ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÀ CHỌN ĐỘI TUYỂN VMO TỈNH BÌNH THUẬN

a) Có bao nhiêu cách xếp họ ngồi thành một hàng ngang sao cho các cô gái ngồi cạnh nhau, các chàng trai ngồi cạnh nhau và có một chàng trai ngồi cạnh cô gái mà anh ta dẫn theo?.. b) Ký h[r]

ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI VÀ ĐỘI TUYỂN VMO TỈNH BÌNH THUẬN

Bài 1.

1 Cho hàm số y = 1

3x

3

+ (m − 1)x2− (6m + 3)x +2

3 Với các giá trị nào của m, hàm

số đồng biến trên khoảng (4, +∞)?

2 Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình |x2− 4x + 3| = m

Bài 2 Cho các số dương x, y, z Chứng minh rằng

x2

y + z +

y2

x + z +

z2

x + y ≥ x + y + z

x + y +

yz

y + z +

xz

x + z.

Bài 3.

a) Tìm lim unvới un= 1

2.

3

4

2n + 1 2n + 2 b) Cho dãy số (vn)định bởi







v1 = 1

vn+1 = p1 + v2

n− 1

vn , ∀n = 1, 2,

Tìm công thức vntheo n

Bài 4 Trong một buổi tiệc có 10 chàng trai, mỗi chàng trai dẫn theo 1 cô gái.

a) Có bao nhiêu cách xếp họ ngồi thành một hàng ngang sao cho các cô gái ngồi cạnh nhau, các chàng trai ngồi cạnh nhau và có một chàng trai ngồi cạnh cô gái mà anh

ta dẫn theo?

b) Ký hiệu các cô gái là G1, G2, , G10 Xếp hết 20 người ngồi thành 1 hàng ngang sao cho các điều kiện sau được đồng thời thỏa mãn:

i Thứ tự ngồi của các cô gái, xét từ trái sang phải là G1, G2, , G10

ii Giữa G1 và G2 có ít nhất 2 chàng trai

ii Giữa G8 và G9 có ít nhất 1 chàng trai và có nhiều nhất 3 chàng trai Hỏi có tất

cả bao nhiêu cách xếp như vậy?

Bài 5 Cho tam giác ABC với I là tâm đường tròn nội tiêp và M là một điểm nằm

trong giác Gọi A1, B1, C1là các điểm đối xứng với điểm M lần lượt qua các đường thẳng

AI, BI, CI Chứng minh rằng các đường thẳng AA1, BB1, CC1 đồng quy

Bài 6 Giải phương trình

1 3x − 1 +

1

x2 + 2x − 1+ 3x

3+ 4x2− 10x + 3 = 1

3x3 + 5x2− 5x + 1 (1)

Bài 7 Cho các số nguyên dương x, y, z thỏa x2y2z2 + xyz(x + y + z) + xy + yz + zx + 1

là số chính phương Chứng minh rằng x2+ y2+ z2− 2(xy + yz + zx) là số chính phương

Bài 8 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Gọi M, N, P lần lượt là giao điểm

của AB và CD, AC và BD Lấy K là trung điểm của đoạn M N Đoạn P K cắt (O) tại H,

M H cắt (O) tại I khác H, N H cắt (O) tại J khác H Hãy phân tích−−→P K theo hai vectơ

−→

M I,−−→M J

Bài 9 Trên mặt phẳng có 2016 điểm phân biệt là A1, A2, , A2016 Từ các điểm trên, bạn

An muốn vẽ các vector không, thỏa 2 điều kiện sau:

1 Với mọi i, j ∈ {1; 2; 3; ; 2016}, nếu đã vẽ−A−−iA→j thì không vẽ −A−−jA→i

2 Với mọi i, j, k ∈ {1; 2; 3; ; 2016}, nếu đã vẽ−A−−iA→j và−−−→AjAkthì không vẽ −−−→AiAk Hỏi An có thể vẽ nhiều nhất bao nhiêu vector?

HẾT