TỔ hợp và xác SUẤT vận DỤNG CAO đề số 04

Xác suất để 3 phần tử được chọn lập thành một cấp số cộng bằng A.. Xác suất để 3 phần tử được chọn lập thành một cấp số cộng bằng A.. Trong mỗi lượt chơi có 2 người tham gia, mỗi người

BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – PRO XMAX CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN 1

VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO TỔ HỢP VÀ XÁC

SUẤT (ĐỀ SỐ 04)

*Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam – website:

www.vted.vn Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại www.vted.vn

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề)

Mã đề thi

004

Họ, tên thí sinh: Trường:

PRO XMAX CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN Thi và xem đáp án chi tiết tại khoá học PRO_XAX: https://goo.gl/QRX5CQ

Tính số phần tử của một tập “hợp”

A∪B = A + B − A∩B A∪ B ∪C = A + B + C − A∩ B − B ∩C − C ∩ A + A∩ B ∩C

Bài toán tổng quát:

A i (i =1;2; n) Thế thì

ta có công thức (1) sau:

A1∪ A2∪ ∪ A n = A i

i=1

n

1≤i< j≤n∑ + A i ∩ A j ∩ A k

1≤i< j<k≤n∑ − + −1( )n−1

A1∩ A2 ∩ A n

CHỨNG MINH :

ở cả 2 vế của (1)

x ∈ A1; A2; A k và không thuộc các tập hợp khác Trong trường hợp này x được đếm 1 lần

A i

i=1

n

C k

A i ∩ A j

1≤i< j≤n∑ ; được đếm C k3 lần trong

A i ∩ A j ∩ A k

1≤i< j<k≤n∑ ;…… Suy ra , ở VP của x được đếm :

C k

1−C k2+ C k3− + −1( )k−1

C k k = C k0− C k0−C k1+ C k2−C k3+ + −1( )k

C k k

=1

vậy ở 2 vế mỗi phần tử x được đếm số lần như nhau , nên công thức được chứng minh CHÚ Ý : Phương pháp chứng minh trên được gọi là phương pháp GÓP LẠI (

CONTRIBUTED METHOD)

2 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – PRO XMAX CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN

NGUYÊN LÝ QUÉT LIÊN TIẾP ( SUCCESSIVE SWEEP PRINCIPLE) :

SIEVE FORMULA – CÔNG THỨC SÀNG :

A1∩ A2 ∩ An = S − A1∪ A2 ∪ An

= S − A i

i=1

n

1≤i< j≤n∑ − A i ∩ A j ∩ A k

1≤i< j<k≤n∑ + + −1( )n

A1∩ A2 ∩ An

CHỨNG MINH :

Ta có :theo công thức De Morgan

A1∩ A2 ∩ An = A1∪ A2∪ ∪ A n = S − A1∪ A2 ∪ A n

Ví dụ Xác định số các số nguyên dương nhỏ hơn 1000 và không chia hết cho 7 và cũng

không chia hết cho 5

Giải Đặt S={1;2;…;999}

A i = k | k ∈ S;k!i{ } Thế thì ta cần tính :

A5∩ A7 Theo công thức sàng , ta có:

A5∩ A7 = A5∪ A7 = S − A5∪ A7 = S − A( 5 + A7 − A5∩ A7)

= 999− 999

5

⎡

⎣

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥ +

999 7

⎡

⎣

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥ −

999 5.7

⎡

⎣

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟= 686.

BÀI TOÁN CÁC LÁ THƯ SAI ĐỊA CHỈ CỦA BERNOULLI-EULER

Có bao nhiêu cách để gắn n lá thư phân biệt vào trong n phong bì sao cho không có lá

thư nào vào đúng phong bì tương ứng của nó

Giải Ta phát biểu lại bài toán : Có bao nhiêu hoán vị của các số {1;2;…;n} sao cho số k

không đặt ở vị trí k với mọi k (1≤k≤n) Các hoán vị như thế gọi là hoán vị xáo trộn và

{a1;a2; ;a n} của

Rõ ràng ta có :

S = n!; A i = n−1( )!; A i ∩ A j = n−2( )!,

A i

1∩ A i

2∩ ∩ A i

k = n− k( )! 1≤ i( 1< i2< < i k ≤ n)

Theo công thức, ta có:

D n = A1∩ A2∩ ∩ A n = n!−C n1(n −1)!+ C n2(n−2)!−C n3(n−3)!+ + −1( )n

C n n0!

= n! 1−1

1!+ 1 2!−1 3!+ +( )−1n

n!

