Để chứng minh tứ giác do bốn điểm đó tạo thành là tứ giác nội tiếp ta chứng minh hai đỉnh liên tiếp của tứ giác đó cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau.. Nhắc lại kiến thức và phươ[r]
Trang 1http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 3
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
Đề dự bị TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2011 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
MÔN THI: TOÁN (Vòng 1) Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Câu I (3,0 điểm)
1) Với ; ;a b c là những số thực thỏa mãn điều kiện ab bc ca abc a b c+ + = + + + ; 3+ ab¹ 2a+ ; b
3+ bc¹ 2b+ ; 3c +ca¹ 2c+ Chứng minh rằng a
1
3 ab 2a b + 3 bc 2b c + 3 ac 2c a =
2) Giải hệ phương trình
2
6 8
ìï + = ïïí
ï + + =
Câu II (3,0 điểm)
1) Với mỗi số thực a ta ký hiệu aéù ë û là số nguyên lớn nhất không vượt quá a giải phương trình
é ù ê ú ê ú é ù
ë û= êë + ú êû ë+ + úû+ ë û+ 2) Chứng minh rằng từ 52 số nguyên bất kỳ luôn có thể chọn ra được hai số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 100 Câu III (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABCV , đường cao AH , H thuộc BC P thuộc AB sao cho CP là phân
giác góc ·BCA Giao điểm của CP và AH là Q Trung trực của PQ cắt AH và BC lần lượt tại ; E F
1) PE giao AC tại K Chứng minh rằng PK vuông góc AC
2) FQ giao CE , CA lần lượt tại ; M N Chứng minh rằng bốn điểm ; ; ;E K N M thuộc một đường tròn
3) Chứng minh rằng bốn điểm ; ; ;P E C F thuộc một đường tròn
Câu IV (1,0 điểm) Giả sử 0< a b c; ; £ Chứng minh rằng 1
6
Câu I
1) Ta có điều kiện ab+ bc+ca= abc+ + + Ûa b c (1- a)(1- b)(1- c)= 1
Và
VT
a
1
-Nhận xét: Bài toán kết hợp giả thiết cũng nhưng cách phân tích nhân tử ở đẳng thức suy ra điều phải chứng minh
Ý tưởng: Trước hết, quan sát giả thiết của bài toán, một đẳng thức khá cồng kềnh tuy nhiên rất đối xứng, vì thế ta
sẽ nhóm nhân tử lại như sau:
Để đơn giản hơn nữa, ta sẽ đặt x= -1 a y; = -1 b z; = -1 c, suy ra xyz =1 Chính vì thế ta cần biểu diễn mẫu
của các phân số trong đẳng thức cần chứng minh theo ; ;x y z hay chính là việc thế a= -1 x b; = -1 y c; = -1 z
vào đẳng thức bài cho, ta có:
Trang 2http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word
4
1
3 ab 2a b = 3 1 x 1 y 2 1 x 1 y = x xy
+ +
VT
Kết hợp với giải thiết xyz = 1ta sẽ đưa VT về cùng mẫu như sau:
VT
2
1 1
xy x
1
1
+ +
+ + + + + + + + (điều phải chứng minh)
Bài toán kết thúc
2) Ta có 3 3 3 3 ( ) ( )3
2
2 2
2
8x y 8
æ ö÷
= ççç + ÷÷ =
è ø + (do x+ ¹y 0)
1
xy
ìï + = ï
Þ + = Û íï =ïî Û = = Nhận xét: Bài toán sử dụng phương pháp thế, sau đó đưa về phương trình có chứa mối liên hệ giữa ;x y và thế
ngược lại một trong hai phương trình của hệ, tìm nghiệm của hệ ban đầu
Ý tưởng: Đây là một hệ phương trình đối xứng, đồng thời lại xuất hiện các tổng x y+ và tích xy nên ta nghĩ đến việc đặt ẩn phụ (u= +x y v; = xy) nhưng việc phân tích 3 3
x + y theo ;u v sẽ gặp khó khăn Vì thế hướng đi này không khả thi, quan sát kỹ một chút, ta thấy rằng phương trình một có hằng số 2= xy x( + y)đồng thời hằng số 6
xuất hiện ở phương trình hai do đó ta nghĩ đến chuyện thế, đồng thời chú ý đến hằng đẳng thức
3
x+ y = x + y + xy x+ y nên phương trình hai trong hệ tương đương với: ( )3 2 2
8
2
xy
=
+ suy ra ( )5
x+ y = Û + = Khi đó hệ đã cho trở thành: x y 1 1
2
xy
ìï =
íï + =
Bài toán kết thúc
Bài tập tương tự:
1 Giải hệ phương trình ( )
ïïí
2 Giải hệ phương trình ( )
8 6 32
ïïí
Câu II
1) Ta chứng minh đẳng thức 3 2 1
é ù= ê + ú ê+ + ú+ é ù
ë û êë ú êû ë úû ë û
Ký hiệu é ù=ë ûx m x;{ }= Þ £ <a 0 a 1;x= +m a
+) Xét trường hợp 0 1
3
a
£ <
3 4 3
