Đề thi giữa kỳ môn Giải tích 2 trường đại học Bách Khoa

(3 điểm) Tính các đạo hàm riêng cấp hai của các hàm số sau:a. (3 điểm) Tính các đạo hàm riêng cấp hai của các hàm số sau:.[r]

Trang 1

Đề kiểm tra số 1 Môn Giải tích 2 Thời gian: 45 phút

Câu 1 (3 điểm) Tìm cực trị của hàm số sau:

f(x, y) = x3 − 3xy + 3y2 Câu 2 (3 điểm) Tính các đạo hàm riêng cấp hai của các hàm số sau:

a f(x, y) = x

x2 + y2 b f(x, y) = arcsin(2x + y) Câu 3 (4 điểm) Tính các tích phân sau:

a RR

D

(x + y)dxdy, trong đó D là miền trong của tam giác ABC trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ở đó A(1,1), B(3,1), C(3,2).

b RRR

V

(1 − x)dxdydz, trong đó V là miền trong của khối tứ diện OABC trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, ở đó A(1,0,0), B(0,-2,0), C(0,0,1).

f(x, y) = 3x3 − 3xy + y2 Câu 2 (3 điểm) Tính các đạo hàm riêng cấp hai của các hàm số sau:

a f(x, y) = y

x2 + y2 b f(x, y) = arcsin(x + 2y) Câu 3 (4 điểm) Tính các tích phân sau:

a RR

D

b RRR

V

(1 − x)dxdydz, trong đó V là miền trong của khối tứ diện OABC trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, ở đó A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,-2).

Trang 2

f(x, y) = x3 + x2y2 + y

36 Câu 2 (3 điểm) Giả sử phương trình x2 + 2y3 − 2x = 1 có đồ thị (C) trong

mặt phẳng tọa độ Oxy.

a Tìm các điểm M(x0, y0) thuộc (C) sao cho tại đó y không thể là một

hàm ẩn của x.

b Tính đạo hàm hàm ẩn của y theo x tại điểm A(1, 1) thuộc (C).

Câu 3 (4 điểm) Tính các tích phân sau:

a RR

D

b RRR

V

(1 − x)dxdydz, trong đó V là miền trong của khối tứ diện OABC trong một phẳng tọa độ Oxyz, ở đó A(1,0,0), B(0,-2,0), C(0,0,1).

Câu 1 (5 điểm)

a Tính giới hạn: lim

x→0 y→0

x2sin(y3)

x2 + y2

b Tìm các điểm cực trị của hàm số sau: f(x, y) = x3 + y2 − xy + x − 9y

a RR

D

ydxdy với D là nửa hình tròn giới hạn bởi D :

(

x2 + y2 − 2x ≤ 0

y ≥ 0

b RRR

V

zdxdydz với V là nửa hình cầu giới hạn bởi: V :

(

x2 + y2 + z2 ≤ 1

z ≥ 0

Trang 3

Câu 1 (5 điểm)

x→0 y→0

y2sin(x3)

x2 + y2

b Tìm các điểm cực trị của hàm số sau: f(x, y) = x3 + y2 − xy − x − 3y

a RR

D

xdxdy với D là nửa hình tròn giới hạn bởi D :

(

x2 + y2 − 2y ≤ 0

x ≥ 0

b RRR

V

ydxdydz với V là nửa hình cầu giới hạn bởi: V :

(

x2 + y2 + z2 ≤ 1

y ≥ 0

Câu 1 (5 điểm)

x→0 y→0

x2sin3y

x2 + y2

b Tìm các điểm cực trị của hàm số sau: f(x, y) = x3 + y2 − 2xy + x − 2y Câu 2 (5 điểm) Tính các tích phân sau:

a RR

D

(

x2 + y2 + 2x ≤ 0

y ≥ 0

b RRR

V

xdxdydz với V là nửa hình cầu giới hạn bởi: V :

(

x2 + y2 + z2 ≤ 1

x ≥ 0

Câu 1 (5 điểm)

x→0 y→0

y2sin3x

x2 + y2

b Tìm các điểm cực trị của hàm số sau: f(x, y) = x3 + y2 − 2xy − x − 4y Câu 2 (5 điểm) Tính các tích phân sau:

a RR

D

(

x2 + y2 + 2y ≤ 0

x ≥ 0

b RRR

V

zdxdydz với V là nửa hình cầu giới hạn bởi: V :

(

x2 + y2 + z2 ≤ 1

y ≥ 0

Trang 4

Câu 1 (2 điểm) Giả sử y = y(x) là hàm ẩn của biến x xác định bởi phương

trình:

x2y − y + x2 + 1 = 0 Tính y0(0) và y00(0)?

Câu 2 (3 điểm) Tìm cực trị của hàm số sau: f(x, y) = x2 − 2xy + xy2

Câu 3 (3 điểm) Tính các tích phân kép sau: RR

D

xdxdy

trong đó D là một phần hình tròn xác định bởi:

(

x2 + y2 ≤ 2

x ≥ 0, y ≤ 0

Câu 4 (2 điểm) Tính các tích phân ba lớp sau: RRR

V

xdxdydz trong đó V là miền trong của khối tứ diện OABC trong mặt phẳng tọa

độ Oxyz, ở đó A(1,0,0), B(0,-1,0), C(0,0,-1).

trình:

x2y − y + xy + 1 = 0 Tính y0(0) và y00(0)?

