Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , mặt phẳng ( ) a vuông góc với trục tung có một vecto pháp tuyến là:.. Tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa AB và song song với trụ[r]
Trang 1CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG
Bài 2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
A TỔNG HỢP LÝ THUYẾT
I Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
1 Định nghĩa: Cho mặt phẳng ( ) Nếu vectơ n 0 và có giá vuông góc với mặt phẳng ( ) thì n là vectơ pháp tuyến (VTPT) của ( )
Chú ý:
Nếu n
là một VTPT của mặt phẳng ( ) thì kn (k 0) cũng là một VTPT của mặt phẳng( )
Một mặt phẳng được xác định duy nhất nếu biết một điểm nó đi qua và một VTPT của nó
Nếu u v,
có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng ( ) thì n[ , ]u v là một VTPT của ( )
II Phương trình tổng quát của mặt phẳng
1 Định nghĩa: Phương trình:Ax By Cz D 0 vớiA2B2C2 0được gọi là
phương trình tổng quát của mặt phẳng.
Nhận xét:
Nếu mặt phẳng ( ) có phương trình Ax By Cz D 0 thì nó có một VTPT là
( ; ; )
Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M x y z0( ; ; )0 0 0 và nhận vectơ n A B C( ; ; )
khác 0
là VTPT là: A x x( 0)B y y( 0)C z z( 0) 0
2 Các trường hợp riêng
Xét phương trình mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D 0 với A2B2C2 0
Các hệ số Phương trình mặt phẳng( )a Tính chất mặt phẳng ( )a 0
D = Ax By Cz+ + = 0 ( )a đi qua gốc tọa độ O 0
A = By Cz D+ + = 0 ( )a P Ox hoặc ( )a É Ox 0
B = Ax Cz D+ + = 0 ( )a P Oy hoặc ( )a É Oy 0
C = Ax By D+ + = 0 ( )a P Oz hoặc ( )a É Oz 0
A= =B Cz D+ = 0 ( ) (a P Oxy) hoặc ( ) (a º Oxy)
0
A C= = By D+ = 0 ( ) (a P Oxz) hoặc ( ) (a º Oxz)
0
B C= = Ax D+ = 0 ( ) (a P Oyz) hoặc ( ) (a º Oyz)
Chú ý :
Nếu trong phương trình ( ) không chứa ẩn nào thì ( ) song song hoặc chứa trục tương ứng
Trang 2 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn : 1
Ở đây ( ) cắt các trục tọa độ tại các điểm a;0;0, 0; ;0b , 0;0;c với abc 0
III.Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Trong không gian Oxyz cho : Ax By Cz D 0 và ' : A ' x B' y C 'z D ' 0
có các VTPT n (A; B;C); n' (A '; B';C')
A ' B' C' D'
D kD '
với A ', B', C', D' 0
A ' B' C' D'
D kD '
với A ', B',C ', D ' 0
cắt A : B:C A': B': C''
Đặc biệt: ' n n 1 2 0 A.A ' B.B' C.C' 0
IV Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Định lí: Trong không gian Oxyz, cho điểm M0(x ; ; )0 y z0 0 và mặt phẳng
:Ax By Cz D 0
Khi đó khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng ( ) được tính:
( , ( )) Ax By Cz D
d M
a =
V Góc giữa hai mặt phẳng
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng :A x B y C z D1 1 1 1 0
và :A x B y C z D2 2 2 2 0
Góc giữa
và
bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT n n,
Tức là:
n n
B MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Dạng 1: Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
a Phương pháp giải: Áp dụng định nghĩa VTPT
Vecto
0
n
n
là VTPT của mp Nếu A C 0,B0 thì mặt phẳng ( ) song song hoặc trùng với Oxz
Nếu n
là một VTPT của mặt phẳng ( ) thì kn (k 0) cũng là một VTPT của mặt phẳng( )
Trang 3 Nếu mặt phẳng ( ) có phương trình Ax By Cz D 0 thì nó có một VTPT là ( ; ; )
n A B C
Nếu ( ) có cặp u v , không cùng phương với nhau và có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng ( ) thì n[ , ]u v là một VTPT của ( )
b Ví dụ áp dụng :
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A1; 2;1 , B 1;3;3, C2; 4;2 Một
vectơ pháp tuyến n của mặt phẳng ABC là:
A.n 9; 4; 1
C n 4;9; 1
Hướng dẫn giải Chọn A
Phương pháp tự luận
Ta có AB 2;5; 2
, AC 1; 2;1
Phương pháp trắc nghiệm
Sử dụng MTBT tính tích có hướng
Có AB 2;5; 2, AC 1; 2;1.
