Nhận xét: Bài toán sử dụng phương pháp hằng số biến thiên tìm ra được một phương trình biển diễn mối liên hệ giữa hai biến và từ đó thế ngược lại một trong hai phương trình, tìm nghiệm [r]
Trang 1ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
MÔN THI: TOÁN (Vòng 1) Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Câu I (3,0 điểm)
1) Giải phương trình
2
2) Giải hệ phương trình
1
x xy y
ìïïï
-ïïî
-Câu II (3,0 điểm)
1) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x y ; )thỏa mãn
x - xy + y = x y - 2) Với ; ;x y z là các số thực thỏa mãn x+ + +y z xy+ yz+ zx= 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P= + x + + y + +z Câu III (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABCV nội tiếp đường tròn ( )O M N ; là hai điểm thuộc cung nhỏ »AC sao cho
MN song song với AC và tia BM nằm giữa hai tia BA BN BM giao AC ; tại P Gọi Q là một điểm thuộc cung
nhỏ »BC sao cho PQ vuông góc với BC QN giao AC tại R
1) Chứng minh rằng bốn điểm ; ; ;B P R Q cùng thuộc một đường tròn
2) Chứng minh rằng BR vuông góc với AQ
3) Gọi F là giao của AQ và BN Chứng minh rằng ·AFB= BPQ· + ABR· .
Câu IV (1,0 điểm) Cho ; ;a b c > 0 Chứng minh rằng
2
a b c
……….HẾT………
LỜI GIẢI – NHẬN XÉT – BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Câu I
1) Điều kiện x³ 2
Đặt t= x+ +2 x- 2> 0
Phương trình đã cho tương đương x+ +2 x- 2+ 2x+2 x2- 4= 6
2
Với t = 2 ta có x+ +2 x- 2= 2
Do điều kiện x³ ta có2 x+ +2 x- ³2 4+ 0= 2
Suy ra phương trình có nghiệm duy nhất
Trang 2đó dùng phương pháp nâng lũy thừa tìm nghiệm của phương trình ban đầu
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
Cách giải phương trình bậc hai tổng quát a t 2+ b t + =c 0
a - b = a- b a+b và ( )2 2 2
2
a+ b = a + ab+ b
Phương trình có dạng f x( )+ g x( )= m , với m là số thực dương thì có hai cách nâng lũy thừa như sau:
Cách 1 Bình phương hai vế của phương trình, ta có:
f x g x
f x g x f x g x m
ïï
1 2
2
2
x x
f x g x m f x g x
=
ïî
Cách 2 Chuyển g x ( )sang VP rồi bình phương, ta có:
2
m g x
f x m g x
f x m m g x g x
ìï ³ ïï
ïïî
( )
( )
m g x
m g x
ì
Chú ý:
Nếu f x( )- g x( )= ; k là hằng số thì ta có thể sử dụng cách liên hợp như sau: k f x( )+ g x( )= m ( i )
( ) ( )
( f x g x ) ( f x( ) g x( ) ) m( f x( ) g x( ) )
m
2
ç
Nếu c a b ³ ³ và x c ³ suy ra x a+ + x+ ³b c+ +a c+ b
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x c=
Ý tưởng: Bài toán xuất hiện ba căn thức bậc hai ở VT là x + 2, x - 2 và x -2 4 , áp dụng hằng đẳng thức
a - b = a- b a+ b dễ thấy được rằng 2
là tích của hai căn thức còn lại Đồng thời nếu chuyển 2 3( - x) từ VP sang VT thì sẽ xuất hiện 2x , mà
2x= + + -x 2 x 2= x+ 2 + x- 2 do đó VT của phương trình ban đầu có:
x+ + x- + x- x+ + x+ + x- - =