Câu 2 (3 điểm) Tìm cực trị của hàm số sau: f(x, y) = x2 − xy + xy2

D

ydxdy

(

x2 + y2 ≤ 3

x ≤ 0, y ≥ 0

V

ydxdydz trong đó V là miền trong của khối tứ diện OABC trong mặt phẳng tọa

độ Oxyz, ở đó A(-1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,-1).

Trang 5

trình:

x2y + y + xy + 1 = 0 Tính y0(0) và y00(0)?

Câu 2 (3 điểm) Tìm cực trị của hàm số sau: f(x, y) = x2 − xy − xy2

D

xdxdy

(

x2 + y2 ≤ 5

x ≥ 0, y ≤ 0

V

ydxdydz trong đó V là miền trong của khối tứ diện OABC trong mặt phẳng tọa

độ Oxyz, ở đó A(-1,0,0), B(0,-1,0), C(0,0,1).

trình:

x2y + y − xy + 1 = 0 Tính y0(0) và y00(0)?

Câu 2 (3 điểm) Tìm cực trị của hàm số sau: f(x, y) = x2 − 2xy − xy2

D

ydxdy

(

x2 + y2 ≤ 6

x ≤ 0, y ≥ 0

V

zdxdydz trong đó V là miền trong của khối tứ diện OABC trong mặt phẳng tọa

độ Oxyz, ở đó A(-1,0,0), B(0,-1,0), C(0,0,-1).

Trang 6

Khoa Toán Thời gian: 60 phút

− − − ? F ? − − −

Mã đề: 01 Câu 1 Tính I =

Z Z

D

ydxdy

x2+ y2, với D là miền 2x ≤ x2 + y2 ≤ 4; x ≥ 0; y ≥ 0

Câu 2 Tính thể tích vật thể giới hạn bởi: y = 2 − x2− z2; y =√

x2+ z2; x ≤ 0, z ≥ 0 Câu 3 Tính I =

Z

C

(sin πx + xy2+ 3)dx + (x2y + 2x − cos πy)dy, với C là cung x =p2y − y2

lấy từ O(0, 0) đến A(1, 1)

Câu 4 Tính I =

Z Z

S

xzds, với S là biên của vật thể giới hạn bởi: z =px2 + y2; z = 1; x ≥ 0

− − − Hết − − −

Trường Đại học Bách khoa Môn thi: Giải tích 2

− − − ? F ? − − −

Z Z

D

xdxdy

x2+ y2, với D là miền 2y ≤ x2+ y2 ≤ 4; x ≤ 0; y ≥ 0

Câu 2 Tính thể tích vật thể giới hạn bởi: x = 2 − y2− z2; x =py2+ z2; y ≤ 0, z ≤ 0 Câu 3 Tính I =

Z

C

(sin πx + xy2+ 2)dx + (x2y + 3x − cos πy)dy, với C là cung y =√

2x − x2

lấy từ O(0, 0) đến A(1, 1)

Câu 4 Tính I =

Z Z

S

yzds, với S là biên của vật thể giới hạn bởi: x2+ y2 = z2; z = −1; y ≤ 0

− − − Hết − − −

Trang 7

− − − ? F ? − − −

Z Z

D

xpx2+ y2dxdy, với D là miền 1 ≤ x2+ y2 ≤ 2y; x ≥ 0

Câu 2 Tính thể tích vật thể giới hạn bởi: x = 3 − y2− z2; y2+ z2 ≤ 1; x ≥ 0, z ≤ 0

Câu 3 Tính I =

Z

C

(ex + xy2 − 3y)dx + (x2y + 2 − sin πy)dy, với C là cung y = x2 lấy từ O(0, 0) đến A(−1, 1)

Câu 4 Tính I =

Z Z

S

y2zds, với S là biên của vật thể giới hạn bởi: x2 + y2+ z2 = 1;

z ≥ 0; x ≤ 0

− − − Hết − − −

− − − ? F ? − − −

Z Z

D

ypx2+ y2dxdy, với D là miền 1 ≤ x2 + y2 ≤ 2x; y ≤ 0

Câu 2 Tính thể tích vật thể giới hạn bởi: y = 3 − x2− z2; x2+ z2 ≤ 1; x ≥ 0, y ≥ 0

Câu 3 Tính I =

Z

C

(ex + xy2 − 2y)dx + (x2y + 3 − sin πy)dy, với C là cung y = x2 lấy từ O(0, 0) đến A(−1, 1)