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟⎟⎟

⎟

BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – PRO XMAX CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN 3

Câu 1 Gọi S là tập các số tự nhiên gồm 6 chữ số được lập từ các chữ số 0,1,2, ,9{ } Chọn ngẫu

nhiên một số thuộc S Xác suất để chọn được một số có tích các chữ số bằng 7875 là

A

1

15000. B

1

4

18

510. Câu 2 Cho tập

A= 1,2, ,30{ } Chọn ngẫu nhiên 3 phần tử của A Xác suất để 3 phần tử được chọn

lập thành một cấp số cộng bằng

A

3

45

3

24

29.

Câu 3 Cho tập

A= 1,2, ,49{ } Chọn ngẫu nhiên 3 phần tử của A Xác suất để 3 phần tử được chọn

lập thành một cấp số cộng bằng

A

72

69

75

24

29.

Câu 4 Cho tập

S= 2{ 1,22,23, ,210} Chọn ngẫu nhiên hai phần tử a,b từ tập S Xác suất để log a b là

một số nguyên bằng

A

17

3

1

17

45.

Câu 5 Trò chơi quay bánh xe số trong chương trình truyền hình "Hãy chọn giá đúng" của kênh VTV3 Đài truyền hình Việt Nam, bánh xe số có 20 nấc điểm: 5, 10, 15, , 100 với vạch chia đều nhau và giả

sử rằng khả năng chuyển từ nấc điểm đã có tới các nấc điểm còn lại là như nhau

Trong mỗi lượt chơi có 2 người tham gia, mỗi người được quyền chọn quay 1 hoặc 2 lần, và điểm số của người chơi được tính như sau:

+ Nếu người chơi chọn quay 1 lần thì điểm của người chơi là điểm quay được

+ Nếu người chơi chọn quay 2 lần và tổng điểm quay được không lớn hơn 100 thì điểm của người chơi

là tổng điểm quay được

+ Nếu người chơi chọn quay 2 lần và tổng điểm quay được lớn hơn 100 thì điểm của người chơi là tổng điểm quay được trừ đi 100

Luật chơi quy định, trong mỗi lượt chơi người nào có điểm số cao hơn sẽ thắng cuộc, hòa nhau sẽ chơi lại lượt khác

An và Bình cùng tham gia một lượt chơi, An chơi trước và có điểm số là 75 Tính xác suất để Bình thắng cuộc ngay ở lượt chơi này

A 1

16. Câu 6 Xếp ngẫu nhiên 12 học sinh gồm 2 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 6 học sinh lớp C thành

một hàng ngang Xác suất để không có học sinh lớp B nào xếp giữa hai học sinh lớp A bằng

4 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – PRO XMAX CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN

A

1

1

1

1

55.

Câu 7. Có hai hộp A và B, mỗi hộp đựng 10 viên bi khác nhau Lấy ngẫu nhiên từ hộp A và hộp B một số viên bi sao cho số viên bi lấy ra từ hộp B nhiều hơn số viên bi lấy ra từ hộp A đúng 1 viên Có

bao nhiêu cách lấy bi, biết rằng mỗi hộp đều được lấy tối thiểu 1 viên bi

A 167950. B 167960. C 524288. D 524279.

Câu 8 Có 8 bì thư được đánh số từ 1 đến 8 và 8 tem thư được đánh số từ 1 đến 8 Có bao nhiêu cách

dán 8 tem thư lên 8 bì thư (mỗi bì thư dán một tem thư) sao cho có ít nhất một bì thư được dán tem thư

có số trùng với số của bì thư đó

A 25489. B 25487. C 25490. D 25488.

Câu 9 Cho tam giác ABC Xét m đường thẳng phân biệt song song với cạnh AB,n đường thẳng phân

biệt song song với cạnh AC và 2 đường thẳng phân biệt song song với cạnh BC Biết m,n≥2;m,n∈!

và có tất cả 43 hình bình hành được thành lập từ m+ n+2 đường thẳng nói trên Có bao nhiêu bộ số (m;n) thoả mãn yêu cầu trên

Câu 10 Từ 15 học sinh gồm 6 học sinh lớp A, 5 học sinh lớp B và 4 học sinh lớp C Chia ngẫu nhiên

15 học sinh này thành 5 nhóm khác nhau, mỗi nhóm 3 học sinh Xác suất để nhóm nào cũng có học sinh lớp A và lớp B bằng

A

108

216

216

35035. D

72

7007.

Câu 11 Chọn ngẫu nhiên ba số phân biệt a,b,c từ tập S = 1,2, ,30{ } Xác suất để a2+ b2+ c2 chia hết cho 3 bằng

A

101

3

81

9

29.

Câu 12 Chọn ngẫu nhiên ba số phân biệt a,b,c từ tập S = 1,2, ,30{ } Xác suất để a3+ b3+ c3 chia hết cho 3 bằng

A

68

3

18

9

29.

