9. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Bình Định năm học 2015-2016 (chuyên)

 Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của một biểu thức bằng cách sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai.. Nhận xét: Giải bài toán bằng cách lập phương trình.[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BÌNH ĐỊNH

Đề chính thức

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

NĂM HỌC 2015 - 2016 MÔN THI: TOÁN (Chuyên Tin)

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu I (2,0 điểm)

1) Rút gọn biểu thức P = 2- 3( 6+ 2)

2) Giải hệ phương trình 2 3

6

ìï + = ïí

ï - =

Câu II (2,0 điểm) Cho phương trình mx2- 2(m+1)x+ -1 3m=0 (1) ( m là tham số)

1) Chứng tỏ rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m

2) Trong trường hợp m¹ Gọi 0 x x 1; 2 là hai nghiệm của phương trình (1), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1 2

Câu III (2,0 điểm) Trong một phòng có 80 người họp, được sắp ngồi trên các dãy ghế có chỗ ngồi bằng nhau Nếu

ta bớt đi 2 dãy ghế thì mỗi dãy ghế còn lại phải xếp thêm 2 người ngồi thì vừa đủ chỗ

Hỏi lúc đầu có mấy dãy ghế và mỗi dãy ghế được xếp bao nhiêu chỗ ngồi

Câu IV (3,0 điểm) Cho điểm M nằm ngoài đường tròn ( ) O Vẽ các tiếp tuyến MA MB ( ;; A B là các tiếp điểm)

và cát tuyến MCD không đi qua O (C nằm giữa M và D ) với đường tròn ( ) O Đoạn thẳng MO cắt AB và

( )O theo thứ tự tại H và I Chứng minh rằng

1) Tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn

Câu V (1,0 điểm) Cho ; ;x y z là các số thực thỏa mãn điều kiện: 3 2 2 2

1 2

x

giá trị lớn nhất của biểu thức B x y z= + +

- HẾT -

LỜI GIẢI – NHẬN XÉT – BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Câu I

1) Ta có P = 2- 3( 6+ 2)= 4- 2 3( 3+1)

( 3 1)( 3 1) 3 1 2

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

 Quy tắc khai phương một tích: Với ,a b không âm ta có a b = a b

 Hằng đẳng thức bình phương của một hiệu 2 2 ( )2

2

0

a khi a

ï

(vì 3 1> Û 3> 1= Û1 3- > ) 1 0

2

2) Ta có

6

ì

Nhận xét: Bài toán giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

 Rút một ẩn từ một phương trình

 Thế ẩn đã rút vào phương trình còn lại rồi giải phương trình đó

6

ì

Û íï = - Û íï =

 Thay giá trị của ẩn vừa giải ra vào ẩn đã rút để tìm giá trị của ẩn còn lại

( )

3

y

x

ì

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x y =; ) (3 ;- 3)

Câu II

1)

+ Với m = 0, phương trình (1) trở thành 2 1 0 1

2

+ Với m¹ , ta có 0

2

¢

Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m

Nhận xét: Bài toán trên là một phần của bài toán biện luận phương trình dạng ax2+bx+ =c 0

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

 Phương trình ax2+bx+ =c 0 với a = 0 trở thành phương trình dạng bx c= Phương trình này có nghiệm duy nhất khi b¹ 0hoặc có vô số nghiệm khi b = 0 và c = 0

2

 Phương trình ax2+bx+ = c 0 với a¹ 0 trở thành phương trình bậc hai của ẩn x Phương trình này có

nghiệm khi và chỉ khi D ³ với 0 2

4

2

b

Với m ¹ phương trình (1) là phương trình bậc hai ẩn x tham số m 0

 Chứng minh một biểu thức không âm

2

D = + + =ççè + + ÷÷ø+ =ççè + ÷÷ø + > với mọi giá trị của m¹ 0

Suy ra phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m¹ 0

Với m = 0 phương trình có nghiệm duy nhất và với m¹ phương trình luôn có nghiệm Do đó phương trình luôn 0

có nghiệm với mọi giá trị của m

Theo định lý Vi-et, ta có

1 2

1 2

m

m m

x x

m

ïï + = ïï

ïïî

A

m

2 2

m

= Suy ra Am2=10m2+6m+ Û4 (A- 10)m2- 6m- = 4 0

4

¢

4

3

Nhận xét: Bài toán áp dụng định lý Vi-ét trong phương trình bậc hai và kiến thức tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

 Định lý Vi-ét trong phương trình bậc hai 1 2

1 2

b

a c

x x a

ìïï + = -ïïï

íï

ïïïî

Với m¹ phương trình (1) là phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt 0 x và 1 x , ta có 2

