Bài 4. Bài tập có đáp án chi tiết về phương pháp đổi biến số | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Mệnh đề nào dưới đây đúngA. Lời giải.[r]

Câu 1 [2D3-2.2-2] (CHUYÊN HUỲNH MẪN ĐẠT 2019 lần 1) Biết

4 2 3

d

ln 2 ln 3 ln 5

x

x x





, trong đó a b c , , Z Tính giá trị của T    a b c

A T 2 B T  3 C.T 1 D T  5

Lời giải

Tác giả: ; Fb:Nguyễn Tiến Phúc

Chọn A

Cách 1.

4 3 2

ln ln 1 ln 4 ln 5 ln 3 ln 4 4ln 2 ln 3 ln 5 1

Cách 2.

Ta có:

4 2 3

d

ln 2 ln 3 5ln

x

xx a b  c a b c



Nhập

4 2 3

d

4 1 1

16

15

x



Câu 2 [2D3-2.2-2] (Chuyên Hùng Vương Gia Lai) Giả sử hàm số f x 

liên tục trên đoạn 0; 2

thỏa mãn

  2

0

f x x 



Tính tích phân

2

0



Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Thanh Mai; Fb: Thanh Mai Nguyễn

Chọn A

+ Đặt

1

2

+ Đổi cận

2

x  t x  t

Vậy

I  f t t f x x

Câu 3 [2D3-2.2-2] (Chuyên Phan Bội Châu Lần2) Cho

  2

1

f x x 



Khi đó

  4

1

d

f x

x x



bằng

Lời giải.

Chọn D

 

f x

Câu 4 [2D3-2.2-2] (HKII Kim Liên 2017-2018) Cho

3 2 2 4

cot d sin

x

x





và ucotx Mệnh đề nào dưới đây đúng

A

2 3

4

d







1 3 0 d

I u u

1 3 0 d

I u u

1

0 d

I u u

Lời giải

Tác giả: Trần Tân Tiến; Fb: Tân Tiến

Chọn B

1

sin

x

Khi đó x 4 u 1



; x 2 u 0



Suy ra

3 2

2

4

cot

sin

x

x





Câu 5 [2D3-2.2-2] (Chuyên Thái Bình Lần3) Cho

  9

4

d 10

f x x 



Tính tích phân

1

0

5 4 d

J f x x

A J 2 B J 10 C J 50 D J 4

Lời giải

Tác giả:ĐẶNG DUY HÙNG ; Fb: Duy Hùng

Chọn A

Đặt t5x4 , dt5dx; Đổi cận





J  f t t f x x 

Câu 6 [2D3-2.2-2] (Triệu Thái Vĩnh Phúc Lần 3) Cho

1 2 0

1

d ln 2 ln 3



với ,a b là

các số nguyên Mệnh đề nào đúng?

.A. a2b0 B a 2b0 C a b 2.D a b 2

Lời giải Chọn A

2

Đồng nhất thức ta có hệ phương trình:

 

2



1

2

2ln 2 ln 3

x x x x x x x x

Vậy a2b0

Câu 7 [2D3-2.2-2] (THPT-Yên-Mô-A-Ninh-Bình-2018-2019-Thi-tháng-4) Diện tích hình phẳng

phần gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào sau đây?

1



   

1



2

1



2

1



Lời giải

Tác giả: Thái Lê Minh Lý; Fb: Lý Thái Lê Minh

Chọn A

Câu 8 [2D3-2.2-2] (Thị Xã Quảng Trị) Cho hàm số f x  liên tục trên 

và thỏa mãn

 

3

1

f x x 



Tính

1

0

I  f x  x  x

A I 11 B I 3 C I  14 D I 6

Lời giải

Tác giả:Lê Thị Ngọc Thúy ; Fb: Lê Thị Ngọc Thúy

Chọn B

Ta có

1

0

I  f x  x  x    

2 0 0

2 1 d

1

0

2 1 d 2

Đặt t2x1

1

2

Với x 0 t1; x 1 t3

 