Chuyển sang chế độ Vector: Mode 8
Ấn tiếp 1 – 1: Nhập tọa độ AB
vào vector A
Sau đó ấn AC Shift – 5 – 1 – 2 – 1 Nhập tọa độ AC
vào vector B
Sau đó ấn AC
Để nhân AB AC,
ấn Shift – 5 –3 – X Shift - 5 – 4 - =
Ví dụ 2: Cho A1;2;2 , B3;0;2
Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB có một vecto pháp tuyến là:
A n 1;1;0. B n 1; 1;1. C n 2; 3; 1
D n 1; 1;0.
Hướng dẫn giải Chọn D
Ta có mặt phẳng cần tìm vuông góc với đoạn thẳng ABvà nhận AB 2; 2;0
nên
1; 1;0
n
là vtpt
Ví dụ 3: Cho mặt phẳng P : 2x 3z1 0 Khi đó P có một vectơ pháp tuyến là:
A n 2; 3;0 B n 2; 3;1 C.n 2;0; 3 D n 2; 3; 1
Hướng dẫn giải
Trang 4Chọn C
Phương trình mặt phẳng có dạng P : Ax By Cz D có vectơ pháp tuyến là0
; ;
n A B C Vậy P : 2x 3z có vectơ pháp tuyến là 1 0 n 2;0; 3
c Bài tập vận dụng:
NHẬN BIẾT.
Câu 1 Chọn khẳng định sai
A Nếu hai đường thẳng AB ,CD song song thì vectơ AB CD,
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD ) .
B Cho ba điểm A ,B,C không thẳng hàng, vectơ AB AC,
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC ) .
C Cho hai đường thẳng AB ,CD chéo nhau, vectơ AB CD,
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa đường thẳng AB và song song với đường thẳng CD .
D Nếu hai đường thẳng AB ,CD cắt nhau thì vectơ AB CD,
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD ) .
Câu 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ oxyz Tìm một vecto pháp tuyến của mặt phẳng
(oxy)
A n 1;1;0
B i 1;0;0
C j 0;1;0
D k 0;0;1
Câu 3. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng :x 3y 2z 6 0 Vecto
nào không phải là vecto pháp tuyến của ?
A n 1; 3; 2
B n 1;3; 2
C.n 1;3; 2
D n 2;6;4
Câu 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, mặt phẳng ( )a
song song mặt phẳng
( )P : 3x- 2y+ + =z 7 0 Tìm một vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( )a .
A.n 3; 2;1 B n 1;3; 2
C.n 3; 2;1
D n 3; 2; 1
Câu 5. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz Mặt phẳng ( ) song song với mặt phẳng
Oyz
có một vecto pháp tuyến là:
A k 0;0;1 B n 0;1;1 C j 0;1;0 D i 1;0;0.
Câu 6. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A, B,C không thẳng hàng Tìm một
vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ABC
Chọn đáp án sai
A.AB AC,
1 ,
3CB CA
Trang 5
Câu 7. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(−1; 0;1), B(−2;1;1) ( ) là
mặt phẳng trung trực của đoạn AB Tìm một vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( )
A n 1;1;0
B n 1;1;1
C.n 1;1;0
D n 0;1; 1
Câu 8. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, mặt phẳng ( ): 1
Chỉ ra một vecto pháp tuyến của( )a ?
