Tìm vị trí của các điểm B và D thuộc đường tròn đó để chu vi tứ giác ABCD đạt giá trị lớn nhất... Tính độ dài đường cao OH của tam giác OAB.[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH ĐIỆN BIÊN
Đề chính thức
(Có 01 trang)
KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2018 - 2019 Môn: Toán (chuyên)
Ngày thi: 06/6/2018
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề
ĐỀ BÀI
Câu 1 (2,0 điểm) Cho biểu thức 2 3 3 4 5, ( 0; 25)
P
a) Rút gọn P. Tìm các số thực x để P 2
b) Tìm các số tự nhiên x là số chính phương sao cho P là số nguyên
Câu 2 (1,5 điểm)
a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng ( ) :d y 2x 3 và Parabol
2
( ) :P yx Tìm tọa độ các giao điểm ,A B của ( ) d và ( ) P Tính độ dài đường cao OH của tam giác OAB
b) Cho phương trình: 2 2
1 0
x m x m (1), m là tham số Tìm tất cả các số tự nhiên m để phương trình (1) có nghiệm nguyên
Câu 3 (2,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình:
x 16
xy - =
xy - =
b) Giải phương trình x16 6 2 x 1 2 5x
Câu 4 (2,5 điểm) Cho hình thang ABCD (AB//CD, ABCD ) Gọi K M lần lượt ,
là trung điểm của BD và AC Đường thẳng đi qua K và vuông góc với AD cắt đường thẳng đi qua M và vuông góc với BC tại Q Chứng minh:
a) KM // AB
b) QDQC
Câu 5 (1,0 điểm) Có bao nhiêu tập hợp con A của tập hợp S 1, 2,3 2018 thỏa mãn điều kiện A có ít nhất hai phần tử và nếu xA y, A x, y thì
2
y A
x y
Câu 6 (1,0 điểm) Trên đường tròn O lấy hai điểm cố định A và C phân biệt Tìm vị trí của các điểm B và D thuộc đường tròn đó để chu vi tứ giác ABCD đạt giá trị
lớn nhất
Hết
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH ĐIỆN BIÊN
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
Năm học : 2018-2019
HƯỚNG DẪN GIẢI
MÔN TOÁN CHUYÊN
Câu 1
P
a) Rút gọn P. Tìm các số thực x để P 2 b) Tìm các số tự nhiên x là số chính phương sao cho P là số nguyên
a ( 1.5
điểm)
P
( 2)( 5) ( 3)( 1) (3 4 5)
( 1)( 5)
3 2 ( 1)( 5)
( 1)( 5) 5
x
P
+ Với x 5 0 x 25 + Với x 12 x 144
b ( 0.5
điểm)
Ta có x là số chính phương nên x , và x 5 5
x P
5
x
là ước của 7 Suy ra x 5 1;1;7 +) x 5 1 x 16
+) x 5 1 x 36 +) x 5 7 x 144
Trang 3Vậy giá trị của x cần tìm là 16;36;144
Câu 2
(1.5
điểm
a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ( ) : d y 2x 3
và Parabol ( ) :P yx2 Tìm tọa độ các giao điểm A B của ( ), d và ( ) P Tính độ dài đường cao OH của tam giác OAB
b) Cho phương trình: 2 2
1 0
x m x m (1), m là tham số Tìm tất
cả các số tự nhiên m để phương trình (1) có nghiệm nguyên
a (0.75
điểm)
Phương trình hoành độ giao điểm của ( )d và ( ) P là:
3
x
x
+ Với x 1 y 1
+ Với x 3 y 9 Vậy tọa độ giao điểm của ( )d và ( ) P là (1;1), ( 3;9) A B
Gọi ,C D lần lượt là giao điểm của ( )d và các trục Ox,Oy Khi đó
3
;0 , 0;3 2
C D
Đường cao OH của tam giác OAB cũng chính là đường cao OH của tam giác vuông OCD
Ta có
2
3 3
3 2
OC OD
5
OH
b Phương trình có nghiệm nguyên khi 4
4 4
là số chính phương
Trang 4( 0.75
điểm)
+ Với m 0, hoặc m1 thì 0 (loại)
+ Với m 2 thì 4 22 (thỏa mãn)
2 (m m 2) 5 2m 4m 5 0
2
(2m 4m 5) 4m 4
2 2 2 2
1
không chính phương
Vậy m 2 là giá trị cần tìm
Câu 3 (2
điểm) a) Giải hệ phương trình:
x 16
xy - =
xy - =
b) Giải phương trình x16 6 2 x 1 2 5x
a (1.0 điểm)
ĐK: x0; y0
Ta có
x 16
x 16
xy
(2) xy
Giải (2) 2 2
6y 6x 5xy (2x 3y)(3x 2y) 0
* Nếu 2x 3y 0 x 3y
2
Thay vào (1) ta được y 3y 3 16
3y2 23
(phương trình vô nghiệm)
* Nếu 3x 2y 0 x 2y
3
Thay vào (1) ta được 2
y 9 y 3 + Với y 3 x 2 (TM)
+ Với y 3 x 2 (TM)
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm: x y; 2;3 ; x y; 2; 3
b (1.0
(*) 2x 1 6 2x 1 9 1 2 5 x 5 x 0
Trang 5điểm)
x
x
4( )
x
x
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm x4
Câu 4
(2,5
điểm)
Cho hình thang ABCD (AB//CD, ABCD ) Gọi , K M lần lượt là trung điểm của BD và AC Đường thẳng đi qua K và vuông góc với AD cắt đường thẳng đi qua M và vuông góc với BC tại Q Chứng minh:
a) KM // AB
b) QDQC.
