Tìm công thức tổng quát của Dãy số (6 dạng toán cơ bản)

MỘT SỐ CÁCH TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ (Áp dụng Cấp số cộng – Cấp số nhân)I. Ôn tập nhanh về Dãy số – Cấp số cộng – Cấp số nhân.[r]

MỘT SỐ CÁCH TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ

(Áp dụng Cấp số cộng – Cấp số nhân)

I Ôn tập nhanh về Dãy số – Cấp số cộng – Cấp số nhân

(Click xem bài giảng trên Youtube https://www.youtube.com/watch?v=OLnmdknGXeQ)

1 Ôn tập về Dãy số

• Dãy số là một hàm số có tập xác định là ¥*

• Cách cho dãy số: công thức tổng quát, công thức truy hồi, mô tả diễn đạt bằng lời

• Dãy số tăng nếu u n <u n+1 , ∀n ; hoặc

1

n

n n

u

u + < > ∀

• Dãy số giảm nếu u n >u n+1 , ∀n ; hoặc

1

n

n n

u

u + > > ∀

• Dãy số bị chặn trên: ∃M sao cho u n ≤M , ∀ ∈n ¥*

• Dãy số bị chặn dưới: ∃m sao cho u n ≥m , ∀ ∈n ¥*

• Dãy số bị chặn: ∃M m, sao cho m u≤ ≤n M , ∀ ∈n ¥*

2 Cấp số cộng

• Công thức truy hồi: u n+1 = +u n d (hằng số d được gọi là công sai)

• Công thức số hạng tổng quát: u n = + −u1 (n 1)d

• Tính chất ( )u n là cấp số cộng thì 1 1

2

k

u = − + +

• Tổng n số hạng đầu tiên: ( 1 )

2

n n

hoặc 1 ( 1)

2

n

n n d

S =n u + −

3 Cấp số nhân

• Công thức truy hồi: u n+1 =u q n (hằng số q được gọi là công bội)

• Công thức số hạng tổng quát: 1

1

n n

u =u q −

• Tính chất ( )u n là cấp số nhân thì 2

u =u −u +

• Tổng n số hạng đầu tiên: 1. 1

1

n

n

q

S u

q

−

=

− ; Tổng CSN lùi vô hạn

1

1

n

u S

q

=

−

Chú ý: trong tài liệu này thuật ngữ viết tắt CSC = Cấp số cộng; CSN = Cấp số nhân; CTTQ = Công thức tổng quát

II Một số thí dụ mở đầu về tìm số hạng tổng quát

(Click xem bài giảng trên Youtube https://www.youtube.com/watch?v=aviyn59xeN0)

Thí dụ 1: Tìm CTTQ của dãy số u1=10, u n+1= −u n 7

Giải: Ta thấy dãy số đã cho là CSC nên CTTQ là: u n = −10 7(n−1) ⇔ u n = − +7n 17

Thí dụ 2: Tìm CTTQ của dãy số ( ) :u n u1 = −3, u n+1=5u n

Giải: Ta thấy dãy số đã cho là CSN nên CTTQ là: 1

3.5n

n

u = − −

Thí dụ 3: Tim CTTQ của dãy số 1

1

2

n

u

=

Phân tích: Ta thấy dãy số đã cho không phải là CSC, cũng không phải là CSN Giờ ta thử đi tính một vài số hạng đầu tiên: u1=2; u2 =8; u3 =18; u4 =32 Nếu ta lấy kết quả đó chia cho 2 thì ta được: 1; 4;9;16; đây là các số chính phương Do đó ta dự đoán 2

2.

n

u = n Sau khi dự đoán thành công, ta đi chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Tuy nhiên, với cách làm này chỉ áp dụng cho những dãy số dễ nhận dạng Còn những dãy khó hơn

sẽ không thể dự đoán tìm ra quy luật mà tính được u n Liệu còn cách giải nào khác ?

u = +v n − n ⇒u + =v+ + n+ − n+ , thay vào (*):

(*) ⇔v n+ + 2(n+ 1) − 2(n+ = + 1) v n 2n − 2n+ 4n+ 2 ⇔v n+ = + ⇒v n 2 ( )v n là CSC

Nên v n = + −v1 (n 1)2 ⇔ v n =2n , thay vào chỗ đặt u n phía trên ta được: 2

2

n

u = n Đến đây ta thấy kết quả giống như cách giải dự đoán phía trên, nhưng nó có quy luật dễ tìm hơn nhiều Vấn đề là làm sao biết mà đặt 2

n n

u = +v n − n ? Trong phần còn lại của tài liệu này, chúng ta sẽ đi tìm hiểu cách tìm số hạng tổng quát của dãy số bằng cách chuyển dãy đã cho về dãy mới theo Cấp số cộng hoặc Cấp số nhân Từ đó giải được bài toán

