Nhận xét: Bài toán tìm giá trị của một ẩn để thỏa mãn biểu thức là một số chính phương ta sử dụng các tính chất của số chính phương cùng sự đánh giá bất đẳng thức số.. Nh ắc lại kiến th[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÁI NGUYÊN
Đề chính thức
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN
NĂM HỌC 2015 - 2016 MÔN THI: TOÁN (chuyên Toán)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu I (1,5 điểm) Không dùng máy tính, chứng minh
Có thể thay giá trị 21,5 bằng một giá trị khác lơn hơn được không? Vì sao?
Câu II (1,0 điểm) Rút gọn biểu thức
Câu III (1,0 điểm) Giải phương trình ( 2 )( 2 )
Câu IV (1,5 điểm) Cho ba số ; ;a b c khác không, đôi một khác nhau thỏa mãn điều kiện a b b c c a
Tính giá trị của biểu thức
1 a 1 b 1 c B
æ öæ÷ öæ÷ ö÷
=çç + ÷÷÷çç + ÷÷÷çç + ÷÷÷
è øè øè ø Câu V (2,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên n sao cho 4 3 2
a= n + n + n + + n là số chính phương
Câu VI (3,0 điểm) Cho tứ giác ABCD Các đường phân giác của hai góc · BAD và ·ABC cắt nhau tại M Các
đường phân giác của hai góc ·BCD và ·ADC cắt nhau tại N Giả sử đường thẳng BM cắt đường thẳng CN tại
P , đường thẳng AM cắt đường thẳng DN tại Q
1) Chứng minh rằng bốn điểm ; ; ;M N P Q cùng nằm trên một đường tròn
2) Ký hiệu ; ; ;I K J H lần lượt là tâm các đường tròn nội tiếp các tam giác MABV ; NCDV ; PBCV ; QADV Các đường thẳng MI NK PJ QH; ; ; cắt đường tròn đi qua bốn điểm M N P Q; ; ; lần lượt tại các điểm
1; 1; 1; 1
I K J H Chứng minh rằng I K1 1= J H1 1
…… HẾT………
LỜI GIẢI – NHẬN XÉT – BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
1 3+ 3 5 + 5 7 + + 2013 2015
1 3 3 5 2013 2015
21, 5 2015 44 2015 44 2015 1936 2
-> Û > Û > Û > (luôn đúng)
+ Có thể thay giá trị 21,5 bằng một giá trị khác lớn hơn là a ( a> 21,5) sao cho 2015 1
2
-<
( 2015 1 21,9
2
-» )
Nhận xét: Bài toán chứng minh bất đẳng thức số dựa vào các phương pháp biến đổi căn thức, biểu thức đơn giản
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
Trang 2( )
…
2013 2015
2013 2015
• Cộng vế theo vế của các đẳng thức ta được đẳng thức mới
1
1 3 3 5 2013 2015 2
1 2015
• Chứng minh một bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương về một bất đẳng thức luôn đúng
2015 1
21, 5 2015 1 43 2015 44 2
2
2015 44 2015 1936
Û > Û > (luôn đúng)
• Chứng minh ý tiếp theo
a
2015 1
21, 5 2015 1 2 43 2015 2 1 44
Û > > Û - > > Û > + >
1936 2a 1 2015
Û < + <
Tồn tại các giá trị của ( )2
2a+1 nên sẽ tồn tại các giá trị của a
Câu II Ta có ( )2 ( )2
+ Nếu 4£ £ thì x 7 A= x- 3- 1+ -2 x- 3= 1
+ Nếu x> thì 7 A= x- 3- 1+ x- 3- 2= 2 x- 3- 3
Nhận xét Bài toán rút gọn bằng các hằng đẳng thức, các quy tắc về dấu,…
Nhắc lại kiến thức và phương pháp
2
a = a
Trang 3-( )2
0
a
a khi a
ï
= íï-ïî < + Với
4
3 1 0
7
3 2 0
3
x x
x
ìï <
ï - - < ï
ï - - < ï
ìï - - = - -ïïï
íï - - = -
7
3 2 0
x x
ìï - - ³ ìï ³
ï - - < ï <
ïî
ìï - - = - -ïïï
íï - - = -
A= x- - x- + x+ - x- = x- 3- + -1 2 x- 3=1
7
3 2 0
x x
ìï - - ³ ìï ³
ïî
ìï - - = - -ïïï
íï - - = -
Vậy: Với 3£ < thì x 4 A= -3 2 x- 3; Với 4£ < thì x 7 A= ; V1 ới x³ thì 7 A= 2 x- 3- 3
Câu III Ta có
Đặt 2
7
t
t
é = ê + = Û + - = Û ê = -ë
+ Với t= , ta có 5 2
5 29 2
5 29 2
x
x
é - +
ê = ê ê + + = Û ê
-ê = êë
+ Với t= - 7, ta có 2
5 11 0
x + x+ = (vô nghiệm)
Vậy phương trình có nghiệm: 5 29
2
Câu IV Đặt
ìï + = ïï + = + = + = Þ ï + =
íï
ï + = ïïî
Mà a+ + =b c ck+ =c (k+1)c
Tương tự a+ + =b c (k+1)b; a+ + =b c (k+1)a;
Suy ra 3(a+ +b c) (= k+1)(a+ +b c)
2
k
é + + = ê
+ Nếu a+ + =b c 0 thì a+ = - Þ = - Þb c k 1 B= - 1
+ Nếu k= 2 thì a+ =b 2c; b+ =c 2aÞ + +a b 2a= + +b c 2cÛ = (trái giả thiết) a c
Vậy B= - 1
Câu V Do 2
7 0
n + + >n , nên
Trang 4( )
a= n + n + n + + >n n + n +n = n +n
Giả sử a là số chính phương thì 2
a= b ( bÎ N )
b > n + n Þ >b n + Þ ³n b n + + Þn b ³ n + +n
2
Ta có
Vậy n= - 3;n= 2
Nhận xét: Bài toán tìm giá trị của một ẩn để thỏa mãn biểu thức là một số chính phương ta sử dụng các tính chất của số chính phương cùng sự đánh giá bất đẳng thức số