Đặt t= x+ 2+ x- 2> thì phương trình (*) được viết lại thành 0
2
0 0
2
t t
t
t t
ì
Với t = 2 suy ra
2
2
x
ìï ³ ïï
Trang 32
2
x
x
ìï ³ ïï
Đến đây có thể đánh giá như lời giải là:
Vì x+ -2 (x- 2)= 4 nên giải phương trình x+ 2+ x- 2= 2 theo chú ý như sau:
Bài toán kết thúc
Bài tập tương tự:
1 Giải phương trình 2 x+ +1 2 x- 1+ 2 x2- 1= -3 2x
Đáp số: phương trình vô nghiệm thực
2 Giải phương trình 2x2+ +5 2 x2+ -x 2= 5 x- 1+ 5 x+ 2
16
x = 2) Cộng từng vế hai phương trình ta có 2
2x + xy- 3x- y= - 1
(x 1 2)( x y 1) 0
x= Þ y - = Þ = hoặc y y y =1 (thỏa mãn)
TH2: 2x+ = Þy 1 y= -1 2x, suy ra
x - x - x + - x = 2
é = Þ = ê
ê
Û ê = Þ = -êë
Đáp số ( ; ) ( ) ( ) ( )1; 0 , 1; 1 , 0; 1 , 5; 5
x y = æçç - ö÷÷÷
Nhận xét: Bài toán sử dụng phương pháp hằng số biến thiên tìm ra được một phương trình biển diễn mối liên hệ giữa hai biến và từ đó thế ngược lại một trong hai phương trình, tìm nghiệm của hệ
Ý tưởng: Đây là hệ phương trình bậc hai, trước hết ta sẽ đi tìm nhân tử ở từng phương trình một trong hệ, nếu công việc này thất bại Ta sẽ nghĩ đến việc kết hợp cả hai phương trình Và điều tối ưu ta nghĩ tới sẽ là xét đenta theo ẩn
x hoặc y từng phương trình (bạn đọc từ làm) khi đó không tìm được nhân tử ; x y Chính vì thế, còn hướng duy
nhất đó là kết hợp hai phương trình của hệ, giả sử tồn tại k Î ¡ thỏa mãn phương trình:
k x - xy+ y - + x + xy- y - x- y+ =
Và ta coi ( i ) là phương trình bậc hai ẩn x đồng thời khi xét D nó phải là một số chính phương Ta có: x
(2 ) 32 4 1( )( 1) 2 2
Đế Dx là số chính phương khi hệ số 2
y phải là một chính phương, tức là ta đi giải phương trình nghiệm nguyên
5k - 4k= m Không khó để ta thấy rằng k= Þ1 m= thỏa mãn Hay nói cách khác: 1 ( )2
1
1 2
2 2
y y x
y y
ê
-ê êë
Trang 4
Bài tập tương tự:
1 Giải hệ phương trình
4
ïí
x y æç ± - ± ö÷
÷ ç
2 Giải hệ phương trình
2
ïí
2
÷ ç
Câu II
1) Dễ thấy với x = 0 hoặc y = 0 không thỏa mãn
Xét x y, ³ do vai trò như nhau, giả sử x1 ³ y
3
x - xy+ y £ x
x y = x - xy+ y + £ x Þ y2£ Þ Î ± ±8 y { 1, 2 }
+ Nếu y= - Þ1 x2+ + =x 6 x2Þ = - x 6
Đáp số: (x y =; ) ( ) (6; 1 , - 6;- 1 , 1; 6 ,) ( ) (- 1;- 6)
Nhận xét Bài toán nghiệm nguyên giải bằng phương pháp giới hạn
Nhắc lại kiến thức và phương pháp
Khi thay thế x bởi y và ngược lại ta thấy đẳng thức không đổi thì vai trò của các biến là như nhau
Dễ thấy với x = 0 hoặc y = 0 không thỏa mãn
Xét x y, ³ do vai trò như nhau, giả sử x1 ³ y
3
x - xy+ y £ x
Thay thế vế này bởi vế kia để áp dụng tính chất của vế còn lại và biến đổi theo tính chất, suy ra
x y = x - xy+ y + £ x Þ y2£ Þ Î ± ±8 y { 1, 2 }
Tìm và chọn ra các giá trị của biến
2) Trước hết ta chứng minh với ; ; ; x y z t bất kì thì
( ) (2 )2
Thật vậy, bất đẳng thức (*) tương đương với
