Bài 12. Bài tập có đáp án chi tiết về phương pháp nguyên hàm từng phần | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Họ nguyên hàm của hàm số trên là. A.[r]

Câu 1 [2D3-1.3-3] (ĐH Vinh Lần 1) Cho hàm số f x 

thỏa mãn f x  f x e ,x    vàx

 0 2

f  Tất cả các nguyên hàm của f x e2x

là

A x 2 e xexC

B x2 e 2xexC

C x1 e xC

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Đình Hải ; Fb:Nguyen Dinh Hai

Chọn D

Ta có f x  f x  ex f x exf x ex 1   f x ex1 f x ex  x C

Vì f  0 2  2.e0 C  C 2  f x e2x x2 e x

Vậy f x e d2x x  x2 e d x x  x2 d e  x x2 e x e dx x2

x 2 e x e dx x

    x2 e x exC x1 e xC

Phân tích: Bài toán cho hàm số yf x 

thỏa mãn điều kiện chứa tổng của f x 

và f x  đưa ta tới công thức đạo hàm của tích u v. u v u v.  .  với uf x 

Từ đó ta cần chọn hàm

v cho phù hợp

Tổng quát: Cho hàm số yf x 

và yg x 

liên tục trên K , thỏa mãn

       

f x g x f x k x

(Chọn v e G x )

Ta có f x g x f x   k x   e G x f x g x e  G x f x  k x e  G x 

 

 

e G x f x  k x e  G x 

   e G x f x  k x e  G x dx  f x  eG x k x e  G x dx.

Với G x 

là một nguyên hàm của g x 

Admin tổ 4 – Strong team : Bản chất của bài toán là cho hàm số yf x 

thỏa mãn điều kiện

chứa tổng của f x 

và f x 

liên quan tới công thức đạo hàm của tích u v u v u v  

với

 

uf x

Khi đó ta cần chọn hàm v thích hợp Cụ thể, với bài toán tổng quát :

Cho hàm số yf x 

, y g x  

, y h x  

, y k x  

liên tục trên K, g x   0

với x K 

và thỏa mãn g x f x   h x f x    k x 

Ta sẽ đi tìm v như sau :

 

 

 

 

v g x  v dx g x dx





Khi đó :

 

 

 

 

h x

g x d

h x

g x



Câu tương tự:

Câu 2 [2D3-1.3-3] (ĐH Vinh Lần 1) Cho hàm số f x 

thỏa mãn f x 2xf x 2xex ,   x

và f  0  Tất cả các nguyên hàm của 1 x f x.  ex2 là

A x212C

B 1 2 2 2

1 2

x

C  2 2 2

D 1 2 2

1

2 x  C.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Đình Hải ; Fb:Nguyen Dinh Hai

Chọn D

Ta có f x  2xf x  2xex2



2

x

e f x  x

 

2 2 d 2

x

Vì (0) 1f   C1 f x  x2 1ex2

Vậy xf x e  x2dx x x 21 d x 1  2   2 

1

Câu 3 [2D3-1.3-3] (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Gọi F x 

là nguyên hàm trên  của hàm số

  2eax 0

f x x a

, sao cho F 1 F 0 1

a

  Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

A 0  a 1 B a   2 C a  3 D 1  a 2

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Trà My ; Fb: Nguyễn My

Chọn A

  2e dax

F x x x Đặt

1 e

u x x

u x

v

a





 







  1 2eax 2 e dax 1 2 ax 2  1

ax

Ax x Đặt

1

u x

v e x

a













 

ax ax

Từ  1 và  2 suy ra   2 2

eax ax e dax eax eax eax

Mà F 1 F 0 1

a

a  a a  a  

Câu 4 [2D3-1.3-3] (Trần Đại Nghĩa) Cho  

2

2 1

ln 2 1

x







với , ,a b c là các số nguyên

dương và các phân số là phân số tối giản Tính giá trị của biểu thức

a b S

c





A

5 6

S 

1 3

S 

2 3

S 

1 2

S 

Lời giải

Tác giả: Viết Ánh; Fb: Viết Ánh

Chọn A



2

x

x







Đặt t  x 1 dt dx

3

3

2

2 6

t



2

1

1

x

x



2 2

1

x I

x

Do đó

2 3 5

a b S

c

Câu 5 [2D3-1.3-3] (Chuyên Thái Bình Lần3)Cho ( )f x là hàm số liên tục trên  thỏa mãn

    ,

f x  f x     và x x f  0  Tính 1 f  1 .

A

2

1

e

2

Lời giải Chọn A

f x  f x x

Nhân 2 vế của (1) với e ta được x e x f x e x f x  x.ex

Hay e x f x   x.ex e x f x  x.e dx x.

Xét .e d

x

I x x.

