Một số phương pháp tìm số hạng tổng quát của dãy số

Trong nhiều bài toán có biểu thức phức tạp, thì công việc tìm ra quy luật này như “mò kim đáy biển”.. Ta có các cách sau, giúp tìm ra công thức tổng quát dễ dàng hơn.[r]

Một số phương pháp tìm số hạng tổng quát của dãy số - Toán 11 (Bổ trợ kiến thức)

Biên soạn: gv Đặng Trung Hiếu – www.gvhieu.wordpress.com 1

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ

I Dự đoán số hạng tổng quát, rồi dùng quy nạp chứng minh

Ta tính một vài số hạng đầu, rồi thông qua đó ta tìm ra

quy luật, rồi rút ra công thức của số hạng tổng quát

Cuối cùng là dùng quy nạp để chứng minh

Ví dụ: Cho 1

1

2 ( ) :

4 2

n

u u





thức số hạng tổng quát u ? n

Giải:

Ta có:

1

2 1

3 2

4 3

2

4.1 2 8

4.2 2 18

4.3 2 32

u



Để ý ta thấy:

2

1

2

2

2

3

2

4

2 2.1

8 2.2

18 2.3

32 2.4

u

u

u

u

 

 

Vậy ta dự đoán u n 2.n2 (1)

Bây giờ ta dùng quy nạp chứng minh dự đoán trên là

đúng Thật vậy:

Với n  1 u1 2.12 2 (Đúng)

Giả sử (1) đúng với n k 1, ta có: u k 2.k2

Ta chứng minh (1) cũng đúng với n k 1

Tức là u k12.(k1)2 Thật vậy, ta có:

2 1

2( 2 1) 2( 1)

      

Vậy u n 2.n2

Nhận xét: Với cách làm này đơn giản, dễ hiểu, tuy

nhiên cái khó nhất là tìm ra quy luật chung Trong

nhiều bài toán có biểu thức phức tạp, thì công việc

tìm ra quy luật này như “mò kim đáy biển” Ta có các

cách sau, giúp tìm ra công thức tổng quát dễ dàng

hơn

II Dùng cách đặt dãy phụ

Dãy số có dạng 1 0

1

( 1)

n









Cách giải:

Chọn g n( )an2bn

Tìm a, b bằng cách cho:

( 1) ( ) ( 1) ( 1) 2

2

a

a b

 

 











Sau khi tìm được a, b ta đặt: v n u ng n( )

Ta chứng minh v là CSC hoặc CSN, rồi tìm số hạng n

tổng quát của dãy v n

Từ đó suy ra công thức tổng quát của dãy u n

Ví dụ:

Tìm số hạng tổng quát của dãy (u n) biết:

1 1

5

4 7

u







Giải:

Làm ngoài giấy nháp:

Chọn g n( )an2bn

Tìm a, b:

4n 7 g n(  1) g n( ) 4n 7 2an a b 

  (áp dụng đồng nhất thức)

2 ( ) 2 9

Bài làm chính thức:

2

2 2

2( 1) 9( 1)

4 7 2( 1) 9( 1)

2 9

n

n

n

v

 



Một số phương pháp tìm số hạng tổng quát của dãy số - Toán 11 (Bổ trợ kiến thức)

Biên soạn: gv Đặng Trung Hiếu – www.gvhieu.wordpress.com 2

Suy ra v là cấp số cộng với d=0 n

Mà v1  u1 2.129.1 5 2 9 12   

Vậy v n   v1 (n 1)d 12 ( n 1).0

12

n

v

Mà v n u n 2n29n12u n2n29n

2

n

Dãy số có dạng 1 0

1

( 1)

n









Cách giải:

Chọn g n( )an b

Cho n  g n(  1) kg n( ), thông qua đây ta tìm

được a, b Rồi thay a, b vào g(n) Sau đó tiến hành đặt

dãy phụ giống như dạng trước

Ví dụ: Cho 1

1

10 ( ) :

5 8 4

n

u u





hạng tổng quát của dãy đã cho

Giải:

Bài làm ngoài giấy nháp:

Chọn ( )g n an b

Cho 8  n 4 g n(  1) 5 ( )g n

8 4 ( 1) 5( )

2

( ) 2 1

2

a a





Bài làm chính thức:

2

v u  n

1 2( 1)

2

1

5 8 4 2( 1)

2

n

 

Vậy v là cấp số nhân với công bội q = 5 n

Ta có 1 1 2.1 1 10 2 1 17

v  u     

Vậy số hạng tổng quát 17.5 1

2

n n

Dãy số có dạng 1 0

1

( 0, 1)







Đối với dãy số được cho như trên, thì cần ghi nhớ công thức này

1 1

1

1

1

n n

n

a

a





Ví dụ: Tìm số hạng tổng quát của dãy số biết

1 1

5

( 1)

3 2

u

n









Giải:

Trước tiên ta làm ngoài giấy nhám, đối với dãy số

vừa cho ở trên ta thấy a3, b2, u15 Nên ta có:

1

1 1

3 1 5.3 2

2 5.3 3 1 6.3 1

n

n n

n

a

a u







Sau khi làm xong ngoài giấy nháp, ta đã biết được số hạng tổng quát u n 6.3n11

Bài làm chính thức:

Xét dãy số 1

6.3n 1

n

Ta thấy u1 6.31 1  1 6.30 1 5

Ta có u n16.3(n 1) 1 1 6.3n1 (1)

Mặt khác ta thấy:

3u n 2 3.6.3n  1 6.3 3n  1 6.3n1 (2)

Từ (1) và (2) suy ra u n1 3u n2 Tóm lại với u n 6.3n11 thì ta có 1

1

5

( 1)

3 2

u

n









Vậy công thức tổng quát của dãy cần tìm là:

1 6.3n 1

n