A n 3;6; 2
B n 2;1;3
C.n 3; 6;2
D n 2; 1; 3
Câu 9. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, mặt phẳng ( )a vuông góc với trục tung có một
vecto pháp tuyến là:
A n 0; 8;0
B n 1;0; 4
C.i 1;0;0
D k 0;0;1
Câu 10 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm B(1;0;4)
và C(0; 2; 1- - )
.Tìm một
vecto pháp tuyến mặt phẳng vuông góc với đường thẳng BC là:
A.n 2;1; 2. B.n 1; 2;3. C.n 1; 2;5. D.n 1;5; 2.
Câu 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng
P x my: m1z , 2 0 Q : 2x y 3z 4 0 Giá trị số thực m để hai mặt
phẳng P , Q
vuông góc
1 2
m
1 2
m
THÔNG HIỂU.
Câu 11 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A( 1; 2;1), (2;1;1) B Tìm một
vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa AB và song song với trục tung
A AB k,
B AB j,
D ,i AB
Câu 12 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; 2;1) Tìm một vectơ pháp tuyến của
mặt phẳng chứa A và trục hoành Chọn đáp án đúng
A. OA k,
C ,iOA
D Tất cả các đáp án đều sai.
Câu 13 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, mặt phẳng ( )a song song với giá của hai veto
(3;1; 1)
ar= - ,br= -(1; 2;1) Vecto nào sau đây không là pháp tuyến của mặt phẳng ( )a ?
A n 7; 4;1
B n 1; 4; 7 C.n 2;8;14
D n 1; 4;7
Trang 6
Câu 14 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Mặt phẳng (P) đi qua các điểm A(2; 1;3) ,
(3;1;2)
B và song song với giá của veto ar=(3; 1; 4- - )
.Tìm một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P)?
A n 9;1;7
B n 9;1; 7 C.n 1;7;9
D n 9;1;7
Câu 15 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng đi qua A2; 1; 4 ,
3; 2; 1
và vuông góc với mặt phẳng Q x y: 2z 3 0 Vecto nào không phải là
vecto pháp tuyến của mặt phẳng
?
A n 5;4;3
B n 5;3; 4
C.n 5; 3;4
Câu 16 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyzcho mặt phẳng ( )P x: +2y- 2z+ =5 0 Mặt phẳng
( )a vuông góc với hai mặt phẳng ( )P và (oxz) Tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
( )a
A n 2;1;1. B.n 2;0;1.
C.n 1;0;2
Câu 17 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, ( )a
là mặt phẳng vuông góc với hai mặt phẳng
( )P : 3x- 2y+ + =z 7 0 và ( )Q : 5x- 4y+ + =3z 1 0 Tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )a
A n P 2; 4; 2
C.n P 1; 4;1
Câu 18 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , gọi (P) là mặt phẳng chứa trục Ox và
vuông góc với mặt phẳng (Q): x+ y+z−3=0 Mặt phẳng (P) có một vecto pháp
tuyến là:
A.n 0;1;1. B.n 0; 1;1
C.n 1;0;1. D.n 0;2;1.
Câu 19 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Mặt phẳng (P) đi qua các điểm A ( 1;0;0),
(0; 2;0)
B , C(0; 0; 2) Tìm một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P)?
A.n 2;1;1
B.n 1; 2; 2
C n 2;1; 1
D.n 1; 2; 2
Câu 20 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz ,cho mặt phẳng ( ) : 3Q x y 2z 5 0 và
(2;1;5)
M
Mặt phẳng (P) chứa OM và vuông góc với mặt phẳng
( ) : 3Q x y 2z 5 0 có một vecto pháp tuyến là:
A.n 7;1;19
B.n 7; 19;1
C.n 7;19;1
D.n 3;1; 2
Trang 7
VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO:
Câu 21 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz ,cho mặt phẳng (Q) : 2x y z 7 0 Mặt
phẳng (P)song song với trục oz và vuông góc với mặt phẳng (Q)có một vecto pháp tuyến là:
A.n 1;0; 2
B.n 1; 2;0. C.n 1; 2;0. D.n 1; 2;1.
