Hướng dẫn giải chi tiết về cấp số cộng lớp 11 | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

Gọi x, y, z theo thứ tự tăng dần của độ dài ba cạnh của tam giác.. Tìm số đo các góc đó. Tìm bốn số đó.. Sử dụng công thức tính tổng khai triển hai vế, cách giải hoàn toàn tương tự câu [r]

CẤP SỐ CỘNG A.TÓM TẮT GIÁO KHOA

1 Cấp số cộng là một dãy số ( vô hạn hay hữu hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó và một số d không đổi, nghĩa là:

(u ) là cấp số cộng n   n 2, un un 1 d

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng

2.Định lý 1: Nếu (u ) là một cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng n ( trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là k 1 k 1

k

u

2

  



Hệ quả: Ba số a, b, c ( theo thứ tự đó) lập thành một cấp số cộng a c 2b 1) Định lý 2: Nếu một cấp số cộng có số hạng đầu u và công sai d thì số hạng 1 tổng quát u của nó được xác định bởi công thức sau: n un u1n 1 d 

2) Định lý 3: Giả sử un là một cấp số cộng có công sai d

Gọi

n

k 1

S u u u u



    

( S là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng) Ta có :n

n

n 2u n 1 d

n u u

S

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.

DẠNG 1: Chứng minh một dãy số un là cấp số cộng.

PHƯƠNG PHÁP

Để chứng minh dãy số un là một cấp số cộng, ta xét Aun 1  un

 Nếu A là hằng số thì un là một cấp số cộng với công sai dA

 Nếu A phụ thuộc vào n thì un không là cấp số cộng.

Ví dụ: Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số cộng Tìm số hạng đầu và công sai

của cấp số cộng đó:

a) Dãy số un với un 19n 5 b) Dãy số un với un 3n 1

c) Dãy số un với 2

n

u n n 1 d) Dãy số un với un   1n10n

LỜI GIẢI

a) Dãy số un với un 19n 5

Ta có un 1  un 19 n 1   519n 5  19 Vậy un là một cấp số cộng với

công sai d19và số hạng đầu u1 19.1 5 14 

b) Dãy số un với un 3n 1

Ta có un 1 un 3(n 1) 1 ( 3n 1)     3 Vậy un là một cấp số cộng với công

sai d3và số hạng đầu u1 3.1 1 2

c) Dãy số un với 2

n

n 1 n

u   u  n 1  n 1  1 n n 1 2n 2 , phụ thuộc vào n

Vậy un không là cấp số cộng.

d) Dãy số un với  n

n

u  1 10n

Ta có  n 1    n  n  n  n

n 1 n

u   u  1  10 n 1   1 10n  1 10 1 10 2 1

, phụ thuộc vào n Vậy un không là cấp số cộng.

DẠNG 2: Tìm số hạng đầu tiên, công sai của cấp số cộng, tìm số hạng thứ k của cấp số cộng, tính tổng k số hạng đầu tiên.

PHƯƠNG PHÁP

Ta thiết lập một hệ phương trình gồm hai ẩn u1 và d Sau đó giải hệ phương trình này tìm được u1 và d.

Muốn tìm số hạng thứ k, trước tiên ta phải tìm u1 và d Sau đó áp dụng công thức:

Muốn tính tổng của k số hạng đầu tiên, ta phải tìm u1 và d Sau đó áp dụng công thức:  1 k 1

k

k 2u (k 1)d

k u u

S

Ví dụ: Tìm số hạng đầu tiên, công sai, số hạng thứ 20 và tổng của 20 số hạng đầu

tiên của các cấp số cộng sau, biết rằng:

a) 5

9

u 19

u 35

 







 b) 2 3 5

4 6

u u u 10

u u 26





12

u u 14

s 129







 d) 62 2

u 8

 







LỜI GIẢI

a) 5  

9

u 19

1

u 35

 







 Áp dụng công thức un u1n 1 d  , ta có:

1

1

u 8d 35 d 4



Vậy số hạng đầu tiên u1 3, công sai d4

Số hạng thứ 20: u20u119d 3 19.479

Tổng của 20 số hạng đầu tiên:  

1 20

20 2u 19d

2



b) 2 3 5  

4 6

u u u 10

1

u u 26





 Ta cũng áp dụng công thức un u1n 1 d  :

1

1

2u 8d 26 d 3

u 3d u 5d 26



Vậy số hạng đầu tiên u1 1, công sai d3

Số hạng thứ 20: u20u119d 1 19.358

Tổng của 20 số hạng đầu tiên:  