Þ £ < £ + < 1 1 1 3 3 ; 2 ; 1
3 a 3 é ùx m xé 3ù m xé 3ù m
£ + £ Þ ë û= ê + ú= ê + ú=
3m m m m
Þ = + + (đúng)
+) Xét trường hợp 1 2
3£ < a 3
Trang 3http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 5
1 3a 2
Þ £ <
£ + < £ + < Þ ë û= +
1;
ê + ú= + ê + ú=
é ù= + = + + + = ê + ú ê+ + ú+ é ù
+) Xét trường hợp 2 1
3£ < a
Þ £ < £ + < £ + <
Þ ë û= + ê + ú= + ê + ú= +
Ta thu được [3 ]x = é ùë û3m = 3m+ =2 (m+1) (+ m+1)+ m
é ù é ù é ù
= êë + ú êû ë+ + úû+ ë û
*) Phương trình đã cho tương đương với 3 1 1 3 2 1 2
é ù= Û £ < Þ £ <
ë û Nhận xét Để giải bài toán trên cần sử dụng phương pháp biến đổi tương đương đưa về xét khoảng giá trị của nghiệm
Nhắc lại kiến thức và phương pháp
Các ký hiệu cơ bản: “ xé ùë û là số nguyên lớn nhất không vượt quá x và { }x là phần lẻ hay phần thập phân Do
đó x= é ùë ûx +{ }x ” Ví dụ: Cho số 2,49 Ta có 2,49éë ù=û 2 và {2,49}=0,49
Xét các khoảng giá trị của nghiệm như bài giải đã làm theo đúng phương pháp thông thường khi làm bài toán phần nguyên
2) Chúng ta xét các số dư của 52 số trong phép chia cho 100 và chia các số thành các nhóm theo số dư như sau { } {0 , 1,99 ,}K K, 49,51 , 50 { } { } Vì có 51 nhóm nếu tồn tại 2 số có số dư thuộc cùng một nhóm Nếu hai số đó đồng dư thì hiệu của chúng chia hết 100 Nếu hai số có số dư khác nhau thuộc cùng một nhóm có tổng số dư bằng
100 thì tổng của chúng chia hết cho 100
Nhận xét Áp dụng kiến thức về số dư trong phép chia số nguyên và nguyên lý Dirichlet (Đi - rich - lê)
Nhắc lại kiến thức và phương pháp
Phép chia một số nguyên a cho một số tự nhiên b khác 0 ta được thương là số nguyên p (p cùng dấu với a) và
số dư là số tự nhiên r Ta có r luôn nhỏ hơn b Hay r lớn nhất có thể tồn tại là r= -b 1
Phép chia một số tự nhiên cho 100 ta có thể nhận được các số dự sau rÎ {0;1; 2; 3;K; 99}(có 100 phần tử)
Tư duy bài toán: Bài toán yêu cầu chứng minh từ 52 số nguyên bất kỳ luôn có thể chọn ra được hai số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 100
Từ các số dư r có thể tồn tại trên, chọn và ghép đôi hai số thành nhóm các số dư
{ } {0 , 1,99 ,}K K, 49,51 , 50{ } { } (có 51 nhóm)
Nguyên lý Dirichlet (phát biểu cho bài toán này): “Có n cái lồng và cần nhốt n + 1con chim và lồng Ta luôn
có ít nhất một cái lồng chứa 2 con chim.”
Vì ta đang xét với 52 số nguyên bất kỳ nên ta sẽ nhận được 52 số dư bất kỳ khi chia cho 100 nên sẽ luôn có 1
số dư thuộc cùng một nhóm với một trong 51 số dư còn lại
+ Nếu số dư đó cùng nhóm có tổng bằng 100 thì chia hết cho 100
+ Nếu số dư đó cùng nhóm có số bằng nhau khi chia cho 100 (hay đồng dư với nhau khi chia cho 100) thì có hiệu chia hết cho 100
Câu III
N
K E A
Trang 4http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word
6
1) Ta có tam giác DEPQ cân tại E và CQ là phân giác góc BCA , · nên
Do đó · · 0
90
EPQ+PCK= , nên PK^ AC
Nhận xét Chứng minh hai đường thẳng vuông góc ta đi chứng minh góc đó là góc còn lại của một tam giác có tổng hai góc bằng 90°
Nhắc lại kiến thức và phương pháp
Điểm thuộc trung trực của một đoạn thẳng cách đều hai mút của đoạn thẳng đó
Điểm E thuộc trung trực của đoạn thẳng PQ nên EP EQ=
Tam giác có hai cạnh bằng nhau là tam giác cân
Tam giác EPQD có EP EQ= , suy ra tam giác EPQD cân tại E
Tam giác cân có hai góc kề cạnh đáy bằng nhau
Tam giác EPQD cân tại E nên ta có · EPQ= EQP·
Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau
Ta có ·PQE và · HQC là hai góc đối đỉnh nên ·PQE= HQC·
Tổng hai góc nhọn trong một tam giác vuông bằng 90°
Tam giác HQCD vuông tại H , nên · HQC+HCQ· = 90°
Û = °- = °- ( CK là phân giác của góc · ACB )
Từ các chứng minh trên ta có ·EPQ= 900- PCK· Û EPQ· + ·PCK= 900
