1. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh An Giang năm học 2015-2016 (Chuyên)

Nhận xét: Bài toán chứng minh đẳng thức có hai vế là tích của hai đoạn thẳng ta dựa vào tỷ lệ giữa các cạnh từ tam giác đồng dạng.. Nhắc lại kiến thức và phương pháp:.[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

AN GIANG

Đề chính thức

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN

NĂM HỌC 2015 - 2016 MÔN THI: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu I (1,0 điểm) Cho A= x+2 3(x- 3)+ x- 2 3(x- 3) Tính A khi x = 5

Câu II (1,5 điểm) Giải hệ phương trình

1 5 2

2 1

x y y x

ìïï + = ïïï

íï

ïï + = ïïî

Câu III (2,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n³ ta luôn có 1 1 2

+ - Từ đó chứng minh

n

Câu IV (1,5 điểm) Tìm ; ;a b c biết rằng phương trình x3+ ax2+ bx+ = c 0 có tập nghiệm là S = -{ 1; 1}

Câu V (3,0 điểm) Cho tam giác ABCV có ba góc nhọn và góc µA bằng 60o nội tiếp trong đường tròn tâm O , bán kính R Các đường cao BD và CE của tam giác cắt nhau tại H

1) Chứng minh rằng AD AC = AE AB

2) Chứng minh rằng BC= 2.DE

3) Kéo dài BH cắt đường tròn tâm O tại H ¢ Chứng minh H và H ¢ đối xứng qua AC và hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác AHCV ; ABCV có cùng bán kính

Câu VI (1,0 điểm)

Cầu Vàm Cống bắc ngang qua Sông Hậu nối liền hai tỉnh Cần Thơ và Đồng Tháp thiết kế theo kiểu dây giăng như hình vẽ Chiều cao từ sàn cầu đến đỉnh trụ đỡ AB = 120(m), dây giăng AC = 258(m), chiều dài sàn cầu từ B đến C là 218 (m) Hỏi góc nghiêng của sàn cầu BC so với mặt nằm ngang (giả thiết xem như trụ đỡ AB thẳng

đứng)

…… HẾT………

LỜI GIẢI – NHẬN XÉT – BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Câu I Khi x = 5, suy ra A = 5+2 6 + 5- 2 6

3 2 3 2 2 3 2 3 2 2

Nhận xét: Bài toán khá cơ bản, khi ta chỉ cần thay giá trị biến vào biểu thức đã cho, từ đó trục căn thức và tính giá trị của biểu thức

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

 Hằng đẳng thức ( )2 2 2 ( )2 2 2

a+ b = a + ab+ b a- b = a - ab+ b

Hoặc 2( ) ( ) ( )

f x = f x = - f x nếu f x <( ) 0

Ý tưởng: Bài toán này thuộc dạng cho gì làm lấy, tức là với giá trị x = 5 thay vào biểu thức ta được

5 2 6 5 2 6

A = + + - , bây giờ các biểu thức nằm trong căn do đó để rút gọn A ta sẽ nghĩ đến chuyện khử

căn thức, hay nói cách khác ta muốn có ( )2

5+ 2 6= m 3+n 2 = 3m + 2n + 2 6mn, đồng nhất hệ số của biểu thức này 5 3 2 2 2 1

1

mn

ìï = +

íï =

ïî , tương tự cho biểu thức còn lại, ta suy ra:

Bài toán kết thúc

Bài tập tương tự:

1 Rút gọn biểu thức P = 6+ 2 5- 6- 2 5

2 Rút gọn biểu thức P = 11+ 4 6 + 11- 4 6

Câu II Điều kiện: x¹ 0;y¹ 0

Hệ phương trình tương đương với

5

2

ìïï + = ïí

ïï + = ïî

Từ hai phương trình, ta có 5 5 2

2y= xÛ =y x Thay vào phương trình ban đầu của hệ, ta có

2

1

4

x

é = ê ê

êë + Với x= Þ1 y= 2

+ Với 1 1

x= Þ y=

Vậy hệ phương trình có nghiệm: ( ; ) ( )1; 2 , 1 1;

