Tính xác suất để số sách sau khi Thầy phát thưởng cho học sinh còn lại đủ cả ba loại. A.[r]
Trang 1SỞ GD & ĐT BẮC NINH
TRƯỜNG THPT HÀN THUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG KHỐI 12 LẦN 3
NĂM HỌC: 2017-2018 MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút;
(50 câu trắc nghiệm)
Mã đề 132 Câu 11 [1H3-4][Hàn Thuyên,tỉnh Bắc Ninh,lần 3,năm 2018] Cho hình chóp SABCD có đáy là hình
bình hành, AB3 ,a AD4 ,a BAD 120 0 Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy,
SA a Tính góc giữa hai mặt phẳng SBC và SCD
A 30 0 B 90 0 C 60 0 D 45 0
Lời giải Chọn D.
Chọn hệ toạ độ Oxyz như sau: OzAS Oy; AD Ox AE;
( E là hình chiếu của A lên cạnh
BC )
Khi đó:
(0;0;0); ; ;0 ; ; ;0 ; (0; 4 ;0); (0;0; 2 3 )
A B C D a S a
Do đó:
; ; 2 3 ; ; ; 2 3 ; (0;4 ; 2 3 ); (0;0;2 3 )
Ta tính được 1 vectơ pháp tuyến của (SBC là ) n (4;0;3) và (SCD là ' (1; 3;2)) n
Vậy
1 cos( ; ')
2
n n
Vậy góc giữa (SBC và () SCD là ) 0
45
Câu 21.
[2H2-3] [Hàn Thuyên,tỉnh Bắc Ninh,lần 3,năm 2018] Cho một hình nón
( )N
có đáy là hình tròn tâm O, đường kính 2a và đường cao SO =2 a Cho điểm H thay đổi trên đoạn thẳng
SO Mặt phẳng ( )P
vuông góc với SO tại H và cắt hình nón theo đường tròn ( )C
Khối nón
có đỉnh là O và đáy là hình tròn ( )C
có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu?
E
S
A
z
x
Trang 2A
3 32 81
a
3 8 81
a
3 11 81
a
3 7 81
a
Lời giải Chọn B.
Đặt OH h0h2a
nên SH 2a h
Do
HE
Ta có
2
C
a h
V h
Xét hàm f h h3 4ah24a h2
3
h a loai
h
3 0;2
a
Max f h f
Nên
3 8 81
C
a MaxV
Câu 31 [2D3-3] [Hàn Thuyên,tỉnh Bắc Ninh,lần 3,năm 2018] Cho hàm số yf x
, liên
tục trên 0;1 và thỏa mãn
1
0
x f x dx
và 2f 1 f 0 Tính 2
1
0
I f x dx
A I 12 B I 8 C I 12 D I 8.
Lời giải Chọn D.
1 '
dv f x dx v f x
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần và giả thiết bài toán, ta được:
1
0
I
S
A
h a
Trang 3Câu 37 [2H1-3] [Hàn Thuyên,tỉnh Bắc Ninh,lần 3,năm 2018] Cho hàm số
1
x y x
có đồ thị
H , điểm A 4; 1 và đường thẳng d :y x m
Gọi ,B C là giao điểm của đường
thẳng d và đồ thị H Kí hiệu S là tập tất cả các giá trị thực của m sao cho tam giác
ABC đều Tổng giá trị tất cả các phần tử của tập S bằng.
Lời giải Chọn A.
Ta có phương trình hoành độ giao điểm
1
x
x m x
x2(3 m x) 1 m , với 0 x 1
Để đường thẳng d
và đồ thị H
cắt tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi:
2 2
+ Gọi B x( ;1 x1m C x), ( ;2 x2m) là 2 toạ độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị H
Gọi
1 2 1 2 2
;
M
ABC
đều khi và chỉ khi
(*)
AM d
(*) 2AM 3BC
Do đó ta có:
2
1 2
x x
Vậy tổng các giá trị m của S là 8
Câu 38 [1D2-4] [Hàn Thuyên,tỉnh Bắc Ninh,lần 3,năm 2018] Cho đa giác đều 200 đỉnh nội tiếp
trong đường tròn Lấy ngẫu nhiên 3 đỉnh trong 200 đỉnh đó Tính xác suất để lấy được tam giác tù
A.