III Một số dạng toán tìm CTTQ thường gặp

Dạng 1: Dãy số cho bởi công thức truy hồi 1 0

1

n

+

=

Xem video bài giảng trên Youtube https://www.youtube.com/watch?v=mOd7huKzMAo

Cách giải: Đặt u n = + ⇒v n p u n+1=v n+1+ p , thay vào (*) ta có:

(*)⇔v n+ + =p α v n +p +β ⇔v n+ =α v n+ α p− +p β

Ta chọn p thích hợp sao cho ( ) 0

1

α

−

− thì ( )v n là cấp số nhân

Ví dụ 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi 1

1

2

( 1)

u

n

u + u

=

Ta làm nháp: Đặt u n = + ⇒v n p u n+1 =v n+1+p thay vào (*) ta có:

(*)⇔v n+ + =p 3 v n+ p +5 ⇔v n+ =3v n+2p+5 Chọn p để 2 5 0 5

2

Bài giải: Đặt 5 1 1 5

u = − ⇒v u + =v + − , thay vào (*) ta có:

1 1

  ⇒( )v n là cấp số nhân với công bội q=3, 1 1 5 9

v = + =u

Bài tập áp dụng: Tìm công thức tổng quát của các dãy số sau

1) 1

1

1

n

u

 =





1

1

1

3 2

n

u

u +

=



Dạng 2: Dãy số cho bởi công thức truy hồi 1 0

1

(*)

n

+

=



Xem video bài giảng trên Youtube https://www.youtube.com/watch?v=ax-Bn_aR2gM

Cách giải: Đặt u n = +v n g n( )⇒u n+1=v n+1+g n( +1) , thay vào (*) ta có:

(*)⇔v n+ +g n( + = +1) v n g n( )+α n+β ⇔ v n+ = +v n g n( )+α n+ −β g n( +1)

Do đó nếu ta chọn g(n) sao cho g n( )+α n+ −β g n( + = ⇔1) 0 g n( + −1) g n( )=α n+β (**) thì ( )v n là cấp số cộng Ta chọn g n( )=an2+bn , chọn a, b bằng cách thay vào (**) và áp dụng đồng nhất thức

2

a a

a b

b

α α

 =



=

+ =



Từ đó ta chọn được 2

( )

g n =α n +β −α n

v = ⇔v u −g n = −u g ⇔u =α n +β−αn+ −x β

Ví dụ 2: Tìm số hạng tổng quát của dãy số 1

1

9

n

u

=



≥

Ta làm nháp: Chọn g n( )=an2+bn sao cho

3

2

a a

a b

b

 =



=

+ =



Bài giải: Đặt 2 2

u = +v n + n⇒u + =v + + n+ + n+ , thay vào (*) ta có:

1

0 7

d v

=



 =

2

Bài tập áp dụng: Tìm công thức tổng quát của các dãy số sau

3) 1

1

2 ( ) :

n

u u

=



 4)( ) :u n u1 = −1; u n+1= − +u n 2n 5

Dạng 3: Dãy số cho bởi công thức truy hồi 1 0

1

(*)

n

+

=



Xem video bài giảng trên Youtube https://www.youtube.com/watch?v=LQpEITcVzKk

Cách giải: làm tương tự như Dạng 2, nhưng chọn g n( )=an b+ và g n( + −1) kg n( )=α n+β

Ví dụ 3: Tìm số hạng tổng quát của dãy số 1

1

10

n

u

=

Làm nháp: g n( )=an b+ và g n( + −1) 5 ( )g n = − +8n 4 ⇔ −4an a+ −4b= − +8n 4

2

( ) 2 1

2

a a

=



− = −

Bài giải: Đặt 2 1 1 1 2( 1) 1

u = +v n− ⇒u + =v + + n+ − , thay vào (1) ta có:

1

17 2 5

v q

 =





 =



Bài tập áp dụng: Tìm công thức tổng quát của các dãy số sau:

5)

1

1

5

2

n

u

u +

= −



2

(u n) :u = 1; u n+ = 2u n−n (n≥ 1)

Mở rộng: nếu u n+1 =k.u n+ f n( ) thì hãy điều chỉnh g(n) hợp lí sao cho g n( + −1) k g n ( )= f n( )

Dạng 4: Dãy số cho bởi công thức truy hồi 1 0

1

( 1)

n

u + k u l α

=

Xem video bài giảng trên Youtube https://www.youtube.com/watch?v=KB4oJlv7c3g

Cách giải: Ta cần chọn hàm số g(n) sao cho g n( + −1) k g n ( )=l.α n ⇒ chọn g n( )=a.α n

u v a α u v a α +

= + ⇒ = + , thay vào (*) ta được:

1

v a α + k v a α l α v kv ka a α l α

α

−

Khi đó u n v n l α n

α

−

= +

Nếu k =α thì ta chọn số q sao cho 1 ( )

l

k

u + −q n+ k + =k u −q n k =k u − −q n− k − = =k u −q k

.

n

k u q k

k

−

k

= )

Ví dụ 4.1: Tìm công thức tổng quát của 1

1

1

u

u + u

=



≥

Bài giải: Đặt 1.5 1 1 1.5 1

u = +v ⇒u + =v + + + , thay vào (1) ta được:

1

1

3 2 3

v q

 = −





 =



n n

Ví dụ 4.2: Tìm công thức tổng quát của dãy số 1

1

2 ( ) :

3 2.3

u u

=



2

3

u + = u − ⇔ u + −q n+ + = u −q n ⇒ =q −

Bài giải: Ta có u n+1= 3.u n − 2.3n

( 1 )

n

Bài tập áp dụng: Tìm công thức tổng quát của các dãy số sau:

7) 1

1

1

u

u + u

= −



≥

n

u u = u + = u + n≥

Dạng 5: Dãy số cho bởi công thức truy hồi 1 0

1

( 1)

n

u + k u l α f n

=

Xem video bài giảng trên Youtube https://www.youtube.com/watch?v=PkqOTgibEe4

Cách giải: Ta chọn đa thức g n( )=a k n+h n( ), rồi tìm a h n, ( ) sao cho g n( + −1) kg n( )=l.α n+ f n( )

Ví dụ 5: Tìm số hạng tổng quát của dãy số 1

1

3

u

=



≥

Làm nháp: Chọn g n( )=a.5n+h n( ) , để g n( + −1) 2 ( )g n =3.5n + −4n 1

1

( ) ( 1) 2 ( ) 4 1

h n p n q

+



3

p

q

= −



Do đó g n( )= − −5n 4n 3

Bài giải: Đặt 1

u = + −v n− ⇒u + =v + + + − n+ − , thay vào (1) của ví dụ 5 ta có:

1 1

(1) ⇔v n+ + 5n+ − 4(n+ − = 1) 3 2 v n+ − 5n 4n− + 3 3.5n+ 4n− 1

2

v

q

=

 =

Bài tập áp dụng: Tìm công thức tổng quát của các dãy số sau:

9) 1

1

2

u

=



≥

1

2 1

4

2 3.7 5

u

= −



≥

Dạng 6: Dãy số cho bởi công thức truy hồi 1 01 2 02

,

( 1)

u x u x

n

u + a u + b u

Xem video bài giảng trên Youtube https://www.youtube.com/watch?v=2jDAuLixcuE

Cách giải: Ta cố gắng tìm cách đưa dãy của (*) về dãy số khác là cấp số nhân Bằng cách tìm 2 số

,

α β hợp lí để sao cho u n+2−β u n+1=α(u n+1−β u n) (1)

a

b

α β

αβ

+ = −



=

 là nghiệm của phương trình

x + + =ax b Phương trình (2) được gọi là phương trình đặc trưng của dãy trong Dạng 6

Vậy đặt v n =u n+1−β u n thì (1)⇔v n+1=α v n ⇒( )v n là CSN với

q

α β

=



 = −

v x β x α − u β u x β x α −

+

có 2 nghiệm phân biệt hoặc nghiệm kép

Ví dụ 6.1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số 1 2

(1

n

Bài giải: Ta có phương trình đặc trưng 2 2

3

x

x

=



5

3

5

−

3

Ví dụ 6.2: Tìm số hạng tổng quát của dãy số 1 2

n



≥

Bài giải: Ta có phương trình đặc trưng 2

11

3

Áp dụng cách giải của Dạng 4 (trường hợp k=α ) ta có:

1

2

11 3

n

u

n

Chú ý: chúng ta có thể giải nhanh hơn nếu ghi nhớ được công thức này

Gọi phương trình đặc trưng của dãy u1, u2, u n+2+a u n+1+b u n =0 là: 2

0

x + + =ax b (*) Nếu (*) có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2 thì u n =C1 ( )x1 n +C2 ( )x2 n

Nếu (*) có nghiệm kép x1= =x2 x0 thì u n =(nC1 +C2) ( ). x0 n

Trong đó C C1, 2 là các hằng số phụ thuộc vào 2 số hạng đầu u u1, 2

Ví dụ 6.3: Tìm số hạng tổng quát của dãy số Fibonacci: F1=F2 =1;F n+2 =F n+1+F n (n≥1)

Với ví dụ này ta hoàn toàn có thể làm tương tự như ví dụ 6.1; 6.2 Tuy nhiên, những em nào có trí nhớ tốt thì nên học thuộc phần chú ý để giải cho nó nhanh

Bài giải: Ta có phương trình đặc trưng 2 1 5

1 0

2

x − − = ⇔ =x x ±

Do đó 1 1 5 2 1 5

n

Lần lượt thay F1=1,F2 =1 vào ta được hệ:

1

2

5

5

C



n

Bài tập áp dụng: Tìm công thức tổng quát của các dãy số sau:

11) 1 2

n

2, 3

n

u + u + u



≥

13) 1 2

4

n

u + u + u

1, 3

n

u + u + u

Xem toàn bộ bài giảng này online:

https://www.youtube.com/watch?v=OLnmdknGXeQ&list=PLJBMHhZVbG1u9uZX2R4WKSDNJ UUsTsEhu