42. Đề thi tuyển sinh vào lớp10 tỉnh Hà Nam năm học 2018-2019 (chuyên)

Gọi F là giao điểm thứ hai của đường thẳng CP và đường tròn ( ) O. 1) Chứng minh E là trung điểm của đoạn thẳng AH. Gọi I là giao của hai đường thẳng NF và AB.. +) Nếu có một điểm t[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO

TẠO

HÀ NAM

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN

Năm học 2018 - 2019 Môn: Toán (Đề chuyên)

Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi có 01 trang)

Câu 1 (2,0 điểm)

Cho biểu thức

2 2

2

1) Rút gọn Q

2) So sánh Q và 3

.

Q

Câu 2 (2,0 điểm)

1) Giải phương trình  x 9 3 9  x 3 2 x

2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol (P) có phương trình y  x2 và hai đường thẳng (d):y m; (d’): ym2 (với 0 m 1) Đường thẳng (d) cắt Parabol (P)

tại hai điểm phân biệt A, B; đường thẳng (d’) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt C, D (với hoành độ điểm A và D là số âm) Tìm m sao cho diện tích hình thang ABCD gấp 9 lần diện tích tam giác OCD

Câu 3 (1,0 điểm)

Tìm các số nguyên dương x y, thỏa mãn 7x 3.2y 1

Câu 4 (3,0 điểm)

Cho đường tròn ( )O và đường thẳng d cố định ((O) và d không có điểm chung) Điểm P di động trên đường thẳng d Từ điểm P vẽ hai tiếp tuyến PA, PB (A, B thuộc đường

tròn ( )O ) Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ điểm A đến đường kính BC, E là giao điểm của hai đường thẳng CP và AH Gọi F là giao điểm thứ hai của đường thẳng CP và

đường tròn ( )O

1) Chứng minh E là trung điểm của đoạn thẳng AH

2) Vẽ dây cung CN của đường tròn ( )O sao cho CN song song với AB Gọi I là giao của hai đường thẳng NF và AB Chứng minh IF AF

IB  AC và IAIB.

3) Chứng minh điểm I luôn thuộc một đường cố định khi P di động trên d

Câu 5 (1,0 điểm)

Một học sinh chấm tùy ý 6 điểm phân biệt vào trong hình tròn bán kính bằng 1

Chứng minh rằng luôn tồn tại hai điểm A, B trong 6 điểm đã cho thỏa mãn AB1.

Câu 6 (1,0 điểm)

Cho các số thực dương x y z, , thỏa mãn xy yzzx  x y z.

Chứng minh rằng

- HẾT -

Họ và tên thí sinh……… Số báo danh………

Người coi thi số 1………Người coi thi số 2.………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO

TẠO

HÀ NAM

HƯỚNG DẪN CHẤM

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

CHUYÊN Năm học 2018-2019 Môn: Toán (Đề chuyên)

(Hướng dẫn chấm có 04 trang)

Lưu ý: Các cách gải khác so với đáp án mà đúng thì cho điểm tương ứng theo từng

phần như hướng dẫn chấm Điểm tổng cộng toàn bài được làm tròn đến 0,25; 0,5;

0,75

Câu 1

(2,0đ)

1

(1,0đ)

Với 0 < a < 1, ta có:

2 2

2

a a

 

2

2

2 2

2

1

a

a a a

 

2

a

a

0,5

1 1  1 

a a

2

a a

0,5

2

a a

 1 1  1 1   

1 2

a a

0,5

1  1    2  

2

(1,0đ)

5 Xét 3     2 

5

Câu 2

(2,0đ)

1.

(1,0đ)

x

x x

 



   

  



0,2

5 Với đk trên, pt đã cho tương đương với x 9  x 3 2x x  9 3

 

0

x





 

   



0,25

Đặt a 9 x b,  9 x ta có a b,  0.Từ (*), ta có hệ phương trình

 

 

2 2

 





 



Thay (1) vào (2) suy ra  2 2 3 / 5

3

b

b





0,25

Với b 3 loại

b  x 

Thử lại, phương trình có tập nghiệm 216;0

25

S   

0,25

2

(1,0đ)

A  m m B m m C m m D m m 0,2

5 Tính được 3

OCD

S m ;  2  

ABCD

S  mm mm ( do 1 m 0) 0,2

5

S  S  mm m m  m 10m m m m  1 0

0,2

5

Suy ra 1

4

m Kết luận, 1

4

m là giá trị cần tìm

0,2

5

Câu 3

(1,0đ)