147
52
150
49
199
Lời giải Chọn A.
Số cách chọn 3 đỉnh trong 200 đỉnh của đa giác đều
3 200
200.199.198 3!
Tính số tam giác tù được tạo thành
Đánh số các đỉnh là A A1, 2, ,A 200
Xét đường chéo A A của đa giác là đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác đều chia 1 101 đường tròn ra làm 2 phần mỗi phần có 99 điểm từ A đến 2 A và 100 A đến 102 A 200
+ Khi đó, mỗi tam giác có dạng A A A 1 i j
là tam giác tù nếu A và i A j
cùng nằm trong nửa đường tròn, chọn nửa đường tròn: có 2 cách chọn
Trang 4+ Chọn hai điểm A , i A j là hai điểm tùy ý được lấy từ từ 99 điểm A , 2 A đến 3 A , có100
2
99
99.98 2
C
cách chọn
+ Giả sử tam A nằm giữa i A và 1 A j
thì tam giác tù tại đỉnh A Khi xét tại đỉnh i A j
thì tam giác
1 1
A A A A A A
+ Vì đa giác có 200 đỉnh nên số tam giác tù là
2.98.99
.200 100.99.98
Vậy xác suất cần tìm là
100.99.98 147 200.199.198 199 6
Câu 40 [2D3-3] [Hàn Thuyên,tỉnh Bắc Ninh,lần 3,năm 2018] Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo
thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y x, y và 0 x 4 quanh trục Ox.
Đường thẳng x a 0a4
cắt đồ thị hàm y x tại M Gọi V là thể tích khối tròn xoay1 tạo thành khi quay tam giác OMH quanh trục Ox Biết V 2V1 Tìm giá trị a
A a 2 B a 2 2 C
5 2
a
D a 3
Lời giải Chọn D.
Gọi V là thể tích khối tròn xoay do
: 0
4
x
quay quanh Ox
V x dxx x
Gọi V là thể tích khối tròn xoay do 1 H1:OMH
quay quanh Ox
Khi OMH quay quanh Ox tạo ra 2 khối nón tròn xoay là khối nón đỉnhO, trục ON, bán
kính đáy NM và khối nón đỉnh H , trục HN , bán kính đáy NM
1
4
1
1 4 3
1
4
3
V V a a
Câu 45 [2H2-3] [Hàn Thuyên,tỉnh Bắc Ninh,lần 3,năm 2018] Cho hình chóp S ABC. có đáyABClà
tam giác vuông tại B , AB a BC ; 2a SA vuông góc với AB , SC vuông góc với BC và góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 60 Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình0 chóp S ABC
Trang 5A
3
8 2
3
a
3 2 3
a
C 2 2 a 3 D 8 a 2
Lời giải Chọn A.
Cách 1 Gọi D là điểm đối xứng của B qua trung điểm của AC, suy ra ABCD là hình chữ nhật
Ta có
1
AB SA
AB SD
2
BC SC
Từ (1) và (2) suy ra SDABC
Suy ra góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy là góc SCD
Từ đó SCD 600 Xét tam giác SCD vuông tại D ta có cos 60 2
DC
Do tam giác SBC vuông cân tại C nên SB2 2a
Gọi I là trung điểm SB Suy ra IA IB IS (do SAB vuông tại A ) và IB IC IS (do
SBC
vuông tại C ) Suy ra
1 2
IA IB IC IS SB
Hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp S ABC.