(x2 y2)(z2 t2) xz yt
Đúng vì theo bất đẳng thức Bunhia cốp xki
Trang 5( 2 2)( 2 2) ( )2 ( ) ( )
x + y z +t ³ xz+ yt = xz+ yt ³ xz+ yt
P= + x + + y + +z
x- + y- + -z + -x y + y- z + -z x ³
Từ đó P³ 36+ =9 3 5
Dấu “=” xảy ra x= y= =z 1
Vậy Rmin= 3 5
Nhận xét: Bài toán sử dụng kết quả mở rộng (hay phát triển từ bất đẳng thức Bunhiacopxki) kết hợp với kỹ thuật chọn điểm rơi (để đánh giá tổng các đại lượng không âm) để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho bốn số ; ; ;x y z t
( 2 2)( 2 2)
Phát triển tử bất đẳng thức trên, ta có:
( 2 2)( 2 2) ( 2 2)( 2 2)
( 2 2) ( 2 2)( 2 2) ( 2 2) ( ) (2 )2
2
ç
( ) (2 )2
Ý tưởng: Bài toán ở cả biểu thức cực trị cũng như giả thiết, vai trò của các biến là như nhau do đó điểm rơi sẽ xảy
0
k
íï >
rơi này, ta sẽ đánh giá thoải mái hơn Đầu tiên, xét tới biểu thức P có dạng bậc bốn vì thế ta đánh giá để bậc bé nhất có thể Áp dụng bất đẳng thức (*), xét cho hai căn thức đầu của P , có:
36
P³ + x + y + z , và bây giờ từ giả thiết ta chỉ cần tìm được x2+ y2+ z2³ m coi như bài toán
đã kết thúc Thật vậy, với điểm rơi ban đầu tìm được ta sẽ có các đại lượng không âm là:
( ) (2 ) (2 )2
0
x- y + y- z + -z x ³ Cộng hai đánh giá trên theo từng vế và khai triển bình phương ta được:
3x + 3y + 3z + ³3 2x+ 2y+ 2z+ 2xy+ 2yz+ 2zx
Trang 63x 3y 3z 3 12 x y z 3
min
Bài toán kết thúc
Bài tập tương tự:
1 Cho ;x y là hai số thực dương Chứng minh rằng
( )2
2 Cho ; ;x y z là các số thực dương thỏa mãn xyz x y z³ + + Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P= + x + + y + + z
Câu III
1) Tứ giác BMNQ nội tiếp suy ra
BMN+ BQN= o
Mà ·BPR= BMN· (do MN BCP )
Từ đó ·BPR+BQN· =1800, suy ra tứ
giác BPRQ nội tiếp Tức là ; ; ; B P R Q cùng thuộc một đường tròn
Nhận xét Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn đưa về chứng minh tứ giác tạo bởi bốn điểm là tứ giác
nội tiếp bằng dấu hiệu nhận biết có tổng hai góc đối diện bằng 180°
Nhắc lại kiến thức và phương pháp
Tứ giác nội tiếp một đường tròn có tổng hai góc đối diện bằng 180°
Tứ giác BMNQ nội tiếp đường tròn ( ) O nên ta có · BMN+ BQN· =180 o
Một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song tạo ra các góc đồng vị bằng nhau
AC MNP nên ta có ·BPR= BMN· (hai góc đồng vị)
Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 180° là tứ giác nội tiếp
Ta có ·BPR+BQN· = 180° , suy ra tứ giác BPRQ hay bốn điểm B ; P ; R ; Q cùng thuộc một đường tròn
2) Gọi PQ giao BC tại D, AQ giao BR tại E ta có các biến đổi góc sau
EQD= DQB- AQB= PRB- ACB= RBC= EBD
90
BEQ= BDQ= Þ BR^ AQ
Nhận xét Chứng minh hai đường thẳng vuông góc ta chứng minh góc tạo bởi hai đường thẳng đó bằng 90°
Nhắc lại kiến thức và phương pháp
Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau
+ ·PQB= PRB· (hai góc nội tiếp cùng chắn cung »BP của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BPRQ )
A
B
C O
M
N P
Q
R
E
F
Trang 7+ ·AQB= ACB· (hai góc nội tiếp cùng chắn cung »AB của đường tròn ( )O )
Góc ngoài tại một đỉnh của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó
Góc ·BRA là góc ngoài tại đỉnh B của tam giác BRCD nên ·BRA= ·RBC+RCB·
Tứ giác có hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau là tứ giác nội tiếp
Ta có ·PQB- ·AQB= PRB· - ·ACB= RBC· + RCB· - ·ACB= RBC·
PQA RBC
Û = suy ra tứ giác EDQB có hai đỉnh B và Q cùng nhìn cạnh ED dưới hai góc bằng nhau nên
EDQB là tứ giác nội tiếp
BEQ= BDQ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung »BQ của đường tròn ngoại tiếp tứ giác EDQB )
Mà ·BDQ= 90° (do PQ vuông góc với BC tại D ), suy ra · BEQ= 90° hay BR AQ^
BPQ= BRQ= RBN+ RNB= EBF+ BAE= - BFE+ - ABE
0
Do đó ·AFB= BPQ· + ABR·
Nhận xét Chứng minh tổng của hai góc bằng một góc khác, trong bài này ta đưa về chứng minh hiệu của hai góc
bằng góc còn lại a b c= + Û = - c a b
Nhắc lại kiến thức và phương pháp
Với phần này, ta chỉ sử dụng những kiến thức và các dữ kiện đã cho ở đề bài và tìm ra ở các phần trước đó
+ ·BPQ= BRQ· (hai góc nội tiếp cùng chắn cung »BQ của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BPRQ)
+ ·BRQ= ·RBN+RNB· (tính chất góc ngoài tam giác)
+ ·RNB= BAE· (hai góc nội tiếp cùng chắn cung »BQ của đường tròn ( )O )
suy ra ·BPQ= BRQ· = ·RBN+RNB· = EBF· +BAE· =(90°- BFE· )+(90°- ABE· )
·
(1800 BFE) ·ABE ·AFB ABR· AFB· BPQ· ABR·
2
11
3 4
a b
a b
a ab
-+
a b ab a b
2
(a b a)( b) 0
Cộng cả ba bất đẳng thức ta có
Dấu bằng xảy ra Û = = a b c
Nhận xét: bài toán sử dụng kỹ thuật chọn điểm rơi kết hợp với phương pháp hàm số biến thiên để chứng minh bất đẳng thức
Ý tưởng: Đây là một bất đẳng thức đối xứng vì vai trò các biến là như nhau Vì vậy, điểm rơi bài toán sẽ xảy ra tại
a= =b c Khi đó sẽ đưa ta đến các đẳng thức luôn đúng như ( ) (2 ) (2 )2
sẽ đi biến đổi tương đương các bất đẳng thức Tiếp theo quan sát vế trái của bất đẳng thức có dạng bậc ba chia bậc hai, đồng thời vế trái có xuất hiện bậc nhất do đó ta chỉ cần đánh giá 1123 3
4
a b
m a n b
a ab
còn lại lập luận tương tự sẽ có điều phải chứng minh Và công việc cuối cùng là tìm ;
Trang 8 Quy đồng biểu thức (*), ta được: 11a3- b3£ (m a + n b ) (4a2+ ab)
ma na b ma b nab a b
Quan sát hệ số của 3
b đồng thời bất đẳng thức ( )3
a- b sẽ tìm ta nghĩ đến chuyện ;a b cùng hệ số hay nói
2
m
m n
ïí
ï + = ïî
3 1
m n
ìï = ï
2
11
4
a b
a b a b a b
a ab
Bài toán kết thúc
Bài tập tương tự:
1 Cho ; ;a b c là các số thực dương Chứng minh rằng
4
a b c
2 Cho ; ;a b c là các số thực dương Chứng minh rằng
+ +