1 20

20 2u 19d

2



c) 3 5  

12

u u 14

1

s 129







 Áp dụng công thức unu1n 1 d  , 1

n

n 2u (n 1)d S

2



Ta có:  

1

5 u

1

d 2







Vậy số hạng đầu tiên u1 5

2

 , công sai d 3

2



Số hạng thứ 20: u20 u1 19d 5 19.3 31

Tổng của 20 số hạng đầu tiên:  1 

20

d)

6

u 8

 

1

u 8 5d

8 4d 8 2d 16

  



 



Giải   :20d2 96d 112 0 d 14 d = 2

5

Vớid 14 u1 6

5

Số hạng thứ 20: u20 u1 19d 6 19.14 236

Tổng của 20 số hạng đầu tiên:  1 

20

Vớid 2 u12

Số hạng thứ 20: u20u119d 2 19.236

Tổng của 20 số hạng đầu tiên:  

1 20

20 2u 19d

2



DẠNG 3: Dựa vào tính chất của cấp số cộng, chứng minh đẳng thức:

Ví dụ: Cho a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, chứng minh rằng:

a).a22bcc22ab

b).a28bc2b c 2

c).a2ab b ,a 2 2ac c , b 2 2bc c 2 là cấp số cộng

LỜI GIẢI

a) Vì a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng: a c 2ba2b c

Ta có:a2 2ab a 2a a c   ac c 2b c   c2 2bc

b) Ta có 2  2

a 8bc 2b c 8bc

c) Ta cần chứng minh:

a2ab b 2  b2bc c 22 a 2 ac c 2

2

 2

  (đúng)

BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu 1: Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết:

a) 7

15

u 27

u 59

 







 b) 9 2

13 6

u 5u

u 2u 5

 





 c) 2 4 6

u u 2u

   





d) 3 7

2 7

u u 75

  







 e) 62 7 2

4 12

u u 60

u u 1170





3

s 21









LỜI GIẢI

Gọi số hạng đầu là u1 và công sai là d

u 59 u 14d 59 d 4

u 8d 5 u d

c) 2 4 6  

1

u u 2u

   







1

1

2u 5d 0 d 2

u 7d u 6d 2 u 3d



d) 3 7  

2 7

1

u u 75

  









1

u d u 6d 75 u 2 u 12 75

u d u 6d 75



1

u 3

u 14u 51 0

u 17

 







Vậy u1 3

d 2

 







 hoặc u1 17

d 2

 









4 12

u u 60

1

u u 1170







 

1

1

2u 20d 60

u 6d u 14d 60

1

u 30 10d

30 10d 3d 30 10d 11d 1170

  



 



Giải    : 30 7d 230 d 2 1170 2 21

50d 360d 630 0 d d = 3

5

21

5

   Vớid 3 u1 0

f)

3

s 21









Ta có: S3 21 u1u2u3 21 u1u1d u 12d21 d 7 u 1

u u u 155 u  u d  u 2d 155

Vớiu1 9 d2 Vớiu1 5 d2

Câu 2: Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết:

1) 3

5

S 12

S 35

 







 2) 12 2 2 3 2





 3) 12 2 2 3 2 4 2

u u u u 16







4) 5

1 2 3 4 5

S 5

u u u u u 45

 







 5)

4

S 20

 









6) 12 2 2 3 2 4 25 2





1 2 3

u u u 8

   







 8)

1 5

3 4

5

u u

3 65

u u

72









LỜI GIẢI

1) 3

5

S 12

S 35

 









1

1 1

3

2

2u 4d 35 2







2) 12 2 2 3 2





2

u u d u 2d 9



 



d 2

d 4







Với d 2 u1 1 Với d2 u1 5

3) 12 2 2 3 2 4 2

u u u u 16







u u d u 2d u 3d 16



 



 

1

2

4u 6d 16 1



 



Từ  1

16 6d 3



    thay vào  2 được:

                   

Với d 2 u1 1 Với d2 u1 7

4) 5

1 2 3 4 5

S 5

u u u u u 45

 









5 2u 4d 5 2u 4d 2 u 1 2d (1) 2

u u d u 2d u 3d u 4d 45 (2)





 

 Thay (1) vào (2):

1 2d 1 d 1 d 1 2d       45 1 2d 1 2d 1 d 1 d       45

1 4d2 1 d2 45

    Đặt td , t2 0

1 4t 1 t   45 4t 5t 44 0

  (nhận) hoặc t 11

4

 ( loại) d2  4 d2

Với d 2 u1 3 Với d2 u1 5

5)