Suy ra
3
a
R SB a a a a V R
Chọn đáp án A
Cách 2 (Tọa độ hóa)
S
A
B C
D
I
60
Trang 6Gắn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ Khi đó
(0;0;0)
B , ( ;0;0)A a , (0; 2 ;0)C a , ( ; ; )S x y z , với , , x y z 0
(ABC) ( Oxy z) : 0
Ta có SA a x y z AB ; ; , a;0;0
SAAB SA AB a a x x a
Ta có SC x a y z;2 ; ,BC0; 2 ;0a
SC BC SC BC a a y y a
Suy ra ( ; 2 ; )S a a z
Đường thẳng SC có véc-tơ chỉ phương là CSa;0;z
Mặt phẳng (ABC có véc-tơ pháp tuyến là ) k 0;0;1
Theo đề bài, góc giữa SC và mp ( ABC là ) 0
60 nên
2 2
2 2
2
Gọi I là trung điểm SB Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC.
Ta có
R SB a a a a
Vậy thể tích khối cầu là
3 3
a
V R
Câu 46 [2H3-3] [Hàn Thuyên,tỉnh Bắc Ninh,lần 3,năm 2018] Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz, cho điểm A2; 2;0 , B2;0; 2
và mặt phẳng ( ) :P x2y z 1 0 Gọi ( ; ; )M a b c là
điểm thuộc mặt phẳng P
sao cho MA MB và góc AMB có số đo lớn nhất Khi đó giá trị
4
a b c bằng
Lời giải Chọn A.
Cách 1:
y x
A
Trang 7+) Vì MA MB nên M thuộc mặt phẳng mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB Ta có phương trình trung trực của AB là ( ) : Q y z 0
+) M thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng ( ),(Q)P nên M thuộc đường thẳng
1 3 ( ) :
z t
Gọi M1 3 ; ; t t t
, ta có
2
cos
AMB
Khảo sát hàm số
2 2
(t)
f
, ta được
5 min (t)
27
khi
1 11
t
Suy ra AMB có số đo lớn nhất khi
1 11
t
, ta có
11 11 11
M
Khi đó giá trị a4b c 1
Cách 2:
I là trung điểm của AB I2,1, 1
0, 2, 2
AB
MA MB
M thuộc mặt phẳng trung trực của AB gọi là Q
Q : 0x 2 1y 1 1 z 1 0
y z 0
Do giả thuyết M P M P Q
Toạ độ M thỏa mãn hpt
1 3
1 3 , , 0
y z
z t
Do AMB cân tại M AMB 2 AMI
Mà 00 AMI 900 AMI max sinAMI max
Lại có sin max
AI AMI
AM
, AI cố định
sin AMI max AM min
Mà AM= 1 3 t 22t12 t 12 11t22t3
2
AM f t t t
min t= 1
11
Vậy
M a b c
Câu 47 [1D2-4] [Hàn Thuyên,tỉnh Bắc Ninh,lần 3,năm 2018] Thầy Dũng có 15 quyển sách
gồm 4 quyển sách Toán, 5 quyển sách Văn và 6 quyển sách Tiếng Anh, các sách đôi một khác nhau Thầy lấy ngẫu nhiên 8 quyển để phát thưởng cho học sinh Tính xác suất để số sách sau khi Thầy phát thưởng cho học sinh còn lại đủ cả ba loại
A
2132
54
73
661
715 Lời giải
Trang 8Chọn D.
Số phần tử của không gian mẫu: C 158
Gọi A là biến cố “Số sách còn lại đủ cả 3 loại”, ta xét các trường hợp sau:
+) Lấy hết số sách Toán (4 sách toán và 4 quyển khác trong 11 quyển còn lại) có C cách 114 chọn
+) Lấy hết số sách Văn (5 sách văn và 3 quyển khác trong 10 quyển còn lại) có C cách chọn103 +) Lấy hết số sách Tiếng Anh (6 sách Tiếng Anh và 2 quyển khác trong 9 quyển còn lại) có 2
9
C cách chọn.
Khi đó:
4 3 2
11 10 9 8 15
661 ( ) 1
715
P A
C