4 2

x y = æçç ö÷÷

÷

è ø Nhận xét: Bài toán kết hợp cả hai phương trình của hệ, từ đó tìm mối liên hệ giữa các biến sau đó thế ngược lại vào một trong hai phương trình của hệ để tìm nghiệm

Ý tưởng: Quan sát thấy ở vế trái của phương trình một và phương trình hai, vai trò của các biến là như nhau, chính

vì thế ta sẽ tạo ra được một đại lượng cân bằng giữa hai phương trình đó Thật vậy, quy đồng lên ta sẽ có được

1

x

+ + = và 2 1 2xy 1

y

+ + = , đại lượng cân bằng ở đây chính là biểu thức 2xy + 1 vì thế ta sẽ rút các giá trị còn lại ở từng phương trình theo 2xy + 1 để rồi cho chúng xảy ra dấu = như sau:

1 5

2

2 2

x

y

y x

ìïï + = ìï

ï + = ïî ïïî

Thế y= 2x¹ 0 vào phương trình một của hệ, ta được:

1 5

2

y

é

ê = Þ = ê

= Þ = êë

Bài toán kết thúc

Bài tập tương tự:

1 Giải hệ phương trình

1 4 1 2

x y y x

ìïï + = ïïï

íï

ïï + = ïïî

Đáp số: ( ; ) 2 2; 1 1 , 2 2; 1 1

=ççç + - ÷÷ççç - + ÷÷

2 Giải hệ phương trình

2

2

1 4 1 2

x y

y x

ìïï + = -ïïï

íï

ïï + = -ïïî

Câu III Ta có

+ +

=

Từ biểu thức chứng minh trên ta có 1 ( )

Cho n từ 1 đến n , ta có

1

1 1

2

1

n

>

->

-> + -Cộng các bất đẳng thức trên, ta được

n

-2 n 1 2 2 2 n 2

> + - > - (điều phải chứng minh)

Nhận xét: Bài toàn liến quan đến bất đẳng thức số

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

 Chứng minh rằng với mọi số nguyên n³ ta luôn có 1 1 2

>

+ Chứng minh bất đẳng thức bằng cách biến đổi vế trái để so sánh với vế phải

1

VT

+

1

+ Cộng cùng một lượng vào hai vế của một bất đẳng thức thì bất đẳng thức không đổi chiều

1> Û + > Û0 n 1 n n+ >1 nÛ n+ +1 n> n+ n= 2 n; suy ra VT= n+ +1 n> 2 n= VP (điều cần chứng minh)

 Chứng minh 1 1 1 1 2 2

n

+ + + + > - với mọi số nguyên n³ 1 + Biến đổi để áp dụng từ ý trên

+

-1

2 n 1 2 n n

Û > + -

- Với n = 1 ta có 1 2 2 2 1

1

> -

- Với n = 2 ta có 1 2 3 2 2

2

> -

- …

- Với n ta có 1 2 n 1 2 n

n

> + -

Cộng vế theo 1 1 1 1

1+ 2+ 3+ + n

2 2 2 1 2 3 2 2 2 n 1 2 n 2 n 1 2 1

+ Tính chất “bắc cầu”: a b > và b c > thì a c>

Ta có 2( n+ -1 1) (> 2 n- 1)Û 2 n+ -1 2 1> 2 n- 2

Ta có

n n

ìïï + + + + > +

-ïïí

ïïï + - >

-ïî

n

+ + + + > - (điều phải chứng minh)

Câu IV Phương trình có hai nghiệm là x = - 1 và x = 1, thay vào phương trình ta được hệ phương trình

ìï - + - + =

ïí

ï + + + =

Trừ hai phương trình trên, ta được: 2 2- - b= Û = - 0 b 1

Cộng hai phương trình trên, ta được: a+ = Û = - c 0 c a

Phương trình trở thành 3 2

0

x +ax - x- a=

Theo giải thiết, phương trình có tập nghiệm là S = -{ 1; 1}, khi đó phương trình x+ =a 0 phải có nghiệm là 1- hoặc 1, suy ra a = 1 hoặc a = - 1