3

1

1

d 2 2

3

1

1

d 2

2 f x x

2

Câu 9 [2D3-2.2-2] (THPT SỐ 1 TƯ NGHĨA LẦN 2 NĂM 2019) Cho

  1

0

d 2019

f x x 



Giá trị của

4

0

cos 2 sin 2 d



bằng

A

2019

2019 2



2019

Lời giải Chọn D

Đặt

1

2

t x t x x x x t

Đổi cận

0 4









Do đó

I  f t t f t t

Câu 10 [2D3-2.2-2] (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG QUẢNG NAM LẦN 2 NĂM 2019) Cho

ln 5

ln 2

1 1

x

e









Đặt t e x1 Chọn mệnh đề đúng

4 2 1

I  t  dt

ln 5 2

ln 2 ( 2)

I t  dt

C 2 2 

1

I  t  dt

1 2

I t  dt

Lời giải

Tác giả:Trần Anh Tuấn ; Fb: tuantran

Chọn C

1

x

t e  suy ra e x   và t2 1 2 1

x x

e dx dt

e



 Đổi cận:

ln 2 1

x x

x

e

e



Câu 11 [2D3-2.2-2] (HKII Kim Liên 2017-2018) Cho

1

0

d 2

x I

x a







, với a  Tìm a nguyên để0

1

I 

C Vô số giá trị của a D Không có giá trị nào của a

Lờigiải

Tácgiả: Kim Liên; Fb: Kim Liên

Chọn D

Đặt t 2x a  t2 2x a  t td dx

0

x  t a, x 1 t 2a

a

t t



I   a a   2a  a1

0

a





 

   

 0

a a





 





0 1 4

a a







 



0

4

a

Vậy không có giá trị nào của a

Câu 12 [2D3-2.2-2] (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG – NAM ĐỊNH 2019 – LẦN 1) Cho hàm số

 

yf x

có đồ thị như hình vẽ bên Tính tích phân  

3

1



5 3

I 

7 2

I 

9 2

I 

Lời giải

Tác giả : Lê Tuấn Anh; Fb: Anh Tuan Anh Le

Phản biện: Nguyễn Văn Hoạch; Fb : Nguyễn Hoạch

Chọn D

Đặt

1

2

t x  t x x t

Đổi cận: x  thì 1 t  ;3 x  thì 3 t  5



Mà  

2

3

2 f t td 2S ABC











5

2

2 f t td 2 SCDE SEFG S GFHI





Ta có :

1 2

ABC EFG

S S 

;

.2.4 4

CDE

S  OD CE 

; 11 4 2 5

2

GFHI

2 CDE GFHI 2

I  S S 

Câu 13 [2D3-2.2-2] (NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG LẦN IV NĂM 2019) Cho tích phân

  4

0

32

I f x dx

Tích phân

  2

0 2

J f x dx

bằng

A.J 8 B J 64 C J  16 D J 32

Lời giải

Tác giả: Huỳnh Trọng Nghĩa ; Fb: Huỳnh Trọng Nghĩa

Chọn C

Ta có

  2

0 2

J f x dx

Đặt

1

2

t  x dt  dx dx dt

Đổi cận:

J f x dx f t dt  

Ta chọn đáp án C

Câu 14 [2D3-2.2-2] (Chuyên Ngoại Ngữ Hà Nội) Cho

3

2 0

sin cos d



, khẳng định nào sau đây

đúng?

A

3 I 2. B

1 0

3

I

 

2 I 3. D

2

1

3 I .

Lời giải

Tác giả:Trịnh Văn Thạch; Fb: Trịnh Văn Thạch

Chọn B

Cách 1:

3

2 0

sin cos d



Đặt ucosx du sin dx x

Đổi cận

1

x  u x  u

1

1

2

1 1

1

2 2

u

Vậy

1 0

3

I

 

Cách 2:

3

x

Vậy

1 0

3

I

 

Câu 15 [2D3-2.2-2] (THANH CHƯƠNG 1 NGHỆ AN 2019 LẦN 3) Cho 13 f x dx   4, khi đó

1

0 f 2x1 dx

1

3

2.