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
• Chứng minh một biểu thức dương
Ta có
2
+ + = ççè + + ÷÷ø+ =ççè + ÷÷ø +
Ta thấy
ç + ÷ ³ Û ç + ÷ + ³ >
è ø è ø với mọi giá trị của n
Tức là 2
7 0
n + + > n
• Cộng cùng một lượng vào hai vế của một bất đẳng thức ta được một bất đẳng thức mới tương đương
2
7 0
n + + > n
( )2
Û + + + + > + hay ( )2
2
a> n +n
• Số chính phương là bình phương của một số nguyên
a là số chính phương nên a có dạng 2
a= b với b là một số nguyên
Khi đó ta có ( )2
1
b > n +n Þ >b n + Þ ³n b n + + n
• Hai vế của bất đẳng thức không âm, bình phương hai vế ta được một bất đẳng thức cùng chiều
b³ n + + Þn b ³ n + +n hay ( )2
2
1
2
Tức là nÎ -{ 3;- 2;- 1; 0; 1; 2}
• Với một số nguyên nằm trong một khoảng giá trị nào đó, ta lập bảng xét các giá trị đó
Nhận Loại Loại Loại Loại Nhận
Trang 51) Rõ ràng hai điểm ;M N khác phía đối với đường thẳng PQ
180 2
180 2
2
PMQ+ PNQ= o- A+ B+C+ D = o, nên bốn điểm M N P Q; ; ; cùng nằm trên một đường tròn, điều phải chứng minh
Nhận xét: Bài toán chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn ta chứng minh cho tứ giác tạo bởi bốn điểm
đó là tứ giác nội tiếp
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
• Tổng ba góc trong một tam giác bằng 180°
+ Tam giác MABD có:
+ Tam giác NDCD có:
• Phân giác của một góc chia góc đó thành hai góc bằng nhau và bằng nửa góc ban đầu
+ AM là phân giác của ·DAB nên · µ
2
A
+ BM là phân giác của ·ABC nên · µ
2
B
+ CN là phân giác của ·DCB nên · µ
2
C
+ DN là phân giác của ·ADC nên · µ
2
D
Suy ra · 1µ 1µ 1(µ µ)
• Tổng bốn góc trong một tứ giác bằng 360°
Tứ giác ABCD có µ µ µ µ 360 A+ + +B C D= °
• Tứ giác có tổng hai góc trong đối diện bằng 180° là tứ giác nội tiếp
Tứ giác MPNQ có: · · 1(µ µ) 1(µ µ)
Trang 6µ µ µ µ
= °- + + + = °- ° = °- ° = ° Suy ra tứ giác MPNQ là tứ giác nội tiếp
hay bốn điểm ; ; ;M P N Q cùng nằm trên một đường tròn (điều phải chứng minh)
2) MI là đường phân giác của góc ·PMQ, nên I P1 = I Q1
NK là đường phân giác của góc ·PNQ, nên K P1 = K Q1
Nên I K1 1 là trục đối xứng của đường tròn đi qua bốn điểm ; ; ;M N P Q, suy ra I K1 1 là đường kính của đường tròn
đi qua bốn điểm ; ; ;M N P Q
Tương tự: J H1 1 là đường kính của đường tròn đi qua bốn điểm ; ; ;M N P Q
Vậy I K1 1= J H1 1 (điều phải chứng minh)
Nhận xét: Bài toán chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau ta sử dụng các tính chất hình học chứng minh hai đoạn thẳng đó có độ dài cùng bằng một giá trị nào đó
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
• Trong một đường tròn, phân giác của một góc nội tiếp chia chia chứa góc đó thành hai cung bằng nhau Hai
cung bằng nhau thì hai dây cung bằng nhau
+ MI là đường phân giác của góc nội tiếp ·PMQ chắn cung ¼P Q N của đường tròn đi qua bốn điểm
; ; ;
M N P Q cắt ¼P Q N tại I1 nên » »
I P= I Q do đó I P1 = I Q1
+ NK là đường phân giác của góc nội tiếp ·PNQ chắn cung ¼P Q M của đường tròn đi qua bốn điểm
; ; ;
M N P Q cắt ¼P Q M tại K1 nên ¼ ¼
K P= K Q do đó K P1 = K Q1
• Một điểm cách đều hai đầu của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đường thẳng đó
+ I P1 = I Q1 nên I1 nằm trên đường trung trực của PQ ;
+ K P1 = K Q1 nên K1 nằm trên đường trung trực của PQ ;
Suy ra I K1 1 là đường trung trực của PQ
• Trong một đường tròn, đường trung trực của một dây là trực đối xứng của đường tròn
Đường tròn đi qua bốn điểm ; ; ;M N P Q có I K1 1 là đường trung trực của dây PQ nên I K1 1 là trực đối xứng
của đường tròn đi qua bốn điểm ; ; ;M N P Q
• Trục đối xứng của một đường tròn là đường thẳng chứa một đường kính
+ I K1 1 là trực đối xứng của đường tròn đi qua bốn điểm ; ; ;M N P Q nên I K1 1 là đường kính của đường tròn
đi qua bốn điểm ; ; ;M N P Q;
+ Hoàn toàn tương tự ta có J H1 1 là đường kính của đường tròn đi qua bốn điểm ; ; ;M N P Q;
Suy ra I K1 1= J H1 1 (điều phải chứng minh)