Câu 22 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz Cho mặt cầu ( ) : (S x 2)2y2(z1)2 4
.Tìm một vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( )P tiếp xúc với mặt cầu ( )S tại điểm
4; 2; 2
A.n 2;0;1
B.n 2;1; 2
C.n 2; 2;1
D.n 2;2;1
Câu 23 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm
A(5;1;3),B(1;2;6),C(5;0;4), D(4 ;0; 6) Mặt phẳng(Q)chứa AB và song song với CD
có một vecto pháp tuyến là:
A.n 2;5;1. B.n 2; 1;3
C.n 2; 1;1
D.n 1;1;1.
Câu 24 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình cầu S : x12y 22z 32 1
.Mặt phẳng chứa trục Oz và tiếp xúc với S
có một vecto pháp tuyến là:
A.n 1; 4;0
. B.n 0;1; 4
D.n 1; 4;0
Câu 25 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình cầu S : x12 y 22z 32 16
Phương trình mặt phẳng
chứa Oycắt hình cầu S
theo thiết diện là đường tròn có
chu vi bằng 8 Vecsto nào không là vecto pháp tuyến của mặt phẳng ?
A.n 3;1; 1
B.n 3;0;1. C.n 3;0; 1
D.n 6;0; 2
Câu 26 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A1;0;0
, B0; ;0b
, C0;0;c
, b0,c0
và mặt phẳng P y z: Xác định b và c biết mặt phẳng 1 0 ABC vuông góc với mặt phẳng P
và khoảng cách từ O đến ABC
bằng
1
3.
A
,
B.
1 1, 2
C
,
D.
1 , 1 2
Câu 27 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , gọi (P) là mặt phẳng chứa trục Oy và
tạo với mặt phẳng y+z+1=0 góc 600
Tìm một veto pháp tuyến của mặt phẳng (P) .Chọn đáp án sai
A.n 1;1;1
B.n 1;0;1
C.n 1;0; 1
D.n 2;0; 2
Trang 8
Câu 28 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M (1;2;3). Gọi ( ) là mặt phẳng
chứa trục Oy và cách M một khoảng lớn nhất Mặt phẳng ( ) có một veto pháp tuyến là:
A.n 1;0;3. B.n 1;0; 3
C n 1;0;0. D.n 3;0;1.
Câu 29 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt cầu
S : x12y 22z 32 9
, điểm A0;0;2
Mặt phẳng P
đi qua A và cắt
mặt cầu S theo thiết diện là hình tròn C có diện tích nhỏ nhất Tìm một vecto pháp
tuyến của P
?
A.n 1; 2;3. B.n 1; 2;1. C.n 1; 2;0. D.n 1; 2;1.
Câu 30 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Mặt phẳng P
đi qua hai điểm A(1;1;1),
0; 2;2
B
đồng thời cắt các tia Ox Oy, lần lượt tại hai điểm M N, (không trùng với gốc
tọa độ O ) sao cho OM 2ON Tìm một vecto pháp tuyến của P
?