4

S 20

 









2 2u 3d 20



 





 

1

3

2

2

5 d 5 d d 5 d 2d 5 d 3d



 





 





Đặt:

2

d

t; t 0

4  

2 25 t 2 25 9t

25 9t 25 t 24 25 9t 25 t 24 25 9t 25 t 24

24 20 4t 25 9t 25 t 9t 154t 145 0 t t = 1

9

2

Vớid 145 u1 5 145

    Vớid 145 u1 5 145

2

Vớid 1 u1 5 3 7

2 2

     Vớid 1 u1 5 3 13

2 2

    

6) 12 2 2 3 2 4 25 2







u u d u 2d u 3d u 4d 20



 



2

5u 10d 20 u 4 2d



 



Thay:u1  4 2d vào 2 được:

4 2d 24 2d d  24 2d 2d  24 2d 3d  24 2d 4d  2 170

Vớid 3 u1  4 62 Vớid3 u1  4 6 10.

7) 1 2 3

1 2 3

u u u 8

   









1 2 3

u u d u 2d 12

u u u 8

     



 





 

1 1

u 4 d 1 3u 3d 12

u u d u 2d 8 u u d u 2d 8 2

  

  

Thay (1) vào (2) ta được:  4 d  4 d d   4 d 2d   8 4 d d 4    2

Vớid3 2 u1 4 3 2 Vớid3 2 u1 4 3 2

8)

1 5

3 4

5

u u

3

65

u u

72







1 1

5

u u 4d

3 65

u 2d u 3d

72





 



            







Câu 3: Xác định số hạng đầu, công sai và số hạng thứ n của các cấp số cộng sau,

biết rằng:

a) 12

18

S 34

S 45

 







 b) 5

10

u 10

S 5

 







 c) S20 S10 S5

5  3 2 d)

20 10

15 5

S 2S

S 3S









LỜI GIẢI

a)

1

1

u 34

d

2









33 1

9 9

    

1

1

u 4d 10

10 2u 9d

2

u u  n 1 d 105 19n  

c)

20 10

20 2u 19d 10 2u 9d





1 1

n 1

2u 55d 0 u 0

u 0 2u 24d 0 d 0



20 10

1

20 2u 19d 20 2u 9d

u u u

S 3S 15 2u 14d 15 2u 4d







Câu 4: Cho cấp số cộng:u ; u ; u ; 1 2 3 có công sai d.

1) Biết u2u2240 TínhS23

2) Biết u1u4u7u10u13u16 147 Tính u6u 11  u1u6u11u16 4) Biết u4u8u12u16224 Tính:S19

5) Biếtu23u5729 Tính:u10u70u1573u1

LỜI GIẢI

1) Biết u2u2240 TínhS23

Ta có:u2u2240 u1d u 121d40 2u122d40

Mà 23  1 

S 2u 22d 40 460

2) Biết u1u4u7u10u13u16 147 Tính u6u 11  u1u6u11u16 Có: u1u4u7u10u13u16147

Ta có:u6u11u15d u 110d2u115d49

Ta có: u1u6u11u16u1u15d u 110d u 115d

4) Biết u4u8u12u16224 Tính:S19

Có:u4u8u12u16 224

Ta có: 19  1   1 

19

S 2u 18d 19 u 9d 19.56 1064

2

5) Biếtu23u5729 Tính:u10u70u1573u1

Ta có: u23u5729 u122d u 156d29 2u178d29

Ta có: 3u1u10u70u157 3u1u19d u 169d u 1156d

6u1234d3 2u 178d 3.2987

Câu 5: Tìm 3 số hạng liên tiếp của 1 cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 27 và

tổng các bình phương của chúng là293

LỜI GIẢI

Gọi 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng:u ; u ; u Theo đề bài ta có:

 

 

u u u 27 1

u u u 293 2







 1 u1u1 d u12d273u13d27 d 9 u 1

2  u  u d  u 2d 293

2

Vớiu114 d5 u2 9; u3 4

Vớiu1 4 d 5 u2 9; u3 14

Câu 6: Tìm 4 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng có tổng bằng 20 và tích của

chúng là 384

LỜI GIẢI

Gọi 4 số hạng của cấp số cộng cần tìm là u , u ,u , u1 2 3 4 có công sai d.