Đặt

e dx d ex





.e dx ex e dx ex ex

I x xx   xx  C Suy ra ex f x  x.ex exC

Theo giả thiết (0) 1f  nên C 2   .e e 2  1 2

x x x

x

Câu 6 [2D3-1.3-3] (Đặng Thành Nam Đề 6) Họ các nguyên hàm của hàm số ( ) (2f x  x1) lnx là

A  2 ln 2

2

x

x x x  x C

2

x

x x x  x C

C  2 1 ln 2

2

x

x  x  x C

1

x

Lời giải

Tác giả:Nguyễn Dung; Fb: Ngọc Dung.

Chọn B

Tìm I (2x1) ln dx x

1

x

ìï

2

x

Câu 7 [2D3-1.3-3] (PHÂN TÍCH BL_PT ĐỀ ĐH VINHL3 -2019 ) Biết rằng xex là một nguyên

hàm của f x

trên khoảng   ; 

Gọi F x 

là một nguyên hàm của f x ex

thỏa mãn

 0 1

, giá trị của F  1

bằng

A

7

5 e 2



7 e 2



5

2.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Tất Thành; Fb: Thanh Nguyen

Chọn A

Vì xex là một nguyên hàm của f  x

trên khoảng   ; 

 fxxex ex xex

,     x  ; 

Do đó f  x e   x  xe   x

    ,     x  ;   f x  ex1 x

  ,     x  ;  Nên f x  ex1 xexx 2

  f x ex exx 2 e x x 2



Bởi vậy    2 d 1 22

2

F x x x x C.

Từ đó  0 10 22 2

2

; F 0  1 C1 Vậy   1 22 1  1 1 1 22 1 7

Nhận xét:

+ F x 

là một nguyên hàm của của f x 

trên khoảng   ; 

thì F x  f x 

+ f x dx  f x C.

+ Nếu đề bài không cho “xex là một nguyên hàm của f  x trên khoảng   ; ”màcho

có nguyên hàm trên khoảng a b;     ; 

mà làm fxxex ex xex

là chưa đúng Nên khi dạy bài này GV nên cho thêm ví dụ 32.1, 32.2 ( 3 ví dụ này dạy cùng 1 buổi là tuyệt đỉnh các thầy cô nhé! Hi hi)

Bài toán tương tự

Câu 8 [2D3-1.3-3] (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG

NGÃI) Họ nguyên hàm của hàm số f x 2 2 lnx  x

là

A

3

ln

3

ln

2x x x C .

C.

5

ln

5

ln

2x x x C .

Lời giải

Tác giả: Đoàn Ngọc Hoàng; Fb:Hoàng Đoàn

Chọn B

Ta có họ nguyên hàm của hàm số f x  2 2 lnx  x

là

I f x dxx  x dx.

2 ln 2

dx du

x

dv xdx

v x





 





Câu 9 [2D3-1.3-3] (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Họ nguyên hàm của hàm số

2x2 xln 1

y

x

x



là

A  2 1 ln 2

2

x

2

x

C  2 1 ln 2

2

x

2

x

Lời giải

Tác giả: Lê Vũ Hải; Fb: Vũ Hải Lê

Chọn C

Ta có:

2

l

n d

x

x

1 2 1 ln d

ln d

d 1

1 d

x

u

x

x

v x





       

1

2 2

1

l 2

x



2 2

1

dx ln

x

2

2

d

2

ln 1

2

x

x I x

x x

I

x







Câu 10 [2D3-1.3-3] (Sở Lạng Sơn 2019) Cho hàm số yf x 

Biết hàm số đã cho thỏa mãn hệ thứcf x sinxdx = f x cosxxcosxdx Hỏi hàm số

 

yf x

là hàm số nào trong các hàm số sau?

A f x  xln

B  

ln

x



 C f x  xln

D  

ln

x





Lời giải

Tác giả: Nguyễn Hoàng Kiệt; Fb: Nguyễn Hoàng Kiệt

Chọn B

Hệ thức f x sinxdx = f x cosxxcosxdx (1).

Xét f x sinxdx.

Đặt





 Ta được f x sinxdx f x cosxf x' cosxdx.

Theo hệ thức (1), suy ra f x'  x

Dựa vào đáp án, ta nhận thấy có một hàm số thỏa mãn là  

ln

x





Câu 11 [2D3-1.3-3] (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Tìm nguyên hàm của hàm số

  cos

f x x x

A f x x x d  sinx cosx C . B f x x x d  sinxcosx C .

C f x x d xsinxcosx C . D f x x d xsinx cosx C .

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Văn Phú ; Fb: nvanphu1981

Chọn B

Ta có: xcos dx x.

Đặt d cos d

u x











sin





 



Vậy xcos dx xxsinx sin dx xxsinxcosx C

Câu 12 [2D3-1.3-3] Bắc-Ninh-2019)

(Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Tìm nguyên hàm của hàm số f x xcosx

A f x x x d  sinx cosx C . B f x x x d  sinxcosx C .

C f x x d xsinxcosx C . D f x x d xsinx cosx C .