Lời giải

Tác giả: Giáp Văn Quân ; Fb: quanbg.quan

Chọn B

Đặt t2x1 2

2

dt

dt dx dx

Đổi cận:

Ta có 01 2 1 13   1 13   2

2 2

dt

f x dx f t  f x dx

Câu 16 [2D3-2.2-2] (THPT LƯƠNG THẾ VINH 2019LẦN 3) Cho hàm số f x 

liên tục trên  và

  8

2

d 10

f x x 



3

1

3

3 1 d 2

I  f x x

Lời giải

Tác giả: Đinh Thị Len; Fb: ĐinhLen

Chọn D

Đặt 3x 1 t  3dxdt

1

3

Đổi cận x 1 t ; 2 x 3 t 8

3

1

3

3 1 d 2

I  f x x  

8

2

d

2 f t 3 t

8

2

1

d

2 f t t

Ta có

  8

2

d 10

f x x 

8

2

d 10

f t t

Vậy

  8

2

1

d 2

I  f t t 1.10 5

2

Câu 17 [2D3-2.2-2] (Kim Liên) Cho

1

0

d 2

x I

x m







, m là số thực dương Tìm tất cả các giá trị của m

để I 1

A

1 0

4

m

1 4

m 

8m4.

Lời giải

Tác giả: Ngô Thị Thơ; Fb: Ngô Thị Thơ

Chọn A

Đặt t 2x m  t2 2x m  2 dt t2dx dx t td

Đổi cận

d

t t

t

m

t 

  2 m  m (giả thiết m  ).0

Vậy I 1 2m m1 2m  m1 2m m  1 2 m  2 m 1

0 4m 1

1 0

4

m

Do điều kiện m dương nên

1 0

4

m

Bổ sung Lời giải bằng bấm máy tính:

Với tích phân I:

Thay m 1bấm kết quả không thoả mãn ta loại đáp án B,C

Thay

1 9

m 

bấm kết quả thoả mãn nên ta loại đáp án D

Vậy đáp án đúng là A

Câu 18 [2D3-2.2-2] (Lương Thế Vinh Lần 3) Cho hàm số f x 

liên tục trên  và

  8

2

d 10

f x x 



Tính

3

1

3

3 1 d 2

I  f x x

Lời giải

Tác giả: Đinh Thị Len; Fb: ĐinhLen

Chọn D

Đặt 3x 1 t  3dxdt

1

3

Đổi cận x 1 t ; 2 x 3 t 8

3

1

3

3 1 d 2

I  f x x  

8

2

d

2 f t 3 t

8

2

1

d

2 f t t

Ta có  

8

2

d 10

f x x 

8

2

d 10

f t t

Vậy  

8

2

1

d 2

I  f t t 1.10 5

2

Câu 19 [2D3-2.2-2] (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk) Biết  

5

2

f x x 



và

3

2

2 1 d 2

f x x



Giá trị của

 

7

2 d

f x x



bằng

Lời giải

Tác giả: Nhữ Văn Huấn; Fb: Huân Nhu

Chọn D

3

2

2 1 d 2

f x x



Đặt

d

2

t

t x  t x x

Đổi cận:

Suy ra

d

2

t

f x x f t   f t t  f x x

Khi đó

f x x f x x f x x  

Câu 20 [2D3-2.2-2] (Yên Phong 1) Cho  

4

1

d 9

I f t t

Tính tích phân

1

0

3 1 d

J f x x

Lời giải

Tác giả: Bùi Nguyên Sơn; Fb: Bùi Nguyên Sơn

Chọn C

Đặt t3x1 dt3dx

d d 3

t x

Đổi cận: x 0 t1; x 1 t 4 Khi đó

1

0

3 1 d

J f x x  

4

1

1

d

3 f t t

Vậy phương án C đúng

Câu 21 [2D3-2.2-2] (THPT YÊN DŨNG SỐ 2 LẦN 4) Cho

5

1 ( )d 4

f x x







Tính

2

1 (2 1)d



3 2

I 

5 2

I 

Lời giải

Tác giả: Phạm Văn Chung; Fb: Phạm Văn Chung

Chọn A

Đặt

dt

2

t x   x x

Đổi cận

  