 

1 2 3 4

u u u u 20 1

u u u u 384 2



 





 1 u1u1d u 12d u 13d20

20 6d 3



 2  u u1 1d u  12d u  13d384

5 d 5 d d 5 d 2d 5 d 3d 384

              

                 

Đặt

2

d

t , t 0

4

241

25 9t 25 t 384 9t 250t 241 0 t t 1

9

Cách 2: gọi u1 u 3d, u2  u d, u3  u d, u4  u 3d

Ta có:u1u2u3u4 20 4u20 u5

Và: u u u u1 2 3 4 384.u 3d u d u d u 3d           384

u2 9d2 u2 d2 384 25 9d2 25 d2 384

Đặt: td ,t2 0

9t 250t 241 0 t 1 t=

9

Với t 1 d  1 d1.

Với: t 241 d 241

d u 5 241; u 5 241; u 5 ; u 5 241

Ta có thể gọi 4 số hạng liên tiếp của CSC là

u  u 3d, u  u d, u  u d, u  u 3d với công sai 2d.

Câu 7: Định x để 3 số 10 3x, 2x 23,7 4x theo thứ tự đó lập thành 1 cấp số cộng

LỜI GIẢI

Theo tính chất cấp số cộng ta có: 10 3x   7 4x 2 2x 23

17 7x 4x 6 4x 7x 11 0 x 1 x

4

Câu 8 : Một tam giác vuông có chu vi bằng 3a, và 3 cạnh lập thành một CSC Tính

độ dài ba cạnh của tam giác theo a

LỜI GIẢI

Gọi x, y, z theo thứ tự tăng dần của độ dài ba cạnh của tam giác

Chu vi của tam giác: x y z  3a (1)

Tính chất của CSC có x z 2y (2)

Vì tam giác vuông nên có: x2y2 z2 (3)

Thay (2) vào (1) được 3y3a ya, thay y = a vào (2) được:

x z 2a x2a z

Thay x và y vào (3) được:  2 2 2 2 5a 3a

Kết luận độ dài ba cạnh của tam giác thỏa yêu cầu: 3a,a,5a

4 4 .

Câu 9 : Tìm 3 số hạng liên tiếp của một CSC biết tổng của chúng bằng 15 và tổng

bình phương của chúng bằng 83

LỜI GIẢI

Gọi ba số hạng liên tiếp của CSC là u1 u d, u2 u, u3  u d với công sai là d: Theo đề bài ta có:

3u 15

d 2

 



Với d 2 u1 3, u2 5, u3 7

Với d2 u17, u2 5, u3 3.

Câu 10 : Tìm 5 số hạng liên tiếp của một CSC biết tổng của chúng bằng 40 và tổng

bình phương của chúng bằng 480

LỜI GIẢI

Gọi năm số hạng liên tiếp của CSC là

u  u 2d, u  u d, u u, u  u d, u  u 2d với công sai là d:

Theo đề bài ta có: 12 22 32 42 52

u u u u u 480







d 4

d 16







Với d 4 u1 0, u2 4, u3 8, u4 12, u5 16

Với d4 u116, u2 12, u3 8, u4 4, u50

Câu 11: Tìm 4 số hạng liên tiếp của một CSC biết tổng của chúng bằng 10 và tổng

bình phương của chúng bằng 30

LỜI GIẢI

Gọi bốn số hạng liên tiếp của CSC là u1  u 3d, u2 u d, u3 u d, u4  u 3d

với công sai là 2d:

Theo đề bài ta có: 12 22 32 42

u u u u 10







2

5

2

d 4





Câu 12: Một CSC có 7 số hạng với công sai d dương và số hạng thứ tư bằng 11

Hãy tìm các số hạng còn lại của CSC đó, biết hiệu của số hạng thứ ba và số hạng thứ năm bằng 6

LỜI GIẢI

Gọi u , u , u , u , u , u , u1 2 3 4 5 6 7 là bảy số hạng liên tiếp của CSC với công sai d.

Theo đề bài ta có hệ phương trình:



Kết luận: u117, u2 15, u313, u411, u59, u47, u5 5, u63, u7 1

Câu 13: Một CSC có 7 số hạng mà tổng của số hạng thứ ba và số hạng thứ năm

bằng 28, tổng số hạng thứ năm và số hạng cuối bằng 140 Tìm CSC đó

LỜI GIẢI

Gọi u , u , u , u , u , u , u1 2 3 4 5 6 7 là bảy số hạng liên tiếp của CSC với công sai d.