Câu 4 Tính I =

Z Z

S

x2zds, với S là biên của vật thể giới hạn bởi: x2+ y2+ z2 = 1;

z ≤ 0; y ≥ 0

− − − Hết − − −

Trang 8

− − − ? F ? − − −

Z Z

D

xydxdy, với D là miền giới hạn bởi: x2+ y2+ 2x = 0; y = x; y = 0 Câu 2 Tính thể tích vật thể giới hạn bởi: y = x2+ z2; x2+ z2 = 4; y ≥ 0, z ≤ 0

Câu 3 Tính I =

Z

C

(x3+ y3)dx − (x3+ sin y)dy, với C là cung y =√

2x − x2 lấy theo chiều kim đồng hồ

Câu 4 Tính I =

Z Z

S

yzds, với S là biên của vật thể xác định bởi: x2+ y2 ≤ z ≤ 1; y ≥ 0

− − − Hết − − −

− − − ? F ? − − −

Z Z

D

xydxdy, với D là miền giới hạn bởi: x2+ y2+ 2y = 0; y = −x; x = 0 Câu 2 Tính thể tích vật thể giới hạn bởi: x = y2+ z2; y2+ z2 = 4; x ≥ 0, y ≤ 0

Câu 3 Tính I =

Z

C

(cos x + y3)dx − (x3+ y2)dy, với C là cung x =p2y − y2 lấy theo chiều kim đồng hồ

Câu 4 Tính I =

Z Z

S

xzds, với S là biên của vật thể xác định bởi: x2+ y2 ≤ z ≤ 1; x ≤ 0

− − − Hết − − −

Trang 9

− − − ? F ? − − −

Z Z

D

xdxdy

px2+ y2, với D là miền y ≤ x; 2y ≤ x2+ y2 ≤ 4y

Câu 2 Tính thể tích vật thể giới hạn bởi: x2 + y2+ z2 = 2; y =√

x2+ z2; x ≥ 0, z ≤ 0 Câu 3 Tìm m để tích phân I =

Z (1,0)

(0,2)

(exy + (m + 2) cos y)dx + (ex+ mx sin y)dy không phụ thuộc vào đường lấy tích phân Tính tích phân với m tìm được

Câu 4 Tính I =

Z Z

S

xzds, với S là biên của vật thể giới hạn bởi: x2+ y2 = 1; 0 ≤ z ≤ x

− − − Hết − − −

− − − ? F ? − − −

Z Z

D

xydxdy

x2 + y2, với D là miền x ≤ y; 2x ≤ x2+ y2 ≤ 4x

Câu 2 Tính thể tích vật thể giới hạn bởi: x2 + y2+ z2 = 2; x =py2+ z2; y ≤ 0, z ≥ 0 Câu 3 Tìm m để tích phân I =

Z (2,0)

(0,1)

(exy + x + (m − 2) sin y)dx + (ex− mx cos y)dy không phụ thuộc vào đường lấy tích phân Tính tích phân với m tìm được

Câu 4 Tính I =

Z Z

S

yzds, với S là biên của vật thể giới hạn bởi: x2+ y2 = 1; 0 ≤ z ≤ −y

− − − Hết − − −

Trang 10

Câu 1 Tính diện tích miền D xác định bởi: √

3x2+√

3y2 ≤ 2x, x2+ y2 ≥ 1 Câu 2 Tính thể tích vật thể V giới hạn bởi: y = 6 − x2− z2, x2+ z2 = 4, (y ≥ 0) Câu 3 Tính R

C

(x2 + y)zdl, với C là đường cong giao của 2 mặt: x2+ y2 + z2 = 1,

x −√

3y = 0

Câu 4 TínhR

C

(x2+y2+2xy)dx+x2dy, với C là cung nhỏ của đường tròn: x2+y2 = 2x, lấy từ O(0; 0) đến A(1; −1)

Câu 5 Cho tích phân đường

Z

y

AB

(x − y)dx + (x + y)dy (x2+ y2)n , (n ∈ N∗)

Tìm n để tích phân không phụ thuộc vào đường lấy tích phân, tính tích phân với giá trị n tìm được khi A(1; 1) và B(2; 3)

− − − Hết − − −

—————————————————————————————–

Câu 1 Tính diện tích miền D xác định bởi: √

3x2+√

3y2 ≤ 2y; x2+ y2 ≥ 1 Câu 2 Tính thể tích vật thể V giới hạn bởi: y =√

x2+ z2, x2+ y2+ z2 = 2, (x ≥ 0) Câu 3 Tính R

C

x(y2+ z)dl, với C là đường cong giao của 2 mặt: x2+ y2+ z2 = 1,

y −√

3z = 0

Câu 4 Tính R

C

(x3 + y2 + y)dx + (y2 + x)dy, với C là cung nhỏ của đường tròn:

x2+ y2 = 2x, lấy từ O(0; 0) đến A(1; 1)

Câu 5 Cho tích phân đường

Z

y

AB

(x − y)dx + (x + y)dy (x2+ y2)n , (n ∈ N∗)

Tìm n để tích phân không phụ thuộc vào đường lấy tích phân, tính tích phân với giá trị n tìm được khi A(1; 1) và B(3; 2)

− − − Hết − − −

Định dạng
Số trang	10
Dung lượng	338,48 KB