  

Thay vào I ta được

Câu 22 [2D3-2.2-2] (Hàm Rồng ) Cho hàm số yf x 

là hàm lẻ và liên tục trên 4;4 biết

  0

2

f x x





và

2

1

f  x x



Tính

  4

0 d

I f x x

A I 6 B I 10 C I 10 D I 6

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Minh Thắng; Fb: https://www.facebook.com/nmt.hnue

Chọn A

 

0

1

2



Đặt xt

1

 

yf x

là hàm lẻ  f 2x  f 2x     

f x x f  x x

Đặt 2x t  2dxdt Ta có :

2

2 1

2 2

t

f x x f t  f t t  f t t  f x x

I f x xf x xf x x

Câu 23 [2D3-2.2-2] (Nguyễn Khuyến)Cho hàm số f x 

thỏa mãn

  1

0

f x x

.Tích phân

  2

0

d

f x x

bằng

Lời giải

Tác giả: Ngô Thị Thơ; Fb: Ngô Thị Thơ

Chọn D

Đặt

d

2

; Đổi cận: x 0 t0;x 1 t 2

Ta có

f x xf t t  f t t f t t

Theo tính chất tích phân

f t t f x x

Vậy

2

0

( )d 4

f x x

Cách 2: Trắc nghiệm

Chọn f x   2, x

Ta có

 

f x x x

(đúng) Suy ra

 

f x x x

Câu 24 [2D3-2.2-2] (Gang Thép Thái Nguyên) Cho tích phân

2 2

2 0

I    x x

và x4sint Mệnh

đề nào sau đây đúng?

A

4

0

8 1 cos2 d



  

4 2 0

16 sin d



C

4

0

8 1 cos2 d



  

4 2 0

16 cos d



 

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Minh Thắng; Fb: facebook.com/nmt.hnue

Chọn D

Đặt x4sint dx4cos dt t

Đổi cận: x 0 t0; x 2 2 t 4



4

2 0

16 16sin 4cos d



 

4

0

4 cos 4cos dt t t





4

0

4 cos 4cos dt t t





4

0

16 cos cos dt t t



Mà vì

0;

4

t  

  thì cost 0 nên khi đó

4 2 0

16 cos d



4

0

8 1 cos2 dt t



  

Câu 25 [2D3-2.2-2] (Đặng Thành Nam Đề 17) Cho  

e

2 1

ln

ln 2

x



với a , b , c là

các số hữu tỷ Giá trị của 3a b c  bằng

A 2 B 1 C 2 D 1.

Lời giải Chọn B

Đặt

1

x

Đổi cận: x 1 t ; 0 x e t 1

Khi đó:

ln

2

t

t

 



1

0

t

t



Suy ra:

1 3

a 

; b  ; 1 c  1

Do đó: 3a b c   1

Câu 26 [2D3-2.2-2] (SỞ QUẢNG BÌNH NĂM 2019) Cho  

3

2 1

ln

d ln 3 ln 2 1

b



với , , *

a b c   và phân số b a tối giản Giá trị của a b c  bằng

Lời giải

Tác giả: Phan Thanh Tâm ; Fb: Phan Thanh Tâm

Chọn A

Đặt  2

d

d

1 1

x

x x

v x









Ta có  

3

3

1

1

Suy ra

3 4 1

a b c











 

 Do đó a b c   8

Câu 27 [2D3-2.2-2] (HKII Kim Liên 2017-2018) Biết

2016 2018

d

2 2

b

a x x







, x  , với a2 , b nguyên dương Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A a b B a b C a3b D b a 4034

Lời giải

Tác giả: Bùi Nguyên Sơn; Fb: Bùi Nguyên Sơn

Chọn C

Cách 1

Xét hàm số   1 1

2

b

x

a x





  , x  Ta có:2

 

2

Khi đó

b b

a







Suy ra

3 2017

b









Cách 2

Đặt

1 2

x t x





3

2

x





, ta có:

d

x

2017 2017

2016

d

x







Khi đó 2017

b



2017 3

b









 Vậy phương án C đúng.