a (1.0
điểm)
R
Q
I
M K
Gọi I là trung điểm AB , EIKCD R, IM CD
Xét hai tam giác KIB và KED có KB KD
IKBEKD
(1)
KIB KED IK KE
Chứng minh tương tự có: MIA MRCMI MR (2)
Từ (1) và (2) suy ra KM là đường trung bình IER KM // CD
Do CD // AB (gt) Vậy KM // AB (đpcm)
b (1.5
điểm)
Ta có: IA=IB, KB=KD (gt) IK là đường trung bình của ABD IK//AD hay IE//AD
Suy ra QK là đường trung trực ứng với cạnh IE của IER
Tương tự ta chứng minh được QM là đường trung trực ứng với cạnh IR
của IER
Hạ QH CD thì QH là trung trực ứng với cạnh ER của IER
Trang 6Do 1
2
DERC ABQH là đường trung trực của đoạn CD
Vậy QC QD
Câu 5( 1
điểm) Có bao nhiêu tập hợp con A của tập hợp S 1, 2,3 2018 thỏa mãn điều
kiện A có ít nhất hai phần tử và nếu xA y, A x, ythì
2
y A
x y
Với mỗi tập A là tập con của S 1, 2,3 2018 thỏa mãn đề bài, gọi a và
b lần lượt là phần tử nhỏ nhất và lớn nhất của tập ( ,A a bS a, b)
Ta chứng minh b2a Thật vậy, giả sử b2a, theo giả thiết c a2 A
b a
Mà
, mâu thuẫn với a là phần tử nhỏ nhất của A Vậy b2a
Gọi d là phần tử lớn nhất của tập B A\ b
Ta chứng minhb2d Thật vậy, giả sử b2d, theo giả thiết thì d b e d2 A
b d
Mà
2
2 0 –
d
Suy ra eA nhưng eB
Do đó
2
d
b d
(mâu thuẫn vì VP là số chính phương, VT không là số chính phương) Vậyb2d 2d b 2a d a Mà ad(a và d lần lượt là phần tử nhỏ nhất và lớn nhất của B) nên a d b 2a
Do đóAa a;2 Kiểm tra lại ta thấy A thỏa mãn đề bài
Vì aS và 2aS nên 22a2018 1 a 1009 Vậy số tập con A thỏa mãn đề bài là 1009 tập
Câu 6
(1,0
điểm)
Trên đường tròn (O) lấy hai điểm cố định A và C phân biệt Tìm vị trí của các điểm B và D thuộc đường tròn đó để chu vi tứ giác ABCD có giá trị lớn nhất
Trang 7O
A
B
C
D
A'
D'
Không mất tổng quát giả sử: AB AC Gọi 'B là điểm chính giữa cung ABCAB'CB'
Trên tia đối của BC lấy điểm ’ A sao cho: BA’BA
AB BC CA '
Ta có:
B'BC B'AC B'CA
0
0 B'BC B'BA ' 180
A BB ABB A B B A
B'A B'C B'A ' B'C A 'CAB BC
’, ,
B A C cố định) Dấu “=” xảy ra khi B trùng với B’
Tương tự nếu gọi D’ là điểm chính giữa cung ADC thì ta cũng
cóAD’CD’ ADCD Dấu “=” xảy ra khi D trùng với D’ Vậy chu vi tứ giác ABCD lớn nhất khi B,D là các điểm chính giữa các cung AC của đường tròn O
