Ta dựng các đoạn thẳng nối 2 điểm trong các điểm nói trên sao cho mọi bộ 3 điểm đang xét luôn có 2 điểm được nối với nhau.. Tìm GTNN của số đoạn thẳng cần dựng.[r]
Trang 1ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN VMO TỈNH BÀ RỊA - VŨNG TÀU
Bài 1.
1 Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn xyz = 1 Chứng minh bất đẳng thức
1 (2x + y + z)2 + 1
(2y + z + x)2 + 1
(2z + x + y)2 ≤ 3
16.
2 Cho các số thực không âm x, y, z thoả mãn x2+ y2+ z2 = 1 Chứng minh bất đẳng thức
(x2y + y2z + z2x) √ 1
1 + x2 + 1
p1 + y2 + √ 1
1 + z2
!
≤ 3
2.
Bài 2 Cho dãy số (xn)xác định bởi
x1 = 1 2
xn+1 = nx
2 n
1 + (n + 1)xn, ∀n ≥ 1
1 Chứng minh xn≤ 1
n(n + 1)
2 Với mỗi số nguyên dương n, đặt yn=
n
X
i=1
kxi
1 + (k + 1)xi Chứng minh dãy số (yn)có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó
Bài 3 Trên nửa đường tròn tâm O đường kính AB lấy hai điểm M, N sao cho AM < AN
và M N không song song với AB Đường tròn ngoại tiếp 4AM N cắt AB tại điểm D khác
O Đường thẳng AN cắt đường tròn ngoại tiếp 4M BD tại hai điểm E, F (E nằm giữa
Avà N ) Đường thẳng BM cắt đường tròn ngoại tiếp 4N AD tại hai điểm P, Q (P nằm giữa B và M )
1 Chứng minh E, F, P, Q cùng thuộc một đường tròn
2 Đường thẳng AP cắt BE tại điểm X, đường thẳng BE cắt AQ tại điểm Y Chứng minh bốn đường thẳng EP, QF, XY, AB đồng quy
Bài 4.
1 Chứng minh không tồn tại hàm số f : R → R thoả mãn
f (x − 2016f (y)) = y − 2017f (x) ∀ x, y ∈ R (1)
2 Tìm tất cả các hàm số f : R → R thoả mãn
f (x + yf (x)) = xf (y) + f (x) ∀ x, y ∈ R (2)
Trang 2Bài 5.
1 Tính số hoán vị f (1); f (2); ; f (2016) của các số 1; 2; 2016 sao cho biểu thức
T = |f (1) − 1| + |f (2) − 2| + + |f (2016) − 2016|
đạt GTLN Trong đó f (i) là giái trị ở vị trí thứ i trong mỗi hoán vị, i = 1; 2; ; 2016
2 Trên mặt phẳng xét 42 điểm mà không có 3 điểm nào thẳng hàng Ta dựng các đoạn thẳng nối 2 điểm trong các điểm nói trên sao cho mọi bộ 3 điểm đang xét luôn có 2 điểm được nối với nhau Tìm GTNN của số đoạn thẳng cần dựng
HẾT