Vậy các số ; ;a b c cần tìm là a=1;b= - 1;c= - 1hoặc a= - 1;b= - 1;c= 1

Nhận xét: Bài toán sử dụng yêu cầu giả thiết của bài toán, từ các nghiệm bài cho, ta tính được các giá trị ; ;a b c cần tìm

Ý tưởng: Giả thiết bài toán cho x = - 1 hoặc x = 1 là nghiệm của phương trình ban đầu, tuy nhiên đây lại là phương trình bậc ba nên một trong hai nghiệm sẽ là nghiệm kép Với hai nghiệm đó, thế lại phương trình ban đầu

ta có được: 1 0

ìï - + - + =

ïí

ï + + + =

ïî Trừ hai phương trình này cho nhau ta sẽ tìm được giá trị của b là

2 2b 0 b 1

- - = Û = - khi đó a+ = Û = - thế ngược lại phương trình bài cho suy ra c 0 a c 3 2

0

x + ax - x- a=

1

x

é = -ê

Vì phương trình chỉ nhận tập nghiệm S = -{ 1; 1} nên giá trị a phải thỏa mãn điều kiện

1

a

é = Þ =

-ê

- = ± Û ê = - Þ =ë

Vậy giá trị cần tìm là a=1;b= - 1;c= - 1hoặc a= - 1;b= - 1;c=1

Bài toán kết thúc

Bài tập tương tự:

1 Tìm ; ;a b c biết rằng phương trình x3+ ax2+bx+ = c 0 có tập nghiệm là S = -{ 2; 2}

2 Tìm ;m n biết rằng phương trình 3 2

0

x + x + mx+ =n có nghiệm bội hai là x = - 1

Câu V

1) Hai tam giác vuông VADB và VAEC có chung góc A nên chúng đồng dạng, suy ra

Nhận xét: Bài toán chứng minh đẳng thức có hai vế là tích của hai đoạn thẳng ta dựa vào tỷ lệ giữa các cạnh từ tam giác đồng dạng

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

 Hai tam giác có hai cặp góc tương ứng bằng nhau thì đồng dạng với nhau theo trường hợp “góc - góc” (g - g)

Xét ADBV và AECV có:

+ ·BAC : chung;

+ ·ADB= AEC· ( 90= ° );

Suy ra ADBV ∽VAEC (g – g)

 Hai tam giác đồng dạng có các cặp cạnh tương ứng tỷ lệ

2) Xét hai tam giác ADEV và ABCV có

+ Góc µA chung, mà AD AE

AB = AC , suy ra ADEV ∽VABC

Do đó AD ED

AB = BC

Mặt khác, tam giác ABDV vuông tại D , có µ 60 A = o, suy ra µ 1

2

A

1

2 2

ED

BC

Nhận xét: Bài toán chứng minh đẳng thức dựa vào quan hệ giữa các đoạn thẳng từ các đẳng thức suy ra từ tỷ lệ thức

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

 Hai tam giác có hai góc tương ứng bằng nhau và có hai cặp cạnh kề góc tương ứng tỷ lệ thì đồng dạng với nhau theo trường hợp “cạnh – góc - cạnh” (c – g - c)

Xét hai tam giác ADEV và ABCV có

+ µA : chung;

+ AD AE

AB= AC (chứng minh 1).);

Suy ra ADEV ∽VABC (c – g – c), AD ED

 Trong một tam giác vuông, cạnh góc vuông kề góc 60° (hay cạnh đối diện với góc 30° ) bằng nửa cạnh huyền (chứng minh bằng hệ thức lượng trong tam giác vuông hoặc sử dụng tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

ABD

D vuông tại D , có A =µ 60o, áp dụng hệ thức lượng ta được:

 Tính chất “bắc cầu”: a b = và b c = thì a c=

2

ED

AB

ìïï =

íï

ïïïî

(điều phải chứng minh)

3) Kéo dài BD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác VABC tại H ¢