Câu 28 [2D3-2.2-2] (THPT-Nguyễn-Công-Trứ-Hà-Tĩnh-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3)Biết

ln 6

0

e

x

x x a b  c



với a , b , c là các số nguyên Tính T   a b c

A T  1 B T 0 C T  2 D T  1

Lời giải

Tác giả: Phạm Cao Thế; Fb: Cao Thế Phạm

Chọn B

Xét

ln 6

0

e d

x x



Đặt t  ex 3  t2 ex 3  2 dt te dx x Đổi cận x 0 t2, xln 6 t3

Khi đó

3

2

2 d 1

t

t







3

2

2

1 t

t



2

2t 2lnt 1

Suy ra a 2, b 4, c 2 nên T    a b c 0

Câu 29 [2D3-2.2-2] (Chuyên KHTN lần2) (Chuyên KHTN lần2) Cho hàm số f x 

liên tục trên 

và thỏa mãn

  2

0

d 8

f x x 



Tích phân

  1

0

2 d

f x x



bằng

Lời giải

Tác giả: Vũ Ngọc Tân ; Fb: Vũ Ngọc Tân.

Phản biện: Đỗ Hữu Nhân ; Fb: Do Huu Nhan

Chọn C

Xét tích phân:

  1

0

2 d

I f x x

Đặt 2 2 2

dt

t x dt dx dx

Đổi cận: với x 0 t , 0 x 1 t 2

Khi đó:

I  f t t f x x 

Câu 30 [2D3-2.2-2] (Đoàn Thượng)Cho hàm số f x 

liên tục trên  và

 

2

0

f x x







Tính

 2 0

d





A I 1008 B I 2019 C I 2017 D I 1009

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Mạnh Dũng; Fb: dungmanhnguyen

Chọn D

Câu 31 [2D3-2.2-2] (KonTum 12 HK2) Cho biết

e

1

ln 3

3

x



 



, với a ,b là các số nguyên.

Giá trị của biểu

1 log

bằng

7

Lời giải

Tácgiả:Kim Liên; Fb:Kim Liên

Chọn C

e

1

ln 3

d

x

x





Đặt t lnx3

1

2 dt t dx x

Với x 1 t 3

x  t

Ta có:

2 2 3

2 dt

I  t

3 2 2

t

2 3 3

Suy ra a 16, b  2

1

Câu 32 [2D3-2.2-2] (KINH MÔN HẢI DƯƠNG 2019) Cho hàm số f x 

liên tục trên  và có

f x x f x x

1

1

I f 2x 1 dx



2 3

I 

3 2

I 

Lời giải

Tác giả: Lê Thị Giang; Fb: giang lê

Chọn C

Với t2x , 1 u2x , ta có 1

1

1 2

1 1

2



1

1 2

1 1

2

2 f t t 2 f u u

2 f x x 2 f x x

Vậy I 5.

Câu 33 [2D3-2.2-2] (ĐỀ-THI-THU-ĐH-THPT-CHUYÊN-QUANG-TRUNG-L5-2019) Cho

2 4

1

x

  

 

  



với , , ,a b c d là các số nguyên,

a

b và

c

d là các phân số tối

giản Giá trị của a b c d   bằng

Lời giải

Tác giả: Vũ Danh Được ; Fb: Danh Được Vũ

Chọn B

t

3 3

2

          



Do đó a b c d   18

Câu 34 [2D3-2.2-2] (KonTum 12 HK2) Cho biết

1 2 0

1d

x x  x

b





với a , b là các số tự

nhiên Giá trị của a2 b2 bằng

Lời giải

Tác giả: ; Fb: Biện Tuyên.

