Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình. Mỗi bạn nam trồng được số cây.. như nhau và mỗi bạn nữ trồng được số cây như nhau. Tính số học sinh nam và số học sinh nữ của [r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC NINH
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2017 – 2018 Môn thi: TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I (2,5 điểm)
1) Giải hệ phương trình 2 4
5
x
ìï = ïí
ïî
x P
với x > 0
Câu II (2,0 điểm)
x - mx + m - = với m là tham số
1) Giải phương trình ( )1 khi m = 2.
2) Chứng minh rằng phương trình ( )1 luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m Gọi
1, 2
x x là hai nghiệm của phương trình( )1 , lập phương trình bậc hai nhận
x - mx + m x - và x23- 2mx22+ m x2 2- 2 là nghiệm
Câu III (1,0 điểm)
Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
Một nhóm gồm 15 học sinh (cả nam và nữ) tham gia buổi lao động trồng cây Các bạn nam trồng được 30 cây, các bạn nữ trồng được 36 cây Mỗi bạn nam trồng được số cây như nhau và mỗi bạn nữ trồng được số cây như nhau Tính số học sinh nam và số học sinh
nữ của nhóm, biết rằng mỗi bạn nam trồng được nhiều hơn mỗi bạn nữ 1 cây
Câu IV (3,5 điểm)
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn ( )O kẻ hai tiếp tuyến MA MB, với đường tròn ( ,A B
là hai tiếp điểm) Lấy điểm C trên cung nhỏ A B (C không trùng với A và B) Từ điểm C kẻ
CD vuông góc với A B, CE vuông góc với MA, CF vuông góc với MB (D Î A B,
,
E Î MA F Î MB) Gọi I là giao điểm của A C và DE , K là giao điểm của BC và DF
Chứng minh rằng
1) Tứ giácA DCE nội tiếp một đường tròn
2) Hai tam giác CDE và CFD đồng dạng
3) Tia đối của tia CD là tia phân giác góc ECF· .
4) Đường thẳng IK song song với đường thẳngA B
Câu V (1,0 điểm)
1) Giải phương trình ( 2 )( 2 ) 2
2) Cho bốn số thực dương x y z t, , , thỏa mãn x + y + z + t = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thứcA (x y z x)( y)
xyzt
…HẾT …
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: SBD:
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC NINH
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2017 – 2018 Môn thi: TOÁN HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
Câu I (2,5 điểm)
1) Giải hệ phương trình 2 4
5
x
ìï = ïí
ïî
x P
với x > 0
Giải
2
P
=
2
x
x x
+
Câu II (2,0 điểm)
x - mx + m - = với m là tham số
1) Giải phương trình ( )1 khi m = 2.
2) Chứng minh rằng phương trình ( )1 luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m Gọi
1, 2
x x là hai nghiệm của phương trình( )1 , lập phương trình bậc hai nhận
x - mx + m x - và x23- 2mx22+ m x2 2- 2 là nghiệm
Giải
1) Với m = 2 PT trở thành x2 - 4x + 3= 0
Giải phương trình tìm được các nghiệm x = 1;x = 3
2) Ta có 2 2
D = - + = > "
Do đó, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt
Từ giả thiết ta có 2 2
x - mx + m - = i =
x - mx + m x - = x x - mx + m - + x - = x - i =
Áp dụng định lí Viét cho phương trình ( )1 ta có x1+ x2 = 2 ; m x x1 2 = m2 - 1
Ta có
Vậy phương trình bậc hai nhận 3 2 2
1 2 1 1 2,
x - mx + m x - là nghiệm là
x - m- x + m - m + =
Câu III (1,0 điểm)
Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
Một nhóm gồm 15 học sinh (cả nam và nữ) tham gia buổi lao động trồng cây Các bạn nam trồng được 30 cây, các bạn nữ trồng được 36 cây Mỗi bạn nam trồng được số cây
Trang 3như nhau và mỗi bạn nữ trồng được số cây như nhau Tính số học sinh nam và số học sinh
nữ của nhóm, biết rằng mỗi bạn nam trồng được nhiều hơn mỗi bạn nữ 1 cây
Giải
Gọi số HS nam của nhóm là x (x Î ¥; 0< x < 15 ,) số HS nữ là 15- x
Theo đề bài số cây các bạn nam trồng được là 30 và số cây các bạn nữ trồng được là 36 nên Mỗi HS nam trồng được 30
x cây, Mỗi HS nữ trồng được 36
15- x cây
Vì mỗi bạn nam trồng được nhiều hơn mỗi bạn nữ 1 cây nên ta có
30 36
( )
81 450 0
6 (t/ m)
x
x
é = ê
êë &
Vậy có 6 HS nam và 9 HS nữ
Câu IV (3,5 điểm)
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn ( )O kẻ hai tiếp tuyến MA MB, với đường tròn ( ,A B
là hai tiếp điểm) Lấy điểm C trên cung nhỏ A B (C không trùng với A và B) Từ điểm C kẻ
CD vuông góc với A B, CE vuông góc với MA, CF vuông góc với MB (D Î A B,
,
E Î MA F Î MB) Gọi I là giao điểm của A C và DE , K là giao điểm của BC và DF
Chứng minh rằng
1) Tứ giácA DCE nội tiếp một đường tròn
2) Hai tam giác CDE và CFD đồng dạng
3) Tia đối của tia CD là tia phân giác góc ·
ECF 4) Đường thẳng IK song song với đường thẳngA B
Giải
1) Hình vẽ câu 1) đúng
2
2 1 1
1 1
1
K
I
F
E
B A
A EC = A DC = Þ A EC + A DC = do đó, tứ giác A DCE nội tiếp
2) Chứng minh tương tự tứ giác BDCF nội tiếp
Do các tứ giácA DCE BDCF, nội tiếp nên ¶ µµ ¶
1 1, 1 1
B = F A = D
Trang 4Mà A M là tiếp tuyến của đường tròn ( )O nên µ ¼ ¶ ¶ µ
sđ
1
2
A = A C = B Þ D = F
Chứng minh tương tự ¶ ¶
1 2
E = D Do đó, DCDE ∽DCFD( )g.g
3) Gọi Cx là tia đối của tia CD
Do các tứ giácA DCE BDCF, nội tiếp nên DA E· = ECx DBF· ,· = FCx·
Mà MA B· = MBA· Þ ECx· = FCx· nên Cx là phân giác góc ECF· .
4) Theo chứng minh trên ¶ ¶ ¶ ¶
2 2, 1 1
A = D B = D
A + B + A CB = Þ D + D + A CB = Þ ICK + IDK =
Do đó, tứ giác CIKD nội tiếp ¶ ¶
1 1
D = B Þ IK A B
Câu V (1,0 điểm)
1) Giải phương trình ( 2 )( 2 ) 2
2) Cho bốn số thực dương x y z t, , , thỏa mãn x + y + z + t = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thứcA (x y z x)( y)
xyzt
Giải
1) Dễ thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình nên
Û çç + - ÷÷çç + + ÷÷=
Đặt t x 1
x
5
t
t
é = ê
-êë
x
5 21
5 21 2
x
x
x
-ê = ê ê
ê = êë
2) Ta có
2
4A x y z t x y z x y
xyzt
=
4(x y z t x) ( y z x)( y)
xyzt
³
2 4(x y z) (x y) 4.4(x y z x) ( y)
2
16( ) 16.4
64
+
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1 2
4 1 2 1
z
t
ìïï