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Văn Phú ; Fb: nvanphu1981

Chọn B

Ta có: xcos dx x.

Đặt d cos d

u x











sin





 



Vậy xcos dx xxsinx sin dx xxsinxcosx C

Câu 13 [2D3-1.3-3] (Chuyên KHTN) Cho hàm số f x( )

liên tục trên  và có

3 0

f x dx 



và

5

0

( ) 4

f x dx 



Tính

1 1

( 4 1)







A

9

11

Lời giải

Tác giả: Dương Hà Hải; Fb: Dương Hà Hải.

Chọn C

Ta có

1

1

4

1

1 4

1 1

4



I J

 

+) Xét

1 4 1

(1 4 )



  Đặt t 1 4x dt4 ;dx

Với

1

4

x  t  x  t

1

4

I f  x dxf t  dt  f t dt  f x dx

+) Xét

1

1 4

(4 1)

J f x dx

Đặt t4x 1 dt4 ;dx

Với

1

4

x  t  x  t

4

J f x dxf t dt  f t dt  f x dx

Vậy

1 1

( 4 1) 3





Câu 14 [2D3-1.3-3] (Yên Phong 1) Cho hàm số f x 

liên tục trên tập  thỏa mãn

  2 1 2   1

f x x   x f x 

và f x    1

, f  0  Tính 0 f  3

Lời giải

Tác giả: Hoàng Văn Thông; Fb: Thông Hoàng

Chọn C

Cách 1.

Với điều kiện bài toán

Ta có f x  x2 1 2x f x 1

 



Suy ra

 





   f x  1 x2 1 C

Với f  0  ta có 1 10  C C 0

Khi đó f x  1 x21 f x  x2

Vậy f  3 3

Cách 2.

Từ giả thiết ta suy ra được

 

  2  *





Ta có

 

 

2





2

      f  3  1 2 f 3 3

Câu 15 [2D3-1.3-3] (Đặng Thành Nam Đề 2) Tìm một nguyên hàm của hàm số f x  xtan2 x

A

2 2

2

x

x x x x x x  C

2 2

2

x

x x x x x x  C

C

2 2

2

x

x x x x x x  C

2 2

2

x

x x x x x x  C

Lời giải

Tác giả: Đỗ Hải Thu; Fb: Đỗ Hải Thu

Phản biện: Lê Trọng Hiếu ; Fb: Hieu Le

Chọn D

2 2

1

Tính cos2 d

x x x

cos

x

















2

sin

 

d cos

cos

x

x

Vậy

2 2

2

x

x x x x x x  C

Câu 16 [2D3-1.3-3] (Sở Phú Thọ) Họ nguyên hàm của hàm số y3x x cosx

là

A x33 sinx xcosxC

B x3 3 sinx xcosxC

C x33 sinx x cosxC

D x3 3 sinx x cosxC

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Mạnh Dũng; Fb: Mạnh Dũng

Chọn A

Phương pháp: Áp dụng phương pháp nguyên hàm từng phần.

Ta có: yf x 3x x cosx

Đặt I f x x d .

I =3x x cosx xd = 3 dx x2 + 3 cos dx x x = 3

1

x C + 3.I (với 1 I1xcos dx x).

Đặt d cos d

u x











sin





 



I

 = x3C1 + 3 sinx xcosx C 2

= x33 sinx xcosxC

(với C C 13C2)

Câu 17. Cho hàm số ye sinx x Họ nguyên hàm của hàm số trên là

A

x x C

C

x x x x C

Câu 18. Biết

1

1 cos

x



 Giá trị của S a b  là

Câu 19 [2D3-1.3-3] (Cầu Giấy Hà Nội 2019 Lần 1) Cho hàm số yf x 

có đạo hàm cấp hai trên

0; 

thỏa mãn 2xf x  f x  x2 xcos ,x  x 0;; f 4 0 Giá trị biểu thức

9 

f  là:

Lời giải

Tác giả: Quang Pumaths ; Fb: Quang Pumaths

Chọn B

Với mọi x 0; , ta có

   

2

1

cos 2

2

x x

C

 



Mà f 4  suy ra  0

1 2

C

Vậy   sin cos 1

f x     x

Suy ra f 9 3 

Câu 20 [2D3-1.3-3] (ĐH Vinh Lần 1) Tất cả các nguyên hàm của hàm số f x( )=xtan2x trên khoảng

;0 2

p

A. ( ) tan ln cos( ) 2

2

x

B. ( ) tan ln cos( ) 2

2

x

C. ( ) tan ln cos( ) 2

2

x

2

x

Lời giải

Tác giả:Văn Bùi Vũ ; Fb: Van Tuan Vu

Chọn A

Gọi

2

cos

x

x

1

tan

cos

x

ì =

ïïî

d cos

x

Vì x 2;0

p

ç

Î -ççè ø÷÷ nên cosx>0, suy ra ln cosx =ln cos( x).

Vậy:

( ) tan ln cos( ) 2

2

x