Câu 13 Cho tập

A= 1;2;3;4;5;6{ } Gọi M là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau được thành lập từ tập A. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập M. Xác suất để số được chọn có dạng abcdef thoả mãn a + b+ c +1= d + e+ f bằng

A 1

20. Câu 14. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên gồm 5 chữ số Xác suất để số chọn được có dạng abcde

thoả mãn 1 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e ≤ 9 bằng

A

143

10000. B

138

11

3

7.

Câu 15 Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên gồm 6 chữ số Xác suất để số chọn được có dạng

a1a2a3a4a5a6 thoả mãn 1≤a1≤ a2≤ a3≤ a4≤ a5≤ a6≤ 9 bằng

BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – PRO XMAX CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN 5

A

7

75000. B

143

75000. C

1001

180000. D

1001

300000.

Câu 16 Cho đa giác đều 20 cạnh Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh của đa giác đều Xác suất để ba đỉnh được chọn là ba đỉnh của một tam giác có cạnh là cạnh của đa giác đều bằng

A 17

57. Câu 17 Xếp ngẫu nhiên 6 viên bi được ghi số từ 1 đến 6 thành một hàng ngang Xác suất để tổng hai

số ghi trên hai viên bi xếp cạnh nhau bất kì là một số tự nhiên có một chữ số bằng

A 1

20. Câu 18 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số dạng abc sao cho a,b,c là độ dài ba cạnh một tam

giác cân

Câu 19 Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên gồm 3 chữ số Xác suất để số chọn được có dạng abc sao cho a,b,c là độ dài ba cạnh một tam giác cân (không đều) bằng

A

9

11

13

27

100.

Câu 20. Một hộp đựng 6 bi đỏ được đánh số từ 1 đến 6; 7 bi xanh được đánh số từ 1 đến 7; 8 bi vàng được đánh số từ 1 đến 8 Chọn ngẫu nhiên 4 viên bi, xác suất để lấy ra 4 viên bi có đủ cả ba màu và có

cả viên bi đánh số chẵn lẫn viên bi đánh số lẻ bằng

A

451

49

902

106

1995.

HẾT -CÁC KHOÁ HỌC MÔN TOÁN DÀNH CHO 2K – 2K1 – 2K2 – 2K3 TẠI VTED

PRO X LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2019 CHO

TEEN 2K1

https://vted.vn/khoa-hoc/xem/khoa-hoc-pro-x-

luyen-thi-thpt-quoc-gia-mon-toan-2019-kh633150433.html

PRO XMAX – VẬN DỤNG CAO 2018 MÔN

TOÁN CHO TEEN 2K

https://vted.vn/khoa-hoc/xem/khoa-pro-xmax-

chinh-phuc-nhom-cau-hoi-van-dung-cao-2018-mon-toan-kh266161831.html

6 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – PRO XMAX CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN

PRO X LUYỆN THI THPT QUỐC GIA MÔN

TOÁN 2018 CHO TEEN 2K

https://vted.vn/khoa-hoc/xem/pro-x-luyen-thi-thpt-quoc-gia-mon-toan-2018-kh522847554.html

PRO XPLUS – LUYỆN ĐỀ THI THỬ THPT

QUỐC GIA 2018 MÔN TOÁN

https://vted.vn/khoa-hoc/xem/khoa-pro-xplus-luyen-

de-thi-thu-thpt-quoc-gia-2018-mon-toan-kh644451654.html

PRO XMIN –BỘ ĐỀ THI THPT QUỐC GIA 2018

MÔN TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN VÀ CÁC

SỞ ĐÀO TẠO

https://vted.vn/khoa-hoc/xem/pro-xmin-bo-de-thi-

thu-thpt-quoc-gia-2018-mon-toan-cac-truong-

chuyen-va-cac-so-giao-duc-dao-tao-kh084706206.html

PRO Y NỀN TẢNG TOÁN 11 VỮNG CHẮC CHO

TEEN 2K1

https://vted.vn/khoa-hoc/xem/khoa-hoc-bam-sat-

toan-dien-chuong-trinh-toan-11-plus-11-kh968641713.html PRO O CHƯƠNG TRÌNH HỌC SINH GIỎI

TOÁN 11 CHO TEEN 2K1

https://vted.vn/khoa-hoc/xem/olympic-toan-11-kh071103157.html

PRO Z NỀN TẢNG TOÁN 10 VỮNG CHẮC CHO

TEEN 2K2

https://vted.vn/khoa-hoc/xem/khoa-hoc-pro-z-nen-

tang-toan-hoc-10-vung-chac-cho-teen-2k2-kh546669683.html

ĐÁP ÁN 1B(4) 2C(4) 3A(4) 4D(4) 5B(4) 6A(4) 7A(3) 8B(4) 9B(4) 10C(4) 11D(4) 12A(4) 13A(4) 14A(4) 15D(4) 16A(4) 17B(4) 18B(4) 19C(4) 20C(4)