1 2

1 2

m

m m

x x

m

ïï + =

ïï

ïïî

A= x + x = x + x - x x kết hợp với các giá trị đã tính được từ Định lý Vi-ét ta được:

2 2

m

 Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của một biểu thức bằng cách sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai

+ Với A =10 ta có 2

3

+ Với A¹ 10 ta có D = +' 9 4(A- 10)= 4A- 31

Để phương trình (*) có nghiệm thì ' 0D ³ Û 4A- 31³ 0 31

4

A

Û ³ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi phương

3

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng 31

3

Câu III Gọi x (dãy ghế) là số dãy ghế ban đầu (xÎ N x*, > 2)

Theo đề bài ta có phương trình

2

x

8( )

x

é = ê

Vậy lúc đầu có 10 dãy ghế, mỗi dãy ghế có 8 người ngồi

Nhận xét: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

• Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn

Gọi x (dãy ghế) là số dãy ghế ban đầu

Vì x số dãy ghế nên x phải là số tự nhiên khác 0 (hoặc số nguyên dương) Từ đó có điều kiện *

Vì đề bài cho “Nếu bớt đi 2 dãy ghế” thì vẫn phải còn ghế nên suy ra phải có nhiều hơn 2 dãy ghế Từ đó có điều kiện x > 2

• Dựa vào các dữ kiện cho ở đề bài để lập được phương trình

Ban đầu, có 80 người và x dãy ghế nên mỗi dãy ghế có 80

x người Sau khi bỏ đi 2 dãy ghế, có 80 người và x - 2 dãy ghế nên mỗi dãy ghế có 80

2

x - người

Sau khi bỏ đi 2 dãy ghế, mỗi dãy ghế phải ngồi thêm 2 người thì mới đủ chỗ nên ta có phương trình

2 2

• Giải phương trình và so sánh với điều kiện rồi đưa ra kết luận

10

x

x

é = -ê

Do đó ban đầu có 10 dãy ghế, mỗi dãy ghế có 80 8

10= người ngồi

Câu IV

1) Ta có µ µ 0

90

A= B= , cộng lại bằng 2V

Nhận xét: Chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp bằng cách chứng minh tứ giác đó có tổng hai góc trong đối diện bằng 180°

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

• Tiếp tuyến của một đường tròn thì vuông góc với bán kính tại tiếp điểm

+ MA là tiếp tuyến của ( ) O nên MA^ AO hay ·MAO= 90°

+ MB là tiếp tuyến của ( ) O nên MB^ BO hay ·MBO= 90°

• Tứ giác có tổng hai góc trong đối diện bằng 180° là tứ giác nội tiếp

Tứ giác MAOB có · MAO+MBO· = 90°+ 90° = 180° nên MAOB là tứ giác nội tiếp một đường tròn (đpcm) 2) Ta có MCAV ∽VMAD (g - g), suy ra tỉ số đồng dạng, suy ra điều phải chứng minh

Nhận xét: Chứng minh đẳng thức có hai vế là tích của hai đoạn thẳng bằng cách sử dụng tỷ số thông qua tam giác đồng dạng

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

• Hai tam giác có hai cặp góc bằng nhau thì đồng dạng

Xét MCAV và MADV có:

+ ·CAD : chung;

+ ·MAC= MDA· (góc tạo bởi tia tiếp tuyến - dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung »AC của ( )O );

suy ra MCAV ∽VMAD (g – g)

• Hai tam giác đồng dạng có các cặp cạnh tương ứng tỷ lệ

• Tỷ lệ thức

2

Nhận xét: Chứng minh đẳng thức dựa vào mối quan hệ giữa các đoạn thẳng

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

• Trong tam giác vuông, bình phương cạnh góc vuông bằng tích cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông

đó trên cạnh huyền

Tam giác OAMD vuông tại A , đường cao AH nên ta có 2

• Định lý Py-ta-go: “Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông”

Câu V Ta có

2

3

2

x

2

3

x= = = ±y z , lúc đó minB = - 2 và maxB = 2 Nhận xét: Bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức có giả thiết từ một biểu thức liên hệ giữa các biến

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

 Biến đổi tương đương một đẳng thức

2

3

2

x

 Hẳng đẳng thức

+ Bình phương của một hiệu

+ Bình phương của tổng ba số

2

x

 Tổng của các số hạng không âm luôn lớn hơn hoặc bằng một số hạng

2 2 2

0 0 0

ìï + + ³ ïïï

íï ïïï - ³ ïïî

2

 Khi đánh giá được giá trị biểu thức với giá trị số nào đó, ta phải tìm được điều kiện xảy ra dấu “=” thì mới được kết luận giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

3

x= y= = -z

3

3

Giá trị nhỏ nhất của B bằng - 2 khi 2

3

x= y= = -z