Bài 13. Bài tập có đáp án chi tiết về Thể tích tính theo mặt cắt S(x) | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Gọi    là mặt phẳng song song với đáy của hình trụ và cắt đồng hồ cát... Lời giải.[r]

Câu 1 [2D3-3.4-3] (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4)Cho vật thể  T

giới hạn bởi hai mặt phẳng x  ; 0 x  Cắt vật thể 2  T bởi mặt phẳng vuông góc với trục

Ox tại x0 x 2

ta thu được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng x 1 e x

Thể tích vật thể  T

bằng

A

13e4 1

4





4

13e 1 4

 C 2e 2 D 2 e 2

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Hoàng Huy; Fb: Nguyen Hoang Huy

Chọn B

Gọi S x  là diện tích của thiết diện, ta có S x   x1 e2 2x

Thể tích vật thể  T

là

2 2

V S x xx x

Đặt

2 2

1

1 e

d e d

2

x x

v



  







Đặt

2 2

1

1 e

d e d

2

x x

u x

v





 







 

2



(đvtt)

Câu 2 [2D3-3.4-3] (THĂNG LONG HN LẦN 2 NĂM 2019) Tính thể tích vật thể giới hạn bởi hai

mặt phẳng x  , x 0  Biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ x 0 x   

là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng sinx  2

A

7 1 6





9 1 8





7 2 6





9 2 8





Lời giải

Tác giả: Trần Ngọc Quang ; Fb:Quang Tran

Chọn D

Gọi S x 

là diện tích thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ x 0 x   , a là cạnh góc vuông của tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng

s inx  2

Ta có: 2 2  2 2 1 2

2

  1 2 1 2

sin 2

Vậy thể tích vật thể là:

x



0

0

x x

x





Câu 3 [2D3-3.4-3] (THPT LƯƠNG THẾ VINH 2019LẦN 3) Cho hình vuông OABC có cạnh bằng

4 được chia thành hai phần bởi parabol  P có đỉnh tại O Gọi S là hình phẳng không bị gạch (như hình vẽ) Tính thể tích V của khối tròn xoay khi cho phần S quay quanh trục Ox

A

128 5

V  

128 3

V  

64 5

V  

256 5

V  

Lời giải

Tác giả:Nguyễn Dương; Fb:Duong Nguyen.

Chọn D

Ta có parabol  P

có đỉnh O và đi qua điểm B4;4

có phương trình

2

1 4

y x

Khi đó thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng (phần gạch chéo) khi quay quanh trục Ox

là:

2 4

2 1

0

d

V   x  x 



Thể tích khối trụ khi quay hình vuông OABC quanh cạnh OC là: V2 r h2 .4 4 642  

Suy ra thể tích V của khối tròn xoay khi cho phần S quay quanh trục Ox là

64 256 64

V V V     

Câu 4 [2D3-3.4-3] (Chuyên Hưng Yên Lần 3) Để chuẩn bị cho hội trại do Đoàn trường tổ chức, lớp

12A dự định dựng một cái lều trại có hình parabol như hình vẽ Nền của lều trại là một hình chữ nhật có kích thước bề ngang 3 mét, chiều dài 6 mét, đỉnh trại cách nền 3 mét Tính thể tích phần không gian bên trong trại

A 72 m 3 B 36 m3 C 72 m 3 D 36 m 3.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thủy ; Fb:Thu Thủy

Chọn B

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ

Giả sử phương trình của parabol là  P y ax:  2bx c

Ta có parabol có đỉnh là 0;3

và đi qua điểm

3

;0 2

  nên có hệ phương trình

4

4

3

0 4

a b

c

a c











 



Cắt vật thể bởi một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ

x   x 

thấy thiết diện thu được là một hình chữ nhật có chiều rộng bằng

2

4 3

3 x





mét và chiều dài bằng 6 mét Diện tích thiết diện thu được là

4



Vậy thể tích phần không gian bên trong trại là

3 2

3 2

8x 18 dx 36 m





Câu 5 [2D3-3.4-3] (KINH MÔN HẢI DƯƠNG 2019) Một chiếc đồng hồ cát như hình vẽ, gồm hai

phần đối xứng nhau qua mặt nằm ngang và đặt trong một hình trụ Thiết diện thẳng đứng qua trục của nó là hai parabol chung đỉnh và đối xứng nhau qua mặt nằm ngang Ban đầu lượng cát

dồn hết ở phần trên của đồng hồ thì chiều cao h của mực cát bằng

3

4 chiều cao của bên đó

(xem hình)

Cát chảy từ trên xuống dưới với lưu lượng không đổi 12,72cm /phút Khi chiều cao của cát còn3 4cm thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường tròn có chu vi 8 cm(xem hình) Biết

sau 10 phút thì cát chảy hết xuống phần bên dưới của đồng hồ Hỏi chiều cao của khối trụ bên ngoài là bao nhiêu cm ?

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Hữu Nam; Fb: Nam Nguyen Huu.

Chọn D

Gọi   là mặt phẳng song song với đáy của hình trụ và cắt đồng hồ cát Khi đó mặt cắt là một đường tròn có bán kính xcm, suy ra diện tích đường tròn là S t x2cm2

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ, gọi phương trình parabol  P y ax:  2bx c

Bán kính của đường tròn mặt cát bằng 4 cm , nên  P đi qua 3 điểm 0;0, 0; 4 và 4; 4. Suy ra phương trình của  

2 2

x

P y  x  y S  y

Suy ra thể tích cát ban đầu là 0 0

t

V S y y y

(vì mặt cắt vuông góc với Oy ).

Mà thể tích khối cát là V  c 12, 72.10 127, 2 cm  3

Suy ra

 

0 0

63, 6

h

h





Suy ra chiều cao của khối trụ bên ngoài là: 2 .4 12 cm 

Câu 6 [2D3-3.4-3] (Chuyên Vinh Lần 2) Tính thể tích V của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng

0

x  và x  , biết rằng khi cắt bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox4 tại điểm có hoành

độ x 0< < 4x 

thì được thiết diện là nửa hình tròn có bán kính R x 4 x

A

64 3

V 

32 3

V 

64 3

V  

32 3

V  

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Việt Thảo; Fb: Việt Thảo

Chọn D

Diện tích thiết diện là   1 2 1 2  1  2 3

S x  R  x  x   x  x

Thể tích của vật thể cần tìm là

V S x dx  x  x dx 

Nhận xét: Trong đề, chỗ điều kiện 0< < 4x phải sửa lại 0£ £x 4

Câu 7 [2D3-3.4-3] (Chuyên Vinh Lần 2) Viết công thức tính thể tích V của phần vật thể giới hạn

bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm x a x b a b= , = ( < ), có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x a x b( £ £ ) là S x( )

b

a

V =pòS x x

b

a

V=pòS x x

b

a

V=òS x x

D 2 ( )d

b

a

V=p òS x x

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Việt Thảo; Fb: Việt Thảo

Chọn C

Theo định nghĩa

Câu 8 [2D3-3.4-3] (Chuyên Vinh Lần 2) Thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x =0

và x =3, có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ

(0 3)

x £ £x là một hình chữ nhật có hai kích thước bằng x và 2 9 x- 2 , bằng:

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Việt Thảo; Fb: Việt Thảo

Chọn B

Diện tích thiết diện là S x  2x 9 x2

Thể tích của vật thể cần tìm là

 

2

V S x dx x  x dx