giá trị nhỏ nhất của P là

25

6 khi

6 5 3 10

x y









 



100

x y

Cách 3:

Do x  và 0

3 2

x y 

nên

3 0;

2

x   

 

Xét hàm số   4 1

6 4

f x

 

 trên

3 0;

2

 

 

 

Ta có

 

 2

2

6 4

f x



;

  0 6 4 2 2 6 4

6 4

x x





0;

3

2 0;

2

x

x

  



 





 

Bảng biến thiên

Ta có  

0

lim

x f x



;

 

3 2

lim

x

f x



 

  

 



;

6 25

f    

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số f x  ta có 3  

0;

2

6 25 min

f x f

 

  

 

Suy ra giá trị nhỏ nhất của P là

25

6 khi

6 5 3 10

x y









 



100

x y

Câu 2 [2D1-3.12-3] (Văn Giang Hưng Yên) Cho 0x y,  thỏa mãn 1

2 1

2

2018 2017

2 2019



Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

4 2 3  4 2 3  25

Khi đóM m bằng bao nhiêu?

A

383

136

25

391

16

Lời giải

Tác giả: Trần Văn Tiền; Fb: Tien Tran

Chọn D

+)

2

2

2

2018

2 2019

+) Xét hàm số f t( )t22018 2017 t

, t 0, ta có:

( ) 2017t ln 2017 2 2018.ln 2017 0, 0

suy ra f t( ) đồng biến trên 0;  .

Từ đó ta có (1)  f x f 1 y  1 y x y 1 x

+) Xét biểu thức: S 4x23y 4y23x25xy

+) Tìm GTLN, GTNN của hàm số g x 16x4  32x318x2 2x12

trên 0;1.

Ta có: g x 64x3 96x236x 2

Suy ra

 

0;1 4

4 1 0;1 2

x

x









 



Ta có

g   g   g  g  g 

 

Khi đó

; m

1 0

4

t

 

thì S16t2 2t12 Khảo sát hàm số y16t2 2t12

trên

1

0;

4

 

 

  để tìm max, min