Theo đề bài ta có hệ phương trình:

u u 140 u 4d u 6d 140 2u 10d 140 d 28



Câu 14: Viết sáu số xen giữa hai số 3 và 24 để được CSC có tám số hạng Tìm CSC

đó

LỜI GIẢI

Gọi 3, u , u , u , u , u , u , 242 3 4 5 6 7 là CSC cần tìm, ta có:



Vậy u1 3, u2 6, u3 9, u4 12, u5 15, u6 18, u7 21, u8 24

Câu 15: Ba góc của một tam giác vuông lập thành một CSC Tìm số đo các góc đó.

LỜI GIẢI

Gọi 3 góc A, B, C theo thứ tự đó là ba góc của tam giác ABC lập thành CSC

Ta có

Câu 16: Bốn số nguyên lập thành CSC, biết tổng của chúng bằng 20, tổng nghịch

đảo của chúng bằng 25

24 Tìm bốn số đó.

LỜI GIẢI

Gọi bốn số hạng liên tiếp của CSC là u1  u 3d, u2 u d, u3 u d, u4  u 3d

với công sai là 2d:

Theo đề bài ta có:

24







 

u 5

u 5

2 24

5 3d 5 3d 5 d 5 d 24 25 9d 25 d

 

 



Giải (2): đặt td2, điều kiện t0

 

25 9t 25 t 24 25 9t 25 t 24



9t 154t 145 0 t 1 t

9

Vì các số hạng là những số nguyên nên chọn t = 1

Câu 17: Cho a, b, c là 3 số hạng liên tiếp của một CSC Chứng minh:

a) a2 bc, b2ac,c2ab cũng là 3 số hạng liên tiếp của một CSC

b) 2 a b c   3 9 a b c 2  b a c2  c a b2  

LỜI GIẢI

Vì a, b, c là 3 số hạng liên tiếp của một CSC Nen theo tính chất CSC có: a c 2b

a) Ta phải chứng minh: a2 bc c 2 ab2 b 2 ac

a c b a c 2b 2ac a 2ac c 2b 2b

a c 4b 4b 4b

     (đúng) (đpcm)

b) Ta có: 2  2  2  2  3   2 

9 a b c  b a c c a b  9 a 3b a  2b  2b a a b 

9 3a b a 2b 4b 4ab a a b 

9 3a b a 2b 4ab 4b 4a b 4ab a a b 54b

Ngoài ra:  3  3 3

2 a b c  2 3b 54b (2)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm

Câu 18 : Cho a , b ,c2 2 2 lập thành 1 cấp số cộng có công sai khác không

Chứng minh rằng 1 ; 1 ; 1

b c c a a b   cũng lập thành một cấp số cộng

LỜI GIẢI

Theo giả thuyếta2c2 2b2

Ta phải chứng minh: 1 1 2

b c a b c a

Ta có:a2c2 b2b2

b c a b

b c

a b

b c c a a b c a





a c b c a b c a

b c c a a b c a

b c c a c a a b

a b b c c a

   (đpcm)

Câu 19: Cho cấp số cộng :a,b,c CMR:

; ; , a 0; b 0; c 0

b c c a a b    theo thứ tự đó cũng lập thành CSC

LỜI GIẢI

Vì a, b, c lập thành CSC, ta cóa c 2b

Ta cần chứng minh: 1 1 2

b c a b  c a

Ta có: a c 2ba b  b c a b  a b  b c  b c



   Theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng

Câu 20: Trong một cấp số cộng, đặt: Sku1u2u3 uk

a) Biết Sm n và Sn m (với mn) Hãy tính Sm n .

b) Biết Sm Sn (với mn) Hãy tính Sm n

LỜI GIẢI

m 2u (m 1)d

2

Tương tự Snm ta có:  2   

1 2nu  n  n d2m 2

Từ (1) và (2) suy ra:    2 2    

1 2u m n  m n  m n d   m n

Do mn nên:

Mặt khác ta có:   1  

m n

m n 2u m n 1 d S

2





Thay kết quả trên vào biểu thức của Sm n ta được:

m n

m n 2u 2 2u

2



b) SmSn m 2u 1m 1 d   n 2u 1n 1 d  

1

2u m n  m n m n d 0

  2u1m n 1 d   0 do m n

Thay vào biểu thức của Sm n được: Sm n 0

Câu 21: Cho cấp số cộng u , u , , u , 1 2 n với công sai d0 và tất cả các số hạng đều dương Chứng minh:



LỜI GIẢI