Chọn A

Cách 1:

1 2 0

1d

x x  x

0

1

1

0

1

3





2

a

  , b  3

Vậy a2 b2  5

Cách 2: Đặt x2 1 t  x2 1 t2 x x t td  d

Ta có x 0 t  , 1 x 1 t 2

Khi đó:

1 2 0

1d

x x  x



2 2 1 d

t t



2 3

1 3

t

3





2

a

  , b  3

Vậy a2 b2  5

Cách 3: dùng MTCT

Bước 1: Tính tích phân rồi lưu lại là A (SHIFT  STO  A)

Bước 2: Rút

2 1 A

a

Bước 3: MODE 7 nhập   2 1

A

x

f x  

với Start: 0 , End: 18, Step: 1 (vì a b   ).,

Được cặp số x  , 2 f x   3 thỏa mãn Suy ra a  ,2 b  3

Câu 35 [2D3-2.2-2] (Lý Nhân Tông) Cho hàm số f x 

thỏa mãn

  2017

0

d 1

f x x 



Tính tích phân

1

0

2017 d

I f x x

1 2017

I 

D I 2017 Lời giải

Chọn C

Đặt

1

2017

Đổi cận x 0 t0;x 1 t 2017

Khi đó

  2017

0

Câu 36 [2D3-2.2-2] (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Cho tích phân

  4

0

d 32

Tính tích phân

  2

0

2 d



Lời giải

Tác giả: Lê Trọng Hiếu ; Fb: Hieu Le

Chọn D

Đặt

d

2

Đổi cận : x 0 t0;x 2 t 4.

Câu 37 Câu 9 [2D2-5.3-4] (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Tính tổng T các giá trị nguyên của

tham số m để phương trình e x m2 m e x 2m

có đúng hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 1

log e

A T 28 B T 20 C T 21 D T 27

Lời giải

Tác giả: Hoàng Vũ ; Fb: Hoàng Vũ

Chọn D

 2 

2

x

x

e



(1) Đặt t e x,t 0

(1)  t2 2mt m 2 m0(*)

Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x ; 1 x thỏa: 2 1 2

1 log

x x

e

 

 phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt t t thỏa mãn 1; 2 0t1t2 10

0

2 0 ( 10)( 10) 0

S

P

 







 





2 2

0

21 100 0

m m







 

 





0











m m m

m

Câu 38 [2D3-2.2-2] (HSG Bắc Ninh) Cho  

2

1

f x x 



Khi đó

  4

1

d

f x

x



bằng

1

Lời giải

Tác giả:Trần Kim Nhung; Fb:Nhung tran thi kim

Chọn A

dx

x

Vớix  1 t 1;x   4 t 2

Ta có:

 

 

=2 dt 2.2 4

f x

x

(Vì  

2

1

2

f x dx 



)

Câu 39 [2D3-2.2-2] (Kim Liên 2016-2017) Cho

2 2 1

I x x  x

và u x 2 Mệnh đề nào dưới1

đây sai ?

A

3

0 d

I  u u

2 27 3

I 

2

1 d

I  u u

3 2 2 3 3

I 

Lời giải

Tác giả: Lưu Thế Dũng; Fb: Lưu Thế Dũng

Chọn C

Đặt u x 2 1 du2 dx x

Đổi cận: Với x  thì 1 u  ; với 0 x  thì 2 u  3

Khi đó

3

0

I x x  x u u u  

do đó mệnh đề

2

1 d

I  u u

sai

Câu 40 [2D3-2.2-2] (ĐOÀN THƯỢNG-HẢI DƯƠNG LẦN 2 NĂM 2019) Cho

8

3

1 d 10

f x x



Tính

1

0

5 4 d

J f x x

2

J 

Lời giải

Tác giả: ; Fb: Nguyễn Út

Chọn D

Ta có

10f x1 dxf x1 d x1  

9

4

d 10

f x x

Nên

1

5

9

4

1

5 f x x

Câu 41 [2D3-2.2-2] (Yên Phong 1) Cho tích phân

4 2 0

9d

I x x  x

Khi đặt t x2 thì tích phân9

đã cho trở thành

A

5

3 d

t t



4

0 d

t t



4 2 0 d

t t



5 2 3 d

t t



Lời giải

Tác giả: Hà Toàn; Fb: Hà Toàn

Chọn D

Đặt t x2 9 t2 x2 9 t t x xd  d

Đổi cận:

Khi đó

5 2 3 d

I t t