ta có thể đưa về giới hạn quen thuộc.. Ví dụ: Tìm các giới hạn sau:[r]
Trang 1DẠNG 4: Các giới hạn đặc biệt
Nhắc lại:
1 1 1 1 n
3 so hang
n so hang
Tìm
n
x 0
1 ax 1
x
LỜI GIẢI
Cách giải: Đặt
n n
a
Ta có khi x 0 thì t1
Khi đó
n
x 1
a t 1
n
Vậy
n
x 0
x 0
x
LỜI GIẢI
(áp dụng kết quả bài kế trên)
n
m
x 0
1 ax 1
1 bx 1
LỜI GIẢI
n
m
x 0
x 0
1 x 1
LỜI GIẢI
Trang 2
2
m
n
x 1
x 1
x 1
LỜI GIẢI
Đặt tmnx xtmn, vậy mxt , xn n tm
n 1 n 2
m
x 1
LỜI GIẢI
Ta có: x x 2x3 xn nx 1 x21 x3 1 xn1
x x x x m x 1 x 1 x 1 x 1
Vậy
x 1
x 1
lim
n(n 1)
m(m 1)
2
100
50
x 1
LỜI GIẢI
Trang 3
100
x 1
lim
n 1
2
x 1
x 1
LỜI GIẢI
Ta có xn 1 n 1 x n xn 1 x nx n x x n 1 n x 1
n so hang n so hang
x 1xn 1 xn 1 1 x2 1 x 1
n
n
Do đó:
n 2
x 1
x 1
x 1
n
n n 1
2
Trang 4
x 1
LỜI GIẢI
1 x
2 m 1
m
x 1
lim
1 x
x 1
lim
x 1
lim
lim
1 x
lim
Ví dụ: Tìm các giới hạn sau:
a)
3
x 1
3x 1 2 x 2
lim
x 1
b)
3 2
x 0
4 x 8 3x 4 lim
c)
x 0
1.2x 1 2.3x 1 3.4x 1 1
lim
x
LỜI GIẢI
a)
Tính
3
2
x 1
lim
3
Trang 5
Vậy x 1
lim
b)
3
Tính
3
2
2
3
x 0
2 lim
2
Vậy
3 2
x 0
c)
x 0
1.2x 1 2.3x 1 3.4x 1 1
x
x 0
lim
x
4
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ KHI x
DẠNG 1: Tính giới hạn trực tiếp
Ví dụ: Tính giới các giới hạn sau:
a)
3
xlim (2x 3x)
b)
2
LỜI GIẢI
a)
2
3
x
b)
2 x
2
x 2
x
lim x 1
Trang 6c)
2
1
x
DẠNG 2:
tử và mẩu (hoặc đặt x làm nhân tử chung).k
Ví dụ 1: Tìm giới hạn của các hàm số sau:
a)
2
2 x
lim
x
lim
x x 1 lim
e)
3
x
lim x
x
lim
1 2x
LỜI GIẢI
a)
2
2
2
x
lim
5
c)
2 2
2 2
x x 1
x
Trang 7vì x x0 x x Vậy x 2
2x 3
2
2
x
e)
3
2 x
1 2
lim
1
2 x
1 2 x
1
f)
x
lim
1 2x
4
x
lim
1 2x
2
2
1
2 x
Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:
a)
x
x lim x 1
b)
2
x
lim
x 10
c)
2 x
lim
3x 1
d)
2
lim
e)
2
lim
f)
3
3
2 x
lim
LỜI GIẢI
a)
2
x x 1
(Chú thích:
Trang 8b)
2 2
1
x x 1
x lim
x 10
x
1
x
10
1
x
(Chú giải: Vì x nên x0 do đó x x)
c)
2 2
x
3
x lim
3x 1
x
3
x
lim
1
3
x
(Chú giải: Vì x nên x0 do đó x x)
d)
2
2
2 2
1 3
2 1
1
x x x
x
e)
2
2
2 2
1
x x x
x
f)
2
3
3
Trang 9 2 3 3 2 2 2 3 2
2
2
3 3
2
1 1 1
x x
Ví dụ 3: Tìm các giới hạn sau:
a)
x
lim x
4 x
lim
x
x 2x
LỜI GIẢI
a) Đặt
1
x
y
khi x thì y 0
2
lim
y 3 1
lim
1
Vậy
1 I 2
b)
2
2
4
x
x
2
4
Trang 10DẠNG 3:
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN: Nhân lượng liên hợp sau đó làm như dạng 1
Ví dụ: Tìm các giới hạn sau:
a)
2
b)
2
c)
2
d)
2
e) xlim ( x 2 x 2)
LỜI GIẢI
a)
đó x x
b)
2
2
2
2 3
2
Chú thích: Do x nên x0 do đó x x
2 2
1
x x
2
Chú giải: Vì x nên x0 do đó x x
Trang 11d)
x
nên
2 x
Từ đó suy ra L
c)
1
x 1 x
2
1
x 1 x
2
xlim (ax) bx c ax
k 2k
xlim (ax) bx c ax
liên hợp
Ví dụ 2: Tìm các giới hạn sau:
a)
xlim 4x 3x 1 2x
3 3
LỜI GIẢI
Trang 12a)
2 4
2 4
1 3
4
b)
3 3
2
2
2
x
1
12x
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ DẠNG VÔ ĐỊNH 0.
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Giả sử cần tìm giới hạn của hàm số h x f x g x
khi x x0
hoặc x
trong đó f x 0
Ta thường biến đổi theo các hướng sau:
Nếu x x0
thì ta thường viết
f x
f x g x
1
g x
sẽ đưa về dạng vô định
0
0
g x
f x g x
1
f x
sẽ đưa về về dạng
Trang 13Tuy nhiên ở nhiều bài toán giới hạn loại này ta chỉ cần thực hiện một số biến đổi như đưa thừa số vào trong dấu căn thức, quy đồng mẫu số, ta có thể đưa về giới hạn quen thuộc
Ví dụ: Tìm các giới hạn sau:
3
x 3
lim
x 1 lim x 2
LỜI GIẢI
a)
2
x 1 x 1
Vì x 1 x 1 x 1 0
Vậy
2
x 1
x 1 x 1
b)
x