Tam giác có tổng hai góc bằng 90° thì góc còn lại là góc vuông
Tam giác KPCD có · · 0
90
EPQ+ PCK= nên ·PKC = 90o hay PK^ AC
2) Trong tam giác EFCD có CQ EF^ (do EF là trung tr ực PQ ); EQ FC^ nên FQ^ EC
Từ đó · 0
90
EMN = , nên tứ giác EKNM nội tiếp đường tròn đường tròn đường kính EN
Ta có tứ giác EKCH nội tiếp đường tròn đường kính EC nên · PEQ= HCK·
Chú ý: EF là phân giác góc · PEQ và CQ là phân giác góc · HCK, do đó · 1· 1· ·
PEF= PEQ= HCK= PCF Do đó
tứ giác PECF nội tiếp
Nhận xét Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn ta chứng minh bốn điểm đó tạo thành một tứ giác nội tiếp Để chứng minh tứ giác do bốn điểm đó tạo thành là tứ giác nội tiếp ta chứng minh hai đỉnh liên tiếp của tứ giác đó cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau
Nhắc lại kiến thức và phương pháp
Đường thẳng nối một đỉnh của tam giác với giao điểm của hai đường cao từ hai đỉnh còn lại là đường cao thứ
ba của tam giác
Tam giác EFCD có CQ FE^ (do FE là trung trực của PQ ) và EQ CF^ (do AH^ BC ) suy ra FQ CE^ suy ra ·EMN= 90°
Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 180° là tứ giác nội tiếp
+ Tứ giác EKNM có · EMN+ EKN· = 90°+90° = 180° suy ra EKNM là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính EN
Trang 5http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 7
+ Tứ giác EKCH có · EKC+CHE· = 90°+90° = 180° suy ra EKCH là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính EC
Tứ giác nội tiếp có góc ngoài tại đỉnh đối diện bằng góc trong không kề với nó
Góc ·PEQ là góc ngoài t ại đỉnh E và có góc · KCH là góc trong t ại đỉnh C không kề với E của tứ giác nội
tiếp EKCH nên · PEQ= KCH·
Đường phân giác của một góc chia góc đó thành hai góc bằng nhau và bằng một nửa góc ban đầu
+ EF là phân giác góc · PEQ nên · 1·
2
+ CQ là phân giác góc · HCK nên · 1·
2
Hai đỉnh liên tiếp của tứ giác đó cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau thì tứ giác đó là tứ giác nội tiếp
Tứ giác PECF có hai đỉnh E và C cùng nhìn cạnh PF dưới hai góc bằng nhau · PEQ= HCK· nên PECF là
tứ giác nội tiếp hay bốn điểm P ; E ; C ; F cùng thuộc một đường tròn
Câu IV Ta chứng minh đẳng bất đẳng thức:
Với ; ;x y z³ thì 1 3
3
6
xyz
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y z= =
Bất đẳng thức tương đương với
3 3
xyz
3
3 9
xyz
+) Ta có 1+ + + ³ +x y z 1 33xyz (1)
+) Với ;x y³ ta chứng minh 1
1 x+ 1 y³ 1 xy
+ +
2 x y 2 xy xy x y 2 2 x y 2xy
Û + + + + + ³ + + + Û 2 xy(1- xy)+(x+ y) ( xy- 1)³ 0
Û - - ³ (bất đẳng thức hiển nhiên đúng)
+) Với ; ;x y z³ ta chứng minh 1
3
1 x+ 1 y+ 1 z³ 1 xyz
P
Áp dụng kết quả (2) ta thu được
3 4
P
Từ (1) và (3), suy ra (*) đúng
Trang 6http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word
8
Trở lại bài toán: Bất đẳng thức đã cho tương đương với
3
3
6
abc
Với 1 1 1; ; 1
a b c³ Áp dụng (*), suy ra điều phải chứng minh
Dấu “=” xảy ra khi a b c= =
Nhận xét: Bài toán sử dụng bất đẳng thức Cosi và bất đẳng thức bổ đề để chứng minh bất đẳng thức
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
Bất đẳng thức Cosi cho hai số thực dương: a+ ³b 2 ab
Bất đẳng thức Cosi cho ba số thực dương: a+ + ³b c 33abc
Bất đẳng thức bổ đề: 1 1 2 , ; 0, 1
x+ y³ xy " ³ ³
Ý tưởng: Đây là một bài toán rất khó, ngoài việc biểu diễn theo bất đẳng thức Cosi đòi hỏi người làm cần kết hợp với bất đẳng thức bổ đề Nếu chưa được tiếp xúc sẽ không thể làm được bài này Và hướng tiếp cận bổ đề như sau:
1 x+ 1 y³ 1 xy
+ +
2 x y 2 xy xy x y 2 2 x y 2xy
2 xy 1 xy x y xy 1 0
Û - - ³ (bất đẳng thức hiển nhiên đúng với xy³ ) 1 Bài toán kết thúc
Bài tập tương tự:
Với 0<a b c; ; <1 Chứng minh rằng
3