A.n 1; 2;1
B.n 1; 2;1
C.n 1; 2;0
D.n 1; 2;1
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT CÁC CÂU VẬN DỤNG:
Câu 22:
Phương pháp tự luận
+) Trục oz có véctơ đơn vị k (0;0;1)
Mặt phẳng (Q) có VTPT n( )Q (2;1; 1)
Mặt phẳng (P) song song với trục oz và vuông góc với (Q) : 2x y z 7 0nên (P) có VTPT nk n, ( )Q (1; 2;0)
Phương pháp trắc nghiệm
+) Kiểm tra điều kiện VTPT của mặt phẳng ( )Q vuông góc với VTPT của (P) ta loại
tiếp được đáp án A, C,D
Câu 23:
Phương pháp tự luận
+)
( ) : (S x 2) y (z1) có tâm 4 I2;0;1
+) Do mặt phẳng (P)tiếp xúc với mặt cầu ( ) : (S x 2)2y2(z1)2 tại điểm4
4; 2; 2
H nên P IH IH (2; 2;1)
là một VTPT của mặt phẳng ( )P
Câu 24:
Phương pháp tự luận
+) AB ( 4;1;3),CD ( 1;0; 2)
Trang 9
Mặt phẳng(Q)chứa AB và song song với CD có một vecto pháp tuyến:
nAB CD
Phương pháp trắc nghiệm
+) Kiểm tra điều kiện VTPT của mặt phẳng (Q)vuông góc với véctơ CD
ta loại được đáp B,D
+) Kiểm tra điều kiện VTPT của mặt phẳng (Q)vuông góc với véctơ AB
ta loại được đáp C
Câu 25:
Phương pháp tự luận
Mặt phẳng
chứa trục Oz có dạng : Ax By 0A2B2 0
Ta có : d I , 1 A2 2B2 1
2
4AB B 0 4A B 0
Chọn A1,B 4 có một vecto pháp tuyến
1; 4;0
n
Câu 26:
Phương pháp tự luận
Phương trình mặt phẳng :Ax Cz 0A2C2 0
Ta có : 2r8 r Mà 4 S
có tâm I1, 2,3 , R 4
Do R r 4 I A3C0
Chọn
A C n
Chọn A3,C 1 n ( 3;0;1)
Chọn A6,C 2 n (6;0; 2)
Phương pháp trắc nghiệm
+) Trục oy có véctơ đơn vị j (0;0;1)
+) Kiểm tra điều kiện VTPT của mặt phẳng vuông góc với véctơ j
ta loại được đáp A
Câu 27:
Phương trình mặt phẳng ABC
bcx cy bz bc
Theo giả thiết:
2
0
1
3
d O ABC
2
2
c
Trang 10Câu 28:
Phương pháp tự luận
+) Mặt phẳng (P) chứa trục Oy nên có dạng: Ax Cz 0 (A2C2 0)
+) Mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng y+z+1=0 góc 600
nên
( ) ( ) 0
( ) ( )
cos 60
P Q
1
2
C
nên B,C,D đều đúng
Phương pháp trắc nghiệm
+)Cách 1: Mặt phẳng (P) chứa trục Oy nên loại đáp án A.
+)Cách 2: thử điều kiện về góc VTPT đáp án A thấy không thỏa mãn
Câu 29:
Phương pháp tự luận
+) Gọi H K, lần lượt là hình chiếu
vuông góc của M trên mặt phẳng( )
và trục Oy
Ta có : K(0; 2;0)
( , ( ))
Vậy khoảng cách từ M đến mặt
phẳng( ) lớn nhất khi mặt phẳng( )
qua K và vuông góc vớiMK
Nên( ) có một veto pháp tuyến là:
1;0;3
n MK
Oy
M
Câu 30:
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt cầu
S : x12y 22z 32 , điểm 9 A0;0;2 Mặt phẳng P
đi qua A và cắt
mặt cầu S theo thiết diện là hình tròn C có diện tích nhỏ nhất Tìm một vecto pháp
tuyến của P
?
A.n 1; 2;3. B.n 1; 2;1. C.n 1; 2;0. D.n 1; 2;1.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Phương pháp tự luận
Mặt cầu S
có tâm I1, 2,3 , R 3
Ta có IA R nên điểm Anằm trong mặt cầu
Ta có : d I P , R2 r2