Xét hai tam giác vuông VAHD và VAH D¢ có

Cạnh AD chung;

BHC= HAC (góc có cạnh tương ứng vuông góc);

HBC= CAH ¢

Mà HH ¢ vuông góc với AC, nên tam giác VAHH ¢cân tại A hay AC là đường trung trực của HH ¢

Với H ¢ là điểm đối xứng của H qua AC

Suy ra AC là trung trực của đoạn HH ¢

Hai tam giác VAH C¢ và VAHC bằng nhau

Suy ra bán kính hai đường tròn ngoại tiếp của hai tam giác VAHC và bằng nhau mà đường tròn ngoại tiếp tam giác VAH C¢ chính là đường tròn ( )O

Vậy hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác VABC và VAHC có cùng bán kính

Nhận xét: Chứng minh hai đường tròn có cùng bán kính ta chứng minh chúng ngoại tiếp hai tam giác bằng nhau Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

 Hai góc cùng phụ với một góc thì bằng nhau

+ BD^ AC nên ·DBC+DCB· = 90° Û DBC· =90°- DCB· = 90°- ·ACB;

+ AH^ BC nên ·HAC+ ·ACB=90° Û HAC· = 90°- ACB· ;

Suy ra ·DBC= ·HAC

 Trong một đường tròn, hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau

H AC¢ = H BC¢ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ¼H C ¢ của đường tròn ngoại tiếp ABCD ) hay

H AC¢ = DBC

 Tính chất bắc cầu: a b= và b c= thì a c=

H AC¢ = DBC nên · ·

HAC= H AC¢ Hoàn toàn tương tự ta có ·HAC= H AC·¢

 Hai tam giác có hai cạnh tương ứng bằng nhau và hai cặp góc kề cạnh tương ứng bằng nhau thì bằng nhau theo trường hợp “góc - cạnh - góc” (c – g - c)

Xét hai tam giác HACV và H ACV ¢ có:

HAC= H AC¢

+ AC: cạnh chung;

HAC= H AC¢ ;

Suy ra HACV =VH AC¢ (c – g – c)

 Đường tròn ngoại tiếp hai tam giác bằng nhau thì có bán kính bằng nhau

HAC= H AC¢

V V nên đường tròn ngoại tiếp HACV và đường tròn ngoại tiếp VH AC' có bán kính bằng nhau

Mà đường tròn ngoại tiếp H ACV ¢ chính là đường tròn ( )O ngoại tiếp ABCD

Vậy hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác ABCV và AHCV có cùng bán kính (điều phải chứng minh)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên trụ đỡ AB Đặt BH x=

Tam giác AHCV vuông tại H , ta được

258 120

Tam giác BHCV vuông tại H , ta được

218

Ta có phương trình 2 ( )2 2 2

258 - 120+ x = 218 - x

258 120 218 240

3

Ta lại có sin· 58 29

3.218 327

BH BCH

BC

Vậy góc nghiêng BC so với mặt nằm ngang là 1 29 0

sin 5 5 16 327

Nhận xét: Bài toán thực tế đưa vào hình học phẳng để giải quyết bằng phương pháp tính toán, các công thức hình học đơn giản

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

 Định lý Py-ta-go: “Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông”

+ Tam giác AHCV vuông tại H nên ta có 2 2 2

AC = AH +HC

( )2

( )2

258 120

+ Tam giác BHCV vuông tại H nên ta có 2 2 2

BC = BH + HC

218

 Kết hợp các dữ kiện đã có, biến đổi theo cùng một lượng suy ra phương trình theo một ẩn và giải phương trình

đó

258 120 218

ïïí

2

258 - 120+ x = 218 - x giải phương trình

này ta được 58

3

x =

 Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Tam giác BHCV vuông tại H nên ta có sin· 58 29

3.218 327

BH BCH

BC

 Sử dụng máy tính hoặc bảng số để tìm ra góc khi biết giá trị lượng giác của góc đó

Ta có · 29

sin

327

sin 5 5 16 327

Vậy góc nghiêng BC so với mặt nằm ngang là 5 5 160 ¢ ¢¢