Đây là bài toán tương đối cơ bản và thường gặp trong các bài toán chứng minh tam giác đồng dạng ứng d ụng của góc nội tiếp.. Nh ắc lại kiến thức và phương pháp.[r]
Trang 1ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
Đề chính thức TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2013 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
MÔN THI: TOÁN (Vòng 1) Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Câu I (3,0 điểm)
1) Giải phương trình
3x+ +1 2- x= 3 2) Giải hệ phương trình
2
ìïï + + + = ïïïï
ïïî
Câu II (3,0 điểm)
1) Cho các số thực ; ;a b c¹ thỏa mãn 0 (a+b b)( +c c)( + a)= 8abc Chứng minh rằng
3 4
a b+ b c+ c a= + a b b c + b c c a + c a a b
2) Có bao nhiêu số nguyên dương có 5 chữ số abcde sao cho abc- (10d+ e)chia hết cho 101?
Câu III (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABCV nội tiếp đường tròn ( )O với AB< AC Đường phân giác của góc
·
BAC cắt ( )O tại điểm D khác A Gọi M là trung điểm của AD và E là điểm đối xứng với D qua tâm O Giả
sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABMV cắt đoạn thẳng AC tại điểm F khác A
1) Chứng minh rằng tam giác BDMV và tam giác BCFV đồng dạng
2) Chứng minh rằng EF vuông góc với AC
Câu IV (1,0 điểm) Giả sử ; ; ; a b c d là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc+bcd+ cda+ dab=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P= a +b +c + d
……….HẾT………
LỜI GIẢI – NHẬN XÉT – BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Câu I
- £ £
Phương trình đã cho tương đương với 2x+ +3 2 (3x+1 2)( - x)= 9
2
x
ìï - >
ï
2
1
4
x
x
é = ê ê
êë
Đối chiếu với điều kiện ta được được nghiệm: 1; 7
4
x= x=
Nhận xét: Bài toán sử dụng phương pháp nâng lũy thừa (bình phương) hai vế tìm nghiệm của phương trình
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
2
0
Trang 2( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )
-( ) ( )
2
1 2
2
2
4
ïî
Phương trình trên có cách giải khác như sau:
f x + g x = mÛ f x = -m g x
( )
( )
( ) ( ( ) ( ) )
2
1 2
2
; 4
=
ïïî
Ý tưởng: Đây là một bài phương trình cơ bản, dạng toán một vế chứa hai căn thức vế còn lại là một hằng số thì phương pháp nâng lũy thừa hai vế là một phương pháp tối ưu nhất
Bài toán kết thúc
Bài tập tương tự:
1 Giải phương trình 3x+ +1 x+ =1 8
Đáp số: x = 8
2 Giải phương trình 7x+ -4 x+ =1 3
Đáp số: x = 3
2) Hệ phương trình tương đương với
2
2
ï ç + ÷+ ç + ÷÷=
ïí
ïî
Đặt
1
1
y
x
ìïï = +
ïïï
íï
ïï = +
ïïî
Hệ phương trình trở thành
9 2
2
u uv
ìïï + = ïïï íï
-ïïïî
9 2
u
ìïï = -ïïï
÷ ç
ïî
3
2
3
u u
v
ìïï
ç
Û çç - ÷÷÷ = Þ íï
2 1 3
x y y x
ìïï + = ïïï
Û íïïï + = ïïî
3 3
2
y
xy
y
ïï
ïïî
2
1 1
é
ê = Þ = ê
êë
Hệ phương trình có nghiệm (x y; )=æçç1; 1 , 1; 2ö÷÷ ( )
Trang 3Ý tưởng: Hình thức bài toán khá phực tạp vì sự xuất hiện của phân thức, quan sát ta thấy ở cả hai phương trình của
hệ đều xuất hiện biểu thức x 1
y
2
ç + = - çç + ÷÷÷
xy
+ chưa biết xử lý như thế nào Có lẽ tác giá đã gợi mở theo con đường đặt ẩn phụ, nếu đặt
;
xy
+ qua ;u v thì hệ phương trình đã cho sẽ được giải
quyết Ta có
1
1 1
1
y
x
ìïï = + Û = +
ïïï
íï
ïï = + Û = +
ïïî
xy
Khi đó, hệ phương trình đã cho tương đương với
9 2
2
u uv
ìïï + = ïïï íï
-ïïïî
Hệ phương trình trên là hệ phương trình cơ bản, hoàn toàn giải quyết được bằng phương pháp thế
Bài toán kết thúc
Bài tập tương tự:
1 Giải hệ phương trình 2( 2)
ïïí
2 Giải hệ phương trình ( ) ( )
ïï
Câu II
1) Cách 1: Đẳng thức cần chứng minh tương đương với
3
4
3 4
4
8
8
(a c c)( b b)( a) 8abc
Trang 4Cách 2: Đặt
1 1 1
8
xyz = , ta được
xyz= - x - y - z = - x+ +y z + xy+ yz+ zx - xy
3 4
Nhận xét: bài toán sử dụng phép biến đổi tương đương hoặc ẩn phụ để chứng minh đẳng thức đã cho
Ý tưởng: Nhìn đẳng thức cần chứng minh ( gọi là (*)) khá là cồng kềnh, tuy nhiên nếu tinh ý một chút, ta thấy rằng bên vế trái (*) có tổng của ba thừa số, đồng thời vế phải (*) xuất hiện tổng hoán vị của tích hai thừa số Vì thế nếu chuyển vế ta sẽ nhóm được nhân tử chung là:
3
4
3 4
Với biểu thức ( i ), hướng tối ưu nhất có lẽ là quy đồng mẫu số và biến đổi tương đương, kết hợp với giải thiết
(a+b b)( +c c)( + a)=8abc thì ta có:
4
8
8
Hoặc, ta có thể đi với hướng tư duy ẩn phụ hóa để đơn giản bài toán hơn một chút Vẫn là hướng phát hiện như bên
8
xyz
4
x+ + =y z + xy+ yz+ zx (**) Nếu chỉ dựa vào giả thiết để chứng minh (**) là chưa đủ, ta cần phải
đẳng thức xyz=(1- x)(1- y)(1- z) Khai triển tích số, ta sẽ được điểu phải chứng minh
Bài toán kết thúc
2) Ta có abcde= abc00+de= abc×100+de
Suy ra abcde chia hết cho 101Û abc- de= abc- (10d+ e)chia hết cho 101
Vậy số có 5 chữ số lớn nhất chia hết cho 101 là 990 101×
Trang 5Số các số có 5 chữ số thỏa mãn yêu cầu của bài toán là: 990 100 1 891.- + =
Đáp số: 891 số
Nhận xét Bài toán chứng minh đẳng thức từ những điều kiện đã cho
Nhắc lại kiến thức và phương pháp
Cấu tạo số
abcde= abc +de= abc× +de= abc - +de= abc× - abc+ de
Tính chất chia hết của một tích: Trong một tích có một thừa số chia hết cho một số thì tích chia hết cho số đó
Ta có 101 101M Þ (abc×101)M101
Tính chất chia hết của một tổng: Tổng của hai số hạng, trong đó có một số hạng chia hết cho một số thì số hạng còn lại chia hết cho số đó
abc
ïïï
ïî
M
M , suy ra (de- abc)M101
(abc 10d e) 101
Số lớn nhất có năm chữ số chia hết cho 101
990 101×
Số bé nhất có năm chữ số chia hết cho 101
101
Số các số của dãy số viết theo quy luật được tính theo công thức c d 1
s h
-= + trong đó c là số cuối, d là số đầu, h khoảng cách giữa 2 số liên tiếp của dãy
Số các số có 5 chữ số thỏa mãn yêu cầu của bài toán là:
990.101 100.101
101
Câu III
A
O
D
M
F E
N
1) Ta có góc nội tiếp bằng nhau ·BDM= BCF· (1)và ·BMA= BFA· suy ra 0 · 0 ·
BMD= BFC (2)
Từ (1) và (2) , suy ra BDMD và BCFD đồng dạng (g - g)
Trang 6Nhận xét Đây là bài toán tương đối cơ bản và thường gặp trong các bài toán chứng minh tam giác đồng dạng ứng
dụng của góc nội tiếp
Nhắc lại kiến thức và phương pháp
Các góc nội tiếp cùng chắn một cung của một đường tròn thì bằng nhau
+ ·BDM= BCF· (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB của đường tròn ( ) O )
+ ·BMA= BFA· (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABMD )
Hai tam giác có hai cặp góc tương ứng bằng nhau thì đồng dạng
+ BDMD và BCFD có ·BDM= BCF· và ·BMD= ·BFC , suy ra BDMD ∽DBCF (g – g)
2) Từ AD là phân giác · BAC suy ra DB= DC vậy DE vuông góc với BC tại trung điểm N của BC
CF = BC
Ta lại có góc nội tiếp ·ADE= FCE· (4)
Từ (3) và (4) , suy ra EADD ∽DEFC suy ra ·EFC= EAD· = 90°
Vậy EF AC^
Nhận xét Với bài toán này ta đưa về chứng minh EF tạo với AC một góc vuông Dựa vào các góc đã biết và kết
nối bởi tam giác đồng dạng
Nhắc lại kiến thức và phương pháp
Hai góc nội tiếp bằng nhau chắn hai cung thì hai cung đó bằng nhau và hai dây cung của cung đó bằng nhau
Từ AD là phân giác · BAC suy ra · BAD= DAC· suy ra DB DC= kết hợp với OB OC= ( R= ) suy ra DO
hay DE là trung trực của BC hay DE vuông góc với BC tại trung điểm N của BC
Các góc nội tiếp cùng chắn một cung của đường tròn thì bằng nhau
ADE= FCE (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AE của đường tròn ( ) O )
Các dữ liệu được suy ra, biến đổi từ những điều đã chứng minh
2
Hệ thức lượng trong tam giác vuông “Cạnh huyền ´ Đường cao = Tích hai cạnh góc vuông”
CF = CE kết hợp với trên, ta suy ra
Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông
Góc ·EAD chắn nửa đường tròn ( )O được chia bởi đường kính ED nên · EAD= 90° suy ra ·EFC= 90° hay
EF vuông góc với AC
Câu IV
Với a là số thực dương ta có
Cộng bốn đẳng thức trên ta thu được
ç
Trang 7Chọn 1 1
x
a = æçç + ö÷÷
÷
è ø, ta được
3
6
3
x
Ta có nghiệm dương là
2
Với a xác định như trên ta thu được
2
9
a
a
1
; =
= = =
36