TH1: nếu x 2k1k ,k 0, ta có pt : 72k1 3.2y 1 0,2

5

+)Nếu k 0 suy ra x1,y1 là nghiệm cần tỡm

Xột mod 4 cả hai vế thỡ cú:

7 k 49 7k 3 mod4 3.2y 1 1 d4 

mo

  Suy ra pt vụ nghiệm

0,2

5

TH2: x2k ( với k ,k1) khi đú

7 k 3.2y  1 7 k  1 3.2y  7k 1 7k  1 3.2y 1

Do 7k  1 0mod3kết hợp với (1) suy ra 7k  1 2m m 

1  2m 2 2m 3.2y  2m 1 2m 3.2y

0,2

5

Do 1

2m 1 lẻ và 1

2m 3 suy ra 1

1

m





Thử lại, suy ra cú hai cặp nghiệm    1;1 , 2;4 thỏa món yờu cầu

( cú thể khụng cần trỡnh bày theo ngụn ngữ mod)

0,2

5

Cõu 4

(4,0đ)

1

(1,0đ)

(khụng cú vẽ hỡnh học sinh khụng được chấm bài)

Do HA // PB (Cùng vuông góc với BC)

nên theo định lý Ta let áp dụng cho CBP, ta có :EH CH  1

PB  CB

0,2

5

Mặt khác, do PO // AC (cùng vuông góc với AB)

 POB ACB (hai góc đồng vị)

0,2

5

AHC

  đồng dạng PBO Do đó: AH CH

5

Do CB = 2OB, kết hợp (1) và (2) ta suy ra AH = 2EH hay E là trung điểm của

AH

0,2

5

2

(1,0đ)

Ta cú IBF FCA BFI; CFA suy ra BIF đồng dạng CAF

Suy ra IF AF

IB  AC (1)

0,2

5

Tương tự, ta cú IF BF

5 Chứng minh được: PFA đồng dạngPAC suy ra AF AP

AC  PC (3)

Tương tự : PBF đồng dạngPCB suy raBF PB

BC  PC (4)

0,2

5

Từ (1), (2), (3), (4) và PA PB suy ra IAIB 0,2

5

3

(1,0đ)

Gọi M là chõn đường vuụng gúc hạ từ O lờn đường thẳng d Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng OM và AB.

Ta cú P, I, O thẳng hàng và OI  AB

0,2

5 Chứng minh: OIK đồng dạng OMP

OK

0,2

5

OP OI OB suy ra

2

OB OK

OM

 cố định, suy ra điểm K cố định 0,2

5

5

Cõu 5

(1,0 đ)

Gọi 6 điểm là A, B, C, D, E, F và tõm hỡnh trũn là O

TH1 +) Nếu cú một điểm trựng với tõm O thỡ điều phải chứng minh là hiển

nhiờn Ta giả sử 6 điểm đều khỏc điểm O

+) Nếu cú hai điểm A, B và O thẳng hàng và O nằm ngoài đoạn AB, suy ra 1

AB

0,2

5

TH2 Khụng tồn tại hai điểm A, B và O thẳng hàng đồng thời O nằm ngoài

đoạn thẳng AB Phản chứng, khoảng cỏch hai điểm bất kỳ trong 6 điểm đều

lớn hơn 1

0,2

5

Giả sử 6 điểm xếp theo chiều ngược chiều kim đồng hồ là A, B, C, D, E, F

Xét OAB có AB 1 maxOA OB,  AOBmaxABO BAO, 

3.AOB AOB ABOBAO180 AOB60

0,2

5

AOBBOCCO DOEEOF F A vô lý, suy ra điều phải chứng minh

Vậy trong mọi tình huống thì bài toán luôn đúng

0,2

5

Câu 6

(1,0đ)

x   x x  x         Tương tự

2

8

2

y y

y    

;

2

2

z z

z    

- Suy ra

0,2

5

, , , , , 0 1

a b c

a b c

a b c u v w

u v w u v w

 

- Áp dụng (1) và (*) ta thu được

2

2 2 2

2

18

x y z

x y z x y z

 

0,2

5

Ta cần chứng minh

2

2 2 2

2 2 2

2

1 18

x y z

x y z x y z

x y z xy yz zx x y z

 



  2   

x y z x y z xy yz zx

Lại do xy yz zx x y z     nên ta đi kiểm tra

x y z  x y z  

x y z  xy yz zx  x y z nên 3

x  y z ,

từ đó (4) đúng

Từ (2), (3), (4) suy ra điều phải chứng minh